大学数学第1章函数极限连续

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1、（上）（上）1 11函 数2 22极 限3 33极 限 的 运 算4 44无穷小与无穷大5 55函数的连续性6 66数学建模初步（一）第第1章章 函数、极限、连续函数、极限、连续本本章章主主要要内内容容1.1 函函 数数 本节内容 函数的概念及其性质 反函数和复合函数 初等函数 区间与邻域区间与邻域 区间p数学中，某些指定的数集在一起就成为一个数集。 显然，数集是关于数的集合。 常用的数集及其代号是：自然数集N （包括0和所有正整数）、整数集Z、有理数集Q和实数集R。 其中，涉及最多的是实数集R。1.1.1 函数的概念为点 的邻域，记作 ；点 和数分别称为这个邻域的中心和半径。数集 称为点 的

2、空心邻域，记作 。邻域和空心邻域在数轴上的表示见下图。邻域p设 与是两个实数，且0，数集 称定义1-1 设x和y是两个变量，D是R的非空子集，如 果对于每一个数xD，变量y按照某种对应法则有 惟一惟一确定的数值和它对应，则称y是x的函数，记作 yf (x)并称变量x为该函数的自变量，变量y为因变量， f 是函数中表示对应法则的记号，D是函数的定义域， 也可以记作D(f )，数集 Wy|yf (x), xD为函数的值域，也可以记作 Rf 或 f (D)。函数函数函数的表示方法有解析法（也称公式法）、图像法、表格法等等。还需要指出，函数可以含有一个或多个自变量。含有一个自变量的函数称为一元函数。含

3、有多个自变量的函数称为多元函数。如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数单值函数，否则叫多值函数多值函数函数的定义域函数的定义域 函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值范围。判断函数有意义的方法有下列几种：分式的分母不等于零；分式的分母不等于零；偶次方根式中，被开方式大于等于零；偶次方根式中，被开方式大于等于零；含有对数的式子，真数式大于零；含有对数的式子，真数式大于零；反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于反正弦、反余弦符号内的式子绝对值小于等于1 1；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集；若已知若

4、已知y = f ( x )的定义域是的定义域是a,b, ,求求 y= f (x) 的定义域，的定义域， 方法是解不等式组方法是解不等式组 a(x) b练习：求下列函数的定义域例1 求下列函数的定义域p定义1-2 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果存在 正数M，使得对任意的x，均有 | f (x) | M则称函数yf(x)在区间I内是有界的。M为yf (x)在 区间I内的一个界。如果不存在这样的常数，则称 函数yf (x)在区间I内是无界的。p有界函数的图像在区间I内被限制在yM和yM 两条直线之间。 函数的性质1、有界性2、奇偶性p定义1-3 设函数yf (x)的定义域 D关于原点对称

5、（即若 ，则必定 ）。 如果对任意的 ，均有 f (x)f (x) 则称函数yf (x)是偶函数； 如果对任意的 ，均有 f (x)f (x) 则称函数yf (x)是奇函数。p奇函数的图像关于原点对称。p偶函数的图像关于 y 轴对称。 学过的函数中，奇函数有yx、ysinx、ytanx等， 偶函数有yx2、ycosx等。 而y2x和ylgx既不是奇函数，也不是偶函数。 p研究函数奇偶性的好处在于，如果一个函数是奇函数（或偶函数），则只要研究自变量大于等于零的一半就可以推知全貌。 周期函数的周期通常是指它的最小正周期。例如，ysin x和ytan x都是周期函数， 前者的周期是2，后者的周期是。

6、 3、周期性p定义1-4 设函数yf (x)的定义域为D。如果存在常数 T0，使得对任一 ，都有 ，且等式 一定成立；则称函数yf (x)是周期函数，T 称为该 函数的周期。p定义1-5 设函数yf (x)在区间I内有定义。如果对 任意的 ，且 x1x2 时，均有 f (x1)f (x2) 则称函数yf (x)在区间I内是单调增加的。 如果在同样条件下恒有 f (x1)f (x2) 则称函数yf(x)在区间I内是单调减少的。 单调增加或单调减少的函数统称为单调函数。 4、单调性 定义1-6 设函数yf (x)的定义域为D，值域为Rf 。若对 每一个 ，都有惟一确定的 满足f (x)y， 那么就

