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1、第三章第三章 量子力学中的力学量量子力学中的力学量第第4(4(5 5) )节节 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性则称两个函数则称两个函数正交性定义正交性定义（互相）正交性（互相）正交性以后说明这是通常矢量正交性的自然推广以后说明这是通常矢量正交性的自然推广定理定理1：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。：厄米算符分属不同本征值的本征函数彼此正交。定理：厄米算符的本征值是实数定理：厄米算符的本征值是实数定理定理2：若厄米算符某个本征值存在：若厄米算符某个本征值存在k个不同个不同(线性无关线性无关)本征函数，则必可从本征函数，则必可从它们的线性组合中选择它们的线性组合中选择k
2、个彼此正交的（本征）函数。个彼此正交的（本征）函数。显然显然k维子空间维子空间V中一定存在中一定存在k个正交矢量（函数）且都是算符个正交矢量（函数）且都是算符F的本征函数的本征函数第第4(4(5 5) )节节 厄米算符本征函数的正交性厄米算符本征函数的正交性根据前面根据前面2个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归个定理，我们总可适当选择厄米算符的本征函数，使它们满足正交归一性！例如一性！例如一维无限深势阱一维无限深势阱动量算符本征函数动量算符本征函数角动量算符本征函数角动量算符本征函数一维线性谐振子一维线性谐振子氢原子氢原子波函数波函数第第5(5(6 6) )节节 算符与
3、力学量的关系算符与力学量的关系前面提到，系统处于力学量算符前面提到，系统处于力学量算符(厄米算符厄米算符)的本征函数描述的状态的本征函数描述的状态(本征态本征态)，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如，该力学量有确定值，就是本征函数对应的本征值。例如定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。定态能量，动量本征态时的动量，角动量本征态时的角动量，等等。现在推广这个假定。先引入概念：现在推广这个假定。先引入概念：完全系完全系 若厄米算符的若厄米算符的(正交归一正交归一)本征函数本征函数集集则称该函数集构成则称该函数集构成完全系完全系或或完备集完备集满足满足方便起见，其
4、实只需要函数无关即可方便起见，其实只需要函数无关即可展开系数展开系数称为称为几率幅几率幅注意展开系数满足注意展开系数满足第第5(5(6 6) )节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系测量测量F的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。因此，测量的平均值是的结果是其本征值，一般不确定是那个本征值。因此，测量的平均值是平均值公式平均值公式学量学量F的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值的结果必定是对应算符的本征值，测量到本征值 的几的几率是率是量子力学基本假定量子力学基本假定：力学量：力学量F对应厄米算符算符对应厄米算符算符其本征函数构成其本征函数构成展开系数展开系数称为称为几率幅几率幅测
5、量测量F结果为结果为波函数塌缩为波函数塌缩为完全系。完全系。当系统由归一化波函数当系统由归一化波函数描述时，测量力描述时，测量力归一化了归一化了例题例题 氢原子处于基态，求电子动量的几率分布氢原子处于基态，求电子动量的几率分布第第5(5(6 6) )节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题 (p101 3.6题题)设设t=0时，粒子处于状时，粒子处于状态态求此时粒子的平均动量和平均动能求此时粒子的平均动量和平均动能按动能算符的本征函数展开按动能算符的本征函数展开按动量算符的本征函数展开按动量算符的本征函数展开平均动能平均动能平均动量平均动量平均动能平均动能第第5(5(6 6) )节节
6、 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题 (p101 3.7题题)一维运动粒子的状态是一维运动粒子的状态是1)归一化常数归一化常数A=?2)若粒子的能量为若粒子的能量为E,求系统的势能。求系统的势能。3)动量的几率分布函数动量的几率分布函数4)平均动量平均动量动量的几率分布函数动量的几率分布函数平均动量平均动量实际上，平均动量一看就知道为零实际上，平均动量一看就知道为零积分是实数！积分是实数！第第5(5(6 6) )节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系平均能量平均能量实际上，平均能量可以非常方便地计算出实际上，平均能量可以非常方便地计算出例题例题 (p101 3.8题题)一维无限深
7、势阱（阱宽为一维无限深势阱（阱宽为a）中运动，若粒子的状态波函数是中运动，若粒子的状态波函数是求粒子能量的几率分布和能量平均值。求粒子能量的几率分布和能量平均值。能量本征函数和能量本征值是能量本征函数和能量本征值是能量的几率分布能量的几率分布第第5(5(6 6) )节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系例题例题 (p102 3.9题题) 若氢原子处于状态若氢原子处于状态求原子能量、角动量平方及角动量求原子能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，相应几率和这些量的平均值分量的可能值，相应几率和这些量的平均值是能量、角动量平方及角动量是能量、角动量平方及角动量z分量算符的共同本征函数分量算符的
8、共同本征函数氢原子定态氢原子定态波函数波函数角动量角动量z z分量分量角动量平方角动量平方能量能量可能值可能值几率几率平均值平均值第第5(5(6 6) )节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系2个有用的定理个有用的定理H-F定理定理 系统处于束缚定态，则系统处于束缚定态，则维里定理维里定理 系统处于束缚定态，若势能是系统处于束缚定态，若势能是次齐次函数次齐次函数则则由前面的定理由前面的定理第第5(5(6 6) )节节 算符与力学量的关系算符与力学量的关系由维里定理得由维里定理得 动量几率分布动量几率分布例题例题 一维谐振子处于能量本征态一维谐振子处于能量本征态1)求势能的平均值。求势能的平
