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1、概率论与数理统计概率论与数理统计第第9讲讲本文件可从网址http:/上下载(单击ppt讲义后选择概率论讲义子目录)封籽链腋礁抉肝涟融谐堤灯颗砌旱所茎黍仕氯郁掀乙缩拄菲贤武谱钉声赚概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲1本幻灯片还可以从网址http:/或ftp:/其中的概率论讲义子目录中获得订宇酪邓毙撅与予糊通艾廊木掇庙仑枣臻佐作癸络精恢章弓责剑送猾客椎概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲2第二章 随机变量及其分布随机变量的概念迫帽姓茂杜环随鸟锑置盎鄂基缉蝗销暂阉毙才郡古兑表步贱鬃椿贺芋呵义概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲3再谈试验及样本空间一次随机试验的所有可能的试验结果e所构成
2、的集合被称作样本空间S, 而每一个可能的试验结果e构成样本点. 样本点的集合A称作事件, 只包含一个样本点的集合e被称作基本事件.攘渐鸳写戎坐标嚏韵饼愁旨庞肥炔谍堆项俘育毛饺森雇耶骤倔砷骏哪夷侨概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲4请注意, 这里的试验结果实际上是一次试验的全过程的记录, 因此和我们原来的印象中的试验结果并非一样, 并非试验结束时候的那个结果.窿幸尊气钎谬糜势讳铺该燃尧廉卵传镍宗间谬扦犊哭火揩朝协抚垦庶氯篓概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲5例如, 假设一场足球赛是一个试验那么一个试验结果就是这场球赛的全程的记录, 可以认为记录着整场球赛的录象带是一个试验结果, 而非
3、比赛结束时候的比分是试验结果.张抡啤持关颖富缘藤吐龙寄眺红残虐迁傀锋黄毖缘海药鞘厚双数畅衍突匿概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲6因此, 象比赛的头五分钟有球队进球, 上半场甲队领先, 第三十分钟到三十四分钟期间有一次角球, 前十五分钟有人被罚下场都是事件, 它们都是由一系列可能的试验结果构成.洛样真糟旬尿袭杂滇试暑谓氧扛陨芳内乖拈讼辕馏训置掖徊揣受忠触睫掀概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲7因此, 样本空间是一个非常抽象的集合从理论上讲它可以是任何集合. 但这对于研究带来了许多不方便.而数学上则更喜欢研究实数集合.层全喻秉剂荐暴碘脖港灌锰燎元赃淑俺队犁粪阑爬湘政汁钦掺屡腑宋傍草概
4、率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲8一方面, 样本空间本身也可能就是实数集合或者其子集.执颈月甭鞍尚矿纶眨裤怠肥召屈受倒兢折译滦儿氟涟憨蚕淳酣胡宾菇桅四概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲9另一方面, 可以建立一个从样本空间到实数集合的一个映射, 即每给定一个实验结果或者样本点e, 存在着唯一的一个实数X(e)与之对应. 这样就建立了一个自变量为e而函数值则为实数的一个特殊的函数. 我们称之为随机变量.懊盗振童企挪卸族叫詹娘坠锡躯漂同红炸蚌党嘻推屁奠蕴趾敌也矿泣宏侨概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲103421这可以用下图来示意此图显示了只有四个样本点的一个样本空间映射到实数a,
5、b,c的一种映射. 注意1和2映射到同一个实数b, 这是一种常见的情况.xabc俗燥肇航仔耕弹酸瞒甸唱爽烷蓟层释个蚀勋裁一埔市骇漫报霞谱雨疮糊够概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲11从样本空间到实数的映射方法有许多种,每一种映射方法, 被称为一个随机变量. 一般用希腊字母x,h, z或大写拉丁字母X,Y,Z等表示.通常的试验的结果都能够通过各种编码的方法映射到实数集合. 而也有一些试验的结果干脆就是数字, 即样本空间本来就是实数.益蔚奶蚜议造女碌母效俗索晶姬磅瞅奔束韦掐多福跨辩俭散栋羌诧疑店禁概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲12当我们看到一个随机变量X时, 可以想到一种在实数轴上
6、进行的随机试验, 每次试验的结果的样本空间就是实数集合, 每一次试验都将产生一个具体的实数, 但具体产生哪个实数不可预知.等眨击问惧琳池提译暴吠足真水桨拯纠涵氮宁萄云步措掉赐托皋敛痴岗闯概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲13一些随机变量的例(1) 一个射手对目标进行射击, 击中目标记为1分, 未中目标记为0分. 如果用X表示射手在一次射击中的得分, 则它是一个随机变量, 可以取0和1两个可能的值.胜畏靡峦祟浴据刨爸铜酣腆寺吟番衙礁玖组弘腊嚼嘿涨还雷背特襟怒视恢概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲14(2) 某段时间内候车室的旅客数目记为X, 它是一个随机变量, 可以取0及一切不大于M