7、可以把y作为自变量，而x是y的函数。 这个新的函数称为yf (x)的反函数，记作 yf 1(x) 这个函数的定义域为Rf ，值域为D。 相应地，函数yf (x)称为直接函数。 1.1.4 1.1.4 反函数反函数显然，如果把反函数的图像和它的直接函数的图像画在同一个坐标系中，则它们的图形是关于直线 yx 为对称的。例 求 ylog3(2x3) 的反函数。p若函数yf (x)在某个定义区间上单调增加 或单调减少，则它在该区间上必定存在反函数。 p实际上，并不是任何函数都有反函数的。p那么，什么样的函数存在反函数呢？解： 从方程 ylog3(2x3) 中解出x为则所求反函数为p对于函数ysinx，

8、如果令xt ，并将它代入 ysinx ，就可以得到函数ysint 。 可以看成由ysinx和xt复合而成。 1.1.4 复合函数p定义1-7 设函数yf (u)的定义域是D1，函数u(x)的 定义域是D2，当x在的定义域D2或其中一部分取值时， u(x)的函数值均在yf (u)的定义域D1内。对于这样 取定的x的值，通过u有确定的值y与之对应，从而可以 得到一个以x为自变量， y为因变量的函数，这个函数 称为由函数yf(u)及u(x)复合而成的复合函数，记作 yf (x) 而u称为中间变量。 复合函数复合函数p复合函数的复合过程u(x) yf (u) yf (x) 中间中间变量变量p关于复合函

9、数，需要说明一点： 不是任何两个函数都可以复合成一个函数的。例如，y=arcsinu与u=x2+8就不能复合成一个函数。 因为由函数u=x2+8确定的u的值域是8,+)，不在 函数y=arcsinu的定义域内。p因此，求复合函数的定义域时，要考虑构成复合函数的所有基本初等函数都有意义。解：是由 和 复合而成的是由 和 复合而成的是由 和 复合而成的是由 、 和 复合而成的例 指出下列各函数的复合过程（1）T ln(tan) （2）（3） （4） 1.1.5 1.1.5 初等函数初等函数 常值函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数 和反三角函数6类是最常见、最基本的函数，这些函 数称为基本初

10、等函数。 基本初等函数是构建复杂函数的基础。 （1 1）常值函数）常值函数（2 2）幂函数幂函数（3 3）指数函数）指数函数（4 4）对数函数）对数函数对数函数与指数函数互为反函数对数函数与指数函数互为反函数. .(5)(5)三角函数三角函数正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数余切函数余切函数正割函数正割函数余割函数余割函数它们均为周期函数，它们均为周期函数，sinsinx和和coscosx有界。其余三角函数无界。有界。其余三角函数无界。sinsinx，tantanx，csccscx为奇函数。为奇函数。coscosx,cot,cotx,sec,secx为偶函数。为偶函数。 （6）反

11、三角函数）反三角函数arcsinx,arctanx是单调递增的是单调递增的, ,crccosx,crccotx是单调递是单调递减的。它们都是有界函数。减的。它们都是有界函数。p由基本初等函数经过有限次有限次四则运算和有限次有限次复合运 算所构成并能用一个式子表示用一个式子表示的函数，称为初等函数。 例如， y sin3x 、 u sin(x) （、是常数） 都是初等函数。p凡不能用一个式子表示的函数都不是初等函数。 一般情况下，分段函数不是初等函数.含有绝对值符号的函数一 般也不是初等函数。本本节内容内容1.2.1数列的极限1.2.2函数的极限1.2.3极限的性质1 1.2.2 极极 限限 p

12、研究函数变化的基本工具是极限的方法。极限的概念是微积分学中最基本的概念，后面将要介绍的函数的连续性、导数、定积分等概念都要以极限为基础。p两千多年前，我国古人就有了初步的极限概念。公元263年，我国数学家刘徽根据朴素的极限思想先后计算了圆内接正6边形、正12边形、正24边形、正48边形、的面积，他算出的圆周率是3.14（3072边形），这已经是很好的近似值了，非常了不起。p数列是按照某种法则产生的一系列数的依次排列。 无穷数列 x1, x2, xn,（常简记为xn）可以看作自 变量为正整数n的函数，即xnf (n) （整标函数）。 因此，数列的极限是一类特殊函数的极限。p定义1-9 对数列xn

13、 ，如果当n无限增大时， xn无限接 近一个常数a ，那么a 就称为数列xn的极限，或称数 列xn收敛于a ，记为1.2.1 数列的极限数列的极限或 xna(n)p如果数列没有极限，就说数列是发散的。p如果一个数列有极限，则此极限是惟一的。 p定义1-9中“如果当n无限增大时，数列xn无限接 近一个常数a”的实质是：随着n的无限增大，xn与 常数a的距离| xn a|可以任意小，即要多小都可以 有多小（不排除数列的某些项取常数a的可能）。 例 根据极限的定义，判断下列各数列是否有极限， 对于收敛的数列指出其极限：（1）1,2,3,n, （2）（3）1,1,1,(1)n1, （4）（5）解：将上

