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1、以解析函数的理论与方法研究平面电磁场余毅聪 2003年12月 复变函数和电磁学这两门课中一些重要的公式是很相似的，本文试图在一定的程度上发掘其中的联系。主要想法主要内容1 建立数学模型2 根据模型推算基本定理3 一些结论4 二维场的保形变换 二维场数学模型无穷长导线的磁场 如图，将一根无穷长的直导线置于坐标原点，方向为Z轴方向。于是易得(x,y)点处的磁场分量为： XYIrB现把Y-X平面视为复平面， z=x+iy, 并令：立即得到：w其中：这里，很明显地有：同样，对于电场，则有：在以下的讨论中，视 为二维电荷， 为二维磁荷。并统一以符号 表示。高斯定理与环路定理注意到对于上面的两种情况，都有
2、 是解析的，因为Cauchy-Riemman方程得到足：取C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原点处存在无限长的导线（或者带电直线），则由留数定理可得：于是解析函数的理论与方法有了用武之地！比较实部虚部即得：下面分析上面二式的意义。(1)(2) 对于图重的曲线积分,积分微元是于是,如果把w看作有两个分量的矢量,可有即得:由最后得到:对于磁场的情况上式即是我们熟悉的安培环路定理.而(2)式的意义又何在呢?注意到:如果我们定义:则可以得到: 的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的柱面的截线时, 即是曲面的法向量.上式的意义即可理解为是二维平面的高斯定理.显然,稍作推广即可以得到:1. 对于磁场
3、中的任意简单封闭曲线C,有2对于电场的情况,由于电场和磁场所对应的w仅仅相差一个常数i, 所以情况完全类似,仅仅只需要将上面两式的右边交换即可.这里就不作过多的讨论了.由解析的性质得到的一些结论1磁场和电场(以下仅称场)的分布由边界决定.事实上,若w在边界C上的值为已知,则对于区域内部的一点Z,有即是可以由边界上的函数值计算内部的值.2 平均值公式.对于一个闭圆 如果其内部没有电流(或电荷),则场在圆心处的值,等于圆周上的平均值.上式的依据是平均值公式圆心处实部和虚部的值对应为圆周上的平均值,于是即有以上结论.事实上,泊松公式为我们提供了计算区域内任何点场值的方法: 3 如果平面区域中没有电荷
4、或者没有磁荷,则场的最大值只能在区域的边界上取到.4 平面场所有的电荷之和为0。5 如果穿过平面上有电荷： ,且满足: 则平面上一定存在场强为0的点.证明: 射N根导线的坐标的复数为: 容易得到这个场对应的复函数w(z)为:为证明结论,只需要证明函数在复平面上有非无穷远点的根即可.为了证明上式,需要用到的结论有:1大圆弧引理: 2 设f(z)在区域D:上连续,且存在极限:设C是位于D中的圆弧,半径为R,则2 辐角原理: 设f(z)在闭路C的内部可能有有限多个极点,除去这些极点外, f(z)在C及其内部解析,且在C上无零点,则有:这里N,P分别为极点总数和零点总数.有了上面的引理,下面证明 所表
5、示的函数在复平面上定有非无穷远的根.事实上:在通分之后,分子的最高次为(2N-2)次,分母的最高次为(2N-1)次,系数均为:所以,成立:利用引理1即得到:再由引力理2,有:又:所以零点总是存在的!即平面上总是存在一点场强为零.对于 的情况,则是没有一般结论. 如图,如果兰色代表正电,黄色代表负电,则在该场中是没有电场为0的点的.而在下面的这张图中,显然正方形的中心的场强为0.磁场中情况完全类似,不再赘述.保形变换的应用保形变换是二维空间所特有的，应此利用保形变换处理平面的电磁场问题，一定会给我们带来惊喜。为此，先建立一套体系：一个定义： 为这个平面场的“场函数” 为场函数的充分必要条件是它满
6、足高斯定理和安培环路定理，即是有：场函数是这样的函数，它在平面上存在场源的点的留数是电荷的值，其余点它取场的值的共轭为讨论方便，一切常数假定为1。我们知道，一个保形变换将一个区域映照成为另一个区域，如果我们把区域上的每一个点都标上该处的电荷（磁荷），那么保形变换就把一个场分布变换成为另一种场分布，称作“场的保形变换”。一个定理： 设 为 的一个场的保形变换，场函数：事实上，边界对应定理保证了即变换后得到的函数仍然满足高斯定理和环路定理，即为新场的场函数。一个结论： 对于静电平衡的导体，在经过场的保形变换后仍静电平衡。 容易验证在经过场的保形变换后，对于所给定的一个点 等势线的辐角改变量和所对应的场函数的辐角改变量皆是 仍然满足静电平衡的条件。得到一种新的求解电场的方法，举例如下：黎曼定理断言，对于任意的区域（非全平面），总是存在保形变换将任意单连通区域映照成为单位圆，所以这种方法是具有普遍性的。但是具体实现变换的细节，则是数学上的事情了，也远远超出本文的范围。本文任务已经完成，讨论到此为止！感谢刘金英老师，感谢张文禄助教和班主任苑震生老师感谢3班同学的信任感谢在场所有听众的支持