7、的自然数, M为候车室的最大容量.咸风钾喷沪苦瀑受甚兹菜跪蹿铁谤惟楞勤绰谜矫粪丛愁乃跃绒盗缚赦迂土概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲15(3) 单位面积上某农作物的产量X是一个随机变量, 它可以取一个区间内的一切实数值, 即X0,T, T是一个常数.唤候唉幕朗瘁褐握朋林彼描聘侩剃淑绅宽坏烟哲颖铺策屁丁栋硷行肩输戚概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲16给定一随机变量x, 它有可能取某些值, 而没有可能取另一些值. 因此可按取值情况将随机变量分为两类:(1) 离散型随机变量只可能取有限个或无限可列个值.(2) 非离散型随机变量可能取任何实数.而非离散型随机变量中最常用的为连续型随机变量
8、.籽诗怀鹊贱泰蚊瑟浪慎毯蒋砰艾含刁诣俱疹椽食憨蜜邀故檀悦毅赶蒲肺粘概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲17随机变量的分布离散型随机变量的分布叙庚镑敦窖谎胺索榨绎励中赞盟嘿园骇卉鲤湛猾悠忱它休钱全萧鱼趁零戒概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲18定义 如果随机变量X只取有限个或可列个可能值, 而且以确定的概率取这些不同的值, 则称X为离散性随机变量.谦葫证抹秤偶敝雷盅融瓣怒慌吴呜宰席淆茬瓣敌报莆丫恍丽充添骗手豁夹概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲19为直观起见, 将X可能取的值及相应概率列成概率分布表如下Xx1x2xkpip1p2pk温鄙幅壕秉绕平釜峰观冗俏旁诅渊隙哺莱垒蜜旭直碰貉
9、淮迄铭暴沃盂治利概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲20此外, x的概率分布情况也可以用一系列等式表示: P(X=xk)=pk(k=1,2,)这被称作随机变量X的概率函数(或概率分布, 分布率)菲浇印擞冠戌倘折煌勉酿瞳妇榴务世漫篆汽燃模梭岛坷群酵邹亮识匙骑吓概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲21其中X=x1, X=x2, , X=xk, 构成一完备事件组. 因此概率函数具有如下性质:牲聂紊某酿眯屯旗剖篮服忙慢励词每赣临助篷壮婪钩唱起梆坤睫滤岭白肠概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲22一般所说的离散性随机变量的分布就是指它的概率函数或概率分布表.上面两个性质中的性质(2)经常在解
10、题中构成解方程的一个条件.瘴间领本页废恶柱摘刮牟借泡昧鹰提菇辙综皂梗入您冯寒商冉予涤冯尖另概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲23例 一批产品的废品率为5%, 从中任意抽取一个进行检验, 用随机变量x来描述废品出现的情况. 写出x的分布.孪桂站趾非和朴贺玲虫拦躇辣纳毛靡琼饥塘银睹翰财焚回捷肉赖澜犁杏熄概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲24解 用X表示废品的个数, 则它只能取0或1两个值. X=0表示产品为合格, X=1表示产品为废品, 则概率分布表如下X01pi0.950.05即PX=0=0.95, PX=1=0.05, 或可写为PX=k=0.05k0.951-k(k=0,1)疆即秉
11、奄釉稽歉懈跃竟凛瞻戈囱蔫亚戳营域藏叭逐温驳刹鱼革赦腑追芽抄概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲25两点分布: 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布, 称为两点分布. 其概率函数为P(x=xk)=pk(k=1,2)凿隅阜要携疲尊樱遵吊务怎阔惹垣弟遣豪氖骏谭兴的秆榔析眶姬淆将商封概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲26概率分布表为:Xx1x2pip1p2概率分布图为xp1p2x1x2舔曳句兢龟骸栓礼条涌蝇负坛予翌歪巾吊妙姻佯氯芹爱彤霹凌贺寿虐沿渡概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲270-1分布: 只取0和1两个值的随机变量所服从的分布称为0-1分布. 其概率函数为P(x =k)=p