14、述数列逐项在数轴上表示出来，如下列图所示 （1）1,2,3,n,（2）（3）1,1,1,(1)n1,（4）（5）1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限 p对函数 ，当|x|无限增大时，对应的函数值y 无限接近常数0（参看右图）， 这时就称 以0为极限。 1.2.2 函数的极限p定义1-10 设函数yf(x)对绝对值无论怎样大的自变量 都有定义，如果当|x|无限增大（即x ）时，函数 f (x)无限接近某个常数A ，那么A就称为函数f (x)当x趋 向无穷大时的极限，记为 如果 不存在，则函数f (x)当x时没有极限。或 f (x) A (x)p定义1-10中“如果当|x

15、|无限增大（即x）时， 函数f (x)无限接近某个常数A”的实质是：随着 x 的绝对值的无限增大，函数f(x)与常数A的距离 |f(x)A|可以任意小，即要多小都可以有多小 （不排除f (x)取常数A的可能）。p如果在定义1-10中限制x只取正值或者只取负值， 即有称函数f (x)当x趋向正无穷大（或负无穷大）时的极限为A。或p对于函数 ，其图像如下图所示。 由于 ，并且 两个极限相等，从而p对于函数yarctan x ，由于 两个极限不相等，从而 不存在p对于函数y2x ，由于其中一个极限不存在，从而 不存在通过对以上3个函数的分析说明，p只有当 和 都存在并且相等时， 才存在并与前两者相等

16、。2、自变量趋向有限值时函数的极限、自变量趋向有限值时函数的极限或 f (x)A (当xx0 )p定义1-11 设函数yf (x)在点x0的某个空心邻域 有定义，如果x无限接近有限数 x0 ，即xx0(xx0)时， 函数f (x)无限接近某个常数A，那么就称A为函数f (x) 当xx0时的极限，记为p x无限接近有限数x0而不要求等于x0，意味着当xx0 时， f (x)的变化趋势与f (x) 在x0是否有定义或如何 定义无关。前者是f (x)在x0附近的动态描述，后者是 f (x)在 x0的静态说明。 p左极限p右极限p只有当 和 都存在并且 相等时， 才存在并与前两者相等。 左极限、右极限

17、p实例1 考察极限 （c为常数）。 因为函数yc在R上都等于常数c ，所以p实例2 考察极限 。 当 时，tanx ；当 时，tanx 。故 不存在。 故p实例3 考察极限 ，其中 由于 和 都存在并且都等于2， 所以 存在且等于2。但是， f(1)1，所以 。练习练习1解解练习练习2解解解解练习练习3 3练习题练习题 1, 2 ,3 说明了下列几种重要现象：说明了下列几种重要现象：(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在，但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如练习1) .(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有极限， 但两者不等，(3) 函数 f (

18、x) 在 x0 处有定义，也有极限且两者相等 .(如练习2) 1.2.3 极限的性质1.4 1.4 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量本节内容本节内容1.4.1 无穷小量 1.4.2 无穷小量的比较 1.4.3 无穷大量 1.4.1 1.4.1 无无穷小量小量p定义1-12如果在x的某种趋向下，函数f(x)以零为极限，则称在x的这种趋向下，函数f(x)是无穷小量，简称无穷小。p例如，数列的极限是零，故（当n时）是无穷小量。当x时，函数是无穷小量。当x0时，sinx和lg(1x)也都是无穷小量。 p定理1 有限个无穷小量的和也是无穷小量。 例如，当x0时，x3和sinx都是无穷小量， 所以x3

19、sinx也是无穷小量。无限个无穷小量的和就不一定是无穷小量了。p定理2 有限个无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x2时，(x24)和ln(x1)都是无穷小量， 所以(x24)ln(x1)也是无穷小量。 无穷小量的性质无穷小量的性质p定理3 有界函数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x0时，函数x是无穷小量，而 是 有界函数，所以 也是无穷小量p定理4 常数与无穷小量的乘积是无穷小量。 例如，当x时，2-x是无穷小量， 所以3（2-x）也是无穷小量。1.4.21.4.2 无穷小量的比较无穷小量的比较 已经知道，两个无穷小的和、差、积都是无穷小，但是两个无穷小的商将有什么样的情况呢？定义:无