9、均值。 2)求动能的平均值。求动能的平均值。3)求动量几率分布求动量几率分布例题例题 p100的的3.2题题 氢原子处于基态氢原子处于基态1)求求r的平均值。的平均值。 2)求势能的平均值。求势能的平均值。3）最可几半径）最可几半径(前面已讲，略前面已讲，略)。4) 求动能的平均值。求动能的平均值。5)求动量几率分布求动量几率分布(前面已讲，略前面已讲，略)。该题当该题当n=0时就是时就是p100的的3.1题题由维里定理得由维里定理得 第第6(6(7 7) )节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系两个算符乘积一般与次序有关
10、两个算符乘积一般与次序有关 定义定义对易式对易式 坐标算符与动量算符的对易式坐标算符与动量算符的对易式 基本对易关系基本对易关系 同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系同理得到坐标算符与动量算符的其它对易关系 其它其它(有经典对应的有经典对应的)物理量的对易关系可从基本对易关系导出物理量的对易关系可从基本对易关系导出例如角动量算符的对易式例如角动量算符的对易式 对易式的公式对易式的公式对易对易 两力学量两力学量算符对易算符对易两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件不对易不对易 定理定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集第第
11、6(6(7 7) )节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系第第6(6(7 7) )节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系定理定理 两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集两个力学量算符有共同的构成完全系的本征函数集若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态若系统处于两个力学量算符的共同本征函数描述的状态则这两个力学量同时有确定值则这两个力学量同时有确定值注意注意：两个力学量不对易：两个力学量不对易=没有共同没有共同构成完全系构成完全系的本征函
12、数集。但它们可能的本征函数集。但它们可能有共同本征函数！有共同本征函数！例如，例如，两力学量两力学量算符对易算符对易两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件第第6(6(7 7) )节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系测不准关系测不准关系 不对易情况不对易情况 若若2个厄个厄米算符米算符F,G满足对易关系满足对易关系定义定义2个新厄米算符个新厄米算符定理定理 两个力学量算符满足对易关系两个力学量算符满足对易关系则它们满足则它们满足测不准关系测不准关系引入非负积分引入非负积分厄米算符厄米算符 ：第第6(6(7 7
13、) )节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系定理定理 两个力学量算符满足对易关系两个力学量算符满足对易关系则它们满足则它们满足测不准关系测不准关系习题习题：证明：证明力学量算符力学量算符 满足满足是该算符的本征态是该算符的本征态Heisenburg(也称为基本也称为基本)测不准关系测不准关系厄米算符厄米算符位置与（相应的）动量不能够同时准确决定位置与（相应的）动量不能够同时准确决定动能与势能不能同时准确决定动能与势能不能同时准确决定总能量总能量=动能动能+势能势能 不再成立不再成立应该是应该是这也解释了势垒现象中似乎动能为
14、负值的疑问这也解释了势垒现象中似乎动能为负值的疑问例题：例题：第第6(6(7 7) )节节 算符的对易关系算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件两力学量同时有确定值的条件 测不准关系测不准关系注意注意线性谐振子线性谐振子束缚态必定有确定宇称束缚态必定有确定宇称例题：例题： Heisenburg测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在测不准关系可以说明线性谐振子零点能的存在所以所以Heisenburg测不准关系测不准关系第第7(7(8 8) )节节 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 守恒定律守恒定律力学量平均值力学量平均值其中归一化波函数满足其中归一化波函数满足(含时含时)薛
15、定谔方程薛定谔方程若力学量算符不显含时间若力学量算符不显含时间则则如果力学量算符不显含时间如果力学量算符不显含时间守恒量守恒量又满足又满足第第7(7(8 8) )节节 力学量平均值随时间的演化力学量平均值随时间的演化 守恒定律守恒定律空间平移不变空间平移不变=动量守恒动量守恒空间平移不变空间平移不变=转动不变转动不变=角动量守恒角动量守恒时间平移不变时间平移不变=能量守恒能量守恒时间平移不变时间平移不变=系统转动不变系统转动不变=空间反演不变空间反演不变=宇称守恒宇称守恒第第3 3节节 氢原子氢原子习题习题习题习题 书中第三章书中第三章3.13.9 前面都已讲过！前面都已讲过！习题习题 书中第
16、三章书中第三章3.10题题球形腔中的运动，求能级与能量本征函数球形腔中的运动，求能级与能量本征函数定态薛定谔方程变为定态薛定谔方程变为球贝塞尔方程球贝塞尔方程球贝塞尔函数球贝塞尔函数球贝塞尔函数与贝塞尔函数的联系球贝塞尔函数与贝塞尔函数的联系定态能量满足方程定态能量满足方程记记表示贝塞尔函数的第表示贝塞尔函数的第n个零点，即个零点，即则定态能量为则定态能量为定态波函数定态波函数第第3 3节节 氢原子氢原子习题习题球坐标结果球坐标结果柱坐标结果柱坐标结果习题习题 书中第三章书中第三章3.11题（不明确，有问题）题（不明确，有问题）1）定轴转动）定轴转动2）定点转动）定点转动习题习题 书中第三章书中第三章3.12题题习题习题