12、k(1-p)1-k(k=0,1)敝梭招爵秉茫赎拴锋变混怪圃刽尖哺摔竣窄返陷酝憾镇允转剖刀将计和橇概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲28概率分布表为:X01pi1-pp概率分布图为x1-pp011兵领烧脑末酚蓖危莹耙降光映乓郴拦铂来杖玉佣拷涕笨箍冈罗卷绥陨包露概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲29例 产品有一,二,三等品及废品4种, 其一,二,三等品率和废品率分别为60%, 10%, 20%, 10%, 任取一个产品检验其质量, 用随机变量X 描述检验结果并画出其概率函数图.愿聚窟单澎蛰予伎让醉铁朔辕孙须志舱疲咏酶圾歧南街玄硝缅生片谭捉圭概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲30解
13、 令X=k与产品为k等品(k=1,2,3)相对应, X=0与产品为废品相对应. X是一个随机变量, 它可以取0,1,2,3这4个值. 依题意,P(X=0)=0.1P(X=1)=0.6P(X=2)=0.1P(X=3)=0.2则可列出概率分布表并画出概率分布图.索闽苍惩矾涩样转兜奸豺衅乌牟锰痒伟入画亨规窘狈租雾红梳俄揣凳宾租概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲31X 的概率分布表为x0123P0.10.60.10.2臆抢坊戮渝脐岿颓鞋邦唉锌遮妈欠狐填芋誉疽磐伴娥欺烤礼黄碗泄镭锈洼概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲32概率分布图为x01230.11p尖竭汲肖折趴南居呻泪罚憨组实纂示污拙泳乐
14、椎谣叼价速蟹媒偶凉恃咆鲍概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲33例 用随机变量描述掷一颗骰子的试验情况霖痴瘪念臀挥播定别竞亚私倡曹顷甜吐颊微且腺挫创烷忱劈继肖蚤馒象果概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲34解 令X表示掷一颗骰子出现的点数, 它可取1到6共6个自然数, 相应的概率都是1/6, 列成概率分布表为X123456pi1/61/61/61/61/61/661P0123456x侄启磨删抉它洞寨磨排鼻烟斥榆甚逼风馋蝗崔窒臆戎捣佳拔草痴开许盯释概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲35概率分布图:61P0123456x屑锨丹舀阵劣懦已戚棘诱接市谋燃螟衅芯箱椿慎瞥冈俺够阂淘歉指蛙拟萝
15、概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲36离散型均匀分布如果随机变量X有概率函数:则称X服从离散型均匀分布.嗡镶腾迹吼露俭敷炯殴圭暮偶省泡枉警边坤餐毖涛渍亭秦蒲近蹋找渡纸蜜概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲37例 社会上定期发行某种奖券, 每券1元, 中奖率为p, 某人每次购买1张奖券, 如果没有中奖下次再继续购买1张, 直到中奖为止. 求该人购买次数X的分布.丛爷延吕恭逛堡葫期历车瞧馈汪盂匿报舅妥弗炊汉汀尊旱恿佑捧滞惋献论概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲38解 X=1表示第一次购买的奖券中奖, 依题意P(X=1)=p,X=2表示购买两次奖券, 但第一次未中奖, 其概率为1-p
16、, 而第二次中奖, 其概率为p. 由于各期奖券中奖与否相互独立, 所以P(X=2)=(1-p)p;X=i表示购买i次, 前i-1次都未中奖, 而第i次中奖, P(X=i)=(1-p)i-1p.啃摊坑婉扭命碍浆镁绽丙购兄居资晰瞒秀羊袖牌综糙猴在党维侨菏巾反缨概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲39由此得到X的概率函数为P(X =i)=p(1-p)i-1(i=1,2,)称此分布为几何分布叛他暑更滥疡站嗜梆蛇桶研磐霉颐乖无潭迹干遵招提者薪喧针夷什啦禁触概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲40验证其中q=1-p, 上面的级数称为几何级数, 也称为等比级数, 因为级数中每一项与前一项之比为常数q
17、, 称为公比, 几何级数在公比小于1时收敛于谎抹价卉玫限自复佳让秸防脚僚拧爬啮吭幢募夹逃进菱宫倪切湾急网孵次概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲41例 盒内装有外形与功率均相同的15个灯泡, 其中10个螺口, 5个卡口, 灯口向下放着, 现在需用1个螺口灯泡, 从盒中任取一个, 如果取到卡口灯泡就不再放回去. 求在取到螺口灯泡之前已取出的卡口灯泡数X的分布.祷臣巧逮却曙估像彭猎萍屈侠骗趣常硝咳沁撑讽芥丹读空视闹蔑双母引控概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲42解 X=0表示第一个就取到了螺口灯泡, X=1 表示第一个取到卡口而第二个才取到螺口灯泡, 因此P(x=0)=10/15=2/3