20、穷小量的比较无穷小量的比较p定义1-13 如果在x的某种趋向下，函数 f (x)的绝对值 可以任意地大，则称函数是在的这种趋向下的无穷大 量，简称无穷大。p例如，当x时函数x2是无穷大量，当x0时函数 1/x是无穷大量，当x时函数ln(1x)是无穷大量。 1.4.31.4.3 无穷大量无穷大量 p在自变量的变化过程中为无穷大量的函数f (x) ，按极 限的定义其极限是不存在的。但是为了便于叙述函数 的这一性态，可以这样说：函数的极限是无穷大量， 并记做 lim f (x) 类似地，还有lim f (x) lim f (x) p这样一来，相关的极限就可以方便地表达了。 前面的几个例子可以写成 p

21、显然，无穷小量和无穷大量有这样的关系： 无穷大量的倒数是无穷小量无穷大量的倒数是无穷小量 恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量 本本节内容内容1.3.1极限的运算法则1.3.2两个重要极限1.3 1.3 极限的运算极限的运算1.3.1、极限的运算法则、极限的运算法则 设 lim f (x)A ， lim g(x)B ，则（1）limf(x)g(x) limf(x)limg(x) =AB （2）limf(x)g(x) limf(x)limg(x) AB 或 limf (x)nlimf (x)n An （n为正整数）（3）limCf(x) Climf(x) CA （

22、C为常数）（4 4） （B B00）或limf(x)g(x)limf(x) limg(x) =AB, limf(x) 0 利用上述极限运算法则求下列函数极限例例1解：解：因为分母所以原式例例2 求解：= =+ +- - -4532lim21xxxx故由恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量恒不为零的无穷小量的倒数是无穷大量得= =- -+ +- -03245lim21xxxx但因= =+ +- -, 0)45(lim21xxx不能应用商的极限运算法则。因为分母的极限例例3，不能应用商的极限运算法则。因为分母的极限但因时。，故解：解：型分式函数（1）分母0，直接求解。（2）分母=0分子0，结果为。分

23、子=0，分子分母分别有理化，消去使得分 子分母趋于零的因子；然后求解。型练： 求下列函数极限解：解：解：例例4解： 将分子分母同除以 得型练习 求下列极限： （1）（2）（3） （2）（1）解:（3）p通过本题的解答可以得到如下的一般结果： 当a0，b00时，有 1.3.2、两个重要极限、两个重要极限 p在微分学中有两个重要的极限公式，它们在计算有 关极限时很有用。第一个重要极限：第一个重要极限：这个结果可以作为公式使用解：原式=例 1计算即当x0时，x:tanx解例 2这个结果可以作为公式使用即当x0时，1-cosx:x2解例 3也可以按如下格式进行：第二个重要极限：第二个重要极限：第二个重

24、要极限：第二个重要极限：（1 1）此极限主要解决）此极限主要解决1 1型幂指函数的极限型幂指函数的极限说明：说明：（2 2）它可以形象的表示为：）它可以形象的表示为：（其中（其中表示相同的表示相同的 变量或表达式）变量或表达式）或或例2 证明：例1 求解：原式=证明：即当x0时，ln(1+x):x例3 解解方法一方法一令令 u = -x， 因为因为 x 0 时 u 0，所以所以方法二方法二掌握熟练后可不设新变量掌握熟练后可不设新变量例 4解因为所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，因此练习 求下列极限利用无穷小量计算极限利用无穷小量计算极限等价无穷小替换定理：证： 本定理说，在求商式

25、或乘积的极限时，分子或分母有无穷小量的因子时，可以用和它等价的无穷小代换这种等价无穷小代换常使计算简化。但必须有乘、除式才可以使用等价无穷小代换，而诸如对加式、减式或幂中等方面的函数中出现的无穷小的求极限过程一般不能用等价无穷小代换。常用的等价无穷小量当x0时， x:sinx; x: tanx; x: arcsinx; x: arctanx; x: ln(1+x) x:ex-1 , 1-cosx:x2 例1 求 例2 求 解解 当x0时，sin2x:2x，ln(1+x):x，所以若直接用 x 代替 tanx 及 sinx，因为，虽然 tanx x，sinx x ，但 tanx-sinx 0则不