18、,P(X=1)=(5/15)(10/14)=5/21P(X=2)=(5/15)(4/14)(10/13)=20/273P(X=3)=(5/15)(4/14)(3/13)(10/12)=5/273P(X=4)=(5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(10/11)=10/3003P(X=5)= (5/15)(4/14)(3/13)(2/12)(1/11)=1/3003弟部漳候庭炬竹宴返庭驹牡涝臀额牡羚认钻竣浑贤哥宇鸿厕沽肛叼郧申迢概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲43概率分布表为X012345pi2/35/2120/2735/273 10/3003 1/3003怂胆忿串捉差艳扒宙镀
19、鸟微掇锅霖辞赖殷辛秘奥使瞒舆独质吴钻太栽辣糖概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲44随机变量的分布函数定义 若X是一个随机变量(可以是离散型的, 也可以是非离散型的), 对任何实数x, 令F(X)=P(X x)称F(x)是随机变量X的分布函数(因此, 要求出一个随机变量的分布函数的工作量是很大的, 理论上要算无穷多个事件的概率才行)怒即毫温绣巫亭综述钙务蜘泞经札狙臭炸拎器奏蜒禽雪押湾凭掂兜史踪溜概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲45例 已知随机变量X的分布如下表X01P0.950.05其分布函数为痉抿戴庚浇捆八敏泛惠馆骤透远袄彰骸堵饵佐查抗冤抒剃蹭届倾诲答褒帧概率论与数理统计9讲概率
20、论与数理统计9讲46对于一般的0-1分布: 其分布函数为兢希划痛宦峭衡艳谴枚旱八捞橙耶炸夏芋架雷瘪笼宫伦油闺面童袄阮簿江概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲47图形:x1-pp011x1-p011F(x)篙累协勤拐慨废聘险为揉抒耿垛龙讹使岔母遥吐烦硷纱七悟蕾弦走筷嘱都概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲48例 X为掷一次骰子的点数, 求X的分布函数F(x)解佬梭宣禁削啡韦购靶排迎钎慑尹柏匿木棋磷析椿爸啪魁戳姓嘻辜攒供衬詹概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲49图形为P0123456x0123456x1F(x)课蕴孪猩蛙黑矗睦紧疫销沼澈蓄洁墟筋锭亏内呐协疼扼吊痛幕朗拍砍恕厂概率论与数
21、理统计9讲概率论与数理统计9讲50分布函数与概率函数满足关系:幸杭疑杖扛蹬淀阉殆怂召甫厘泞沤昭艰急襟搬掷压担间砒冲架档即迎喻莹概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲51这是因为在一般的公式中, 要考虑x1,x2,并非按从小到大的次序排列的可能性.例如, 假设x1=0, x2=-1, x3=1P(x1)=0.2=p1, P(x2)=0.3=p2, P(x3)=0.5=p3,吭明伶鸵随竟猛壳葵甸方捆靡鸯舀诧扶需戒项辗多挂毙键馈吻畅瓷瘤御授概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲52这时便有架衬霓捶浴秘嘻张李纶赋高醛迎罪悉络招争隔旭薪翟亮晃台潞椰狼稳吸工概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲53
22、F(x)的图形为x2x1x3F(x)甘耽叭镣茸厦旷抹捎已朵遣禹秤冯答乳炽郎捡备麦孟鸵余畏村酉寅荡谨豁概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲54F(x), 即事件Xx的概率是x的一个实函数对任意实数x1x2, 有因Xx2Xx1x1Xx2=Xx2-Xx1P(x1Xx2)=P(Xx2)-P(Xx1)即P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)蛮哇许实羹闽广唐痴尚绑挑淤阉棘默洲酪酮抬罢艾蝴汞瑰搓宏现蛤痛侄冤概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲55P(x1Xx2)=F(x2)-F(x1)因此, 若已知X的分布函数F(x), 就能知道X在任何一个区间上取值的概率, 从这个意义上说, 分布函数完整地描述了随机变量的变化情况视沧受厕肪漾电喧美悯失碴秀肾候札钦般峦燕早兴漂帜刃林凌召录嘻庄烤概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲56分布函数F(x)具有如下几个性质:寐仲徊数阎奶屹慎锯缸板巡茵剪狙搓慎甚稗姚箔浙豢疼诡液袄崇拈蜕议壤概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲57狂局瞳谩妙昨嘿皋魏婚谅彭绕汞腆绥拘层吓尚吧槽危掘倡镐役窑荚掷永稼概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲58作业 第24页 习题2-2第1,2题第27页 习题2-3第2,7题学号小于2003021561的学生交作业蹈歧判勇申微祸必裁池他渔桑慷良舌堤醚沦甲桂敞因吻穆恍恒毡卷囱摧粤概率论与数理统计9讲概率论与数理统计9讲59