26、成立，因此，这里用 0 代替 tanx sinx 是错误的。是错误的。则例3例3解：原式=本本节内容内容1.5.1函数的连续性1.5.2连续函数的运算1.5.3 初等函数的连续性1.5.4 间断点1.5.5 闭区间上连续函数的性质1.5 函数的连续性函数的连续性 连续性是函数的重要性质之一，是相对间断而言的，它反映了许多自然现象的一个共同特性。例如，气温的变化、动植物的生长以及空气的流动等，都是随着时间在连续不断地变化着。这些现象反映在数学上，就是函数的连续性。1.5.1 函数的连续性函数的连续性从下图所表示的函数图象看，函数在点x1 、x2和x3是间断的，在其余的点是连续的。p定义1 设函数

27、f (x)在x0的一个邻域内有定义，如果 函数f (x)当xx0时的极限存在，且等于它在点x0处的 函数值f (x0)，即那么就称函数f (x)在点x0处连续，称x0为函数的连续点。根据定义可以得知：函数在点x0处连续的充分且必要的条件是： f (x0)存在； 存在； 两者相等记 x = x - x0，且称之为自变量 x 的改变量或增量，记 y = f (x) - f (x0) 或 y = f (x0+ x) - f (x) 称为函数 y = f (x) 在 x0 处的增量。 那么函数 y = f (x) 在 x0 处连续也可以叙述为：定义 2设函数 y = f (x) 在 x0 的一个邻域内

28、有定义，如果则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续。N若函数 y = f (x) 在点 x0 处有：则分别称函数 y = f (x) 在 x0 处是左连续或右连续。 由此可知，函数 y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为：即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续例 1证因为且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 。定理1 若函数f (x)和g (x)均在x0处连续，则f (x) +g (x) ，f (x)-g(x)， f (x) g (x)在该点亦均连续，又若 g(x0) 0，则在 x0 处也连续.定

29、理定理3 3 若函数y=f (x)在某区间上单值、单调且连续，则它的反函数 x= f -1(y)在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同，即它们同为递增或同为递减.定理4 初等函数在其定义区间内是连续的.定理2 设函数y = f (u)在u0 处连续，函数u = (x)在x0处连续，且u0 = (x0)，则复合函数f (x)在x0 处连续 .1.5.2 连续函数的运算例2 求极限解：复合而成的。，而 是由和而 ，且lnu 在 u=e处连续。故1、 求 2、 求3、 求（3）解：练习解：4 求 定义设函数y = f (x)在x0的一个邻域有定义(在x0可以没有定义)，如果函数f (x

30、)在点x0处不连续，则称 x0 是函数 y = f (x) 的间断点。也称函数在该点间断。1.5.4 间断点1.1.第一类间断点第一类间断点若 x0 为函数 y = f (x) 的间断点，则称x0为f(x)的第一类间断点。即左、右极限都存在的间断点为第一类间断点。 在第一类间断点中，若f (x)在点 x0 的左、右极限存在且相等，则称x0 是函数f (x)的可去间断点可去间断点；若f (x)在点 x0的左、右极限存在但不相等，则称 x0是函数f (x)的跳跃间断点跳跃间断点例 1 证明 x = 0 为函数证因为该函数在 x = 0 处没有定义, 所以 x = 0 是它的间断点， 又因为所以 x

31、 = 0 为该函数的第一类间断点 。yxO2.2.第二类间断点第二类间断点 若 x0 是函数 y = f (x) 的间断点，且在该点至少有一个单侧极限不存在，则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点。故 x = 0 是该函数的间断点. 即该函数在 x = 0 处的左、右极限都不存在，所以 x = 0 是该函数的第二类间断点。例如， 在第二类间断点中，左、右极限至少有一个为无穷大，则称 x0是函数f (x)的无穷间断点无穷间断点1.5.5 闭区间上连续函数的性质定理5(有界定理) 闭区间上的连续函数有界定理6(最值定理) 闭区间上的连续函数必能取得最大值和最小值注意注意: :1.若区间是开区间

32、若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.定理7(介值定理) 闭区间上的连续函数必能取得介于最大值和最小值之间的一切值定理8(零值定理) 函数f (x)在闭区间a,b上连续，f (a)与f (b)异号，则函数f (x)在(a,b)内至少有一个零值点几何解释几何解释:几何解释几何解释:C推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.证：由零点定理由零点定理,一、数学模型的含义一、数学模型的含义二、数学模型的建立过程二、数学模型的建立过程三、函数模型的建立三、函数模型的建立1.6 1.6 数学模型方法简述数学模型方法简述数学模型方法简述数学模型方法简述 一、数学模型的含义一、数学模型的含义二、数学模型的建立过程二、数学模型的建立过程三、函数模型的建立三、函数模型的建立 PF