《第二章连续系统的时域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章连续系统的时域分析（72页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二章 连续系统的时域分析时域分析方法：时域分析方法：即对于给定的激励，由系统的数学模型（微分方程）求得其响应的方法。由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t，故称为时域分析法。这种方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。LTI连续系统的时域分析，归结为：建立并求解线性微分方程。本章主要内容本章主要内容2.1 LTI连续系统的响应2.2 冲激响应和阶跃响应冲激响应和阶跃响应2.3 卷积积分2.4 卷积积分的性质卷积积分的性质2.1 LTI连续系统的响应一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解二、关于二、关于0-和和0+值值三、零输入响应三、零输入响应四、零状态响应四、零状态响
2、应五、全响应五、全响应其经典解：其经典解：y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解）齐次解是齐次微分方程y(n)+an-1y(n-1)+a1y(1)(t)+a0y(t)=0的解。齐次解yh(t)的函数形式由上述微分方程的特征根确定。y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)一、微分方程的经典解一、微分方程的经典解表表21 不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解特征根齐次解yh(t)单实根et ？ r重实
3、根 (Cr-1 tr-1+ Cr-2 tr-2+ C1 t1+C0) et一对共轭复根1,2=je tCcos(t)+Dsin(t)或Acos(t-)其中A e j =C+jDr重共轭复根Ar-1tr-1 cos(t+r-1)+ Ar-2tr-2 cos(t+r-2)+ A0 cos(t+0) e t齐次解的函数形式仅与系统本身的特性系统本身的特性有关，而与激励f(t)的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应；特解的函数形式由激励确定，称为强迫响应。问：若问：若f(t)=c（常数），特解形式？常数），特解形式？解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2，2= 3。齐
4、次解为yh(t) = C1e 2t + C2e 3t ？因为因为f(t) = 2e t，故其特解可设为yp(t) = Pe t将其代入微分方程得Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得P=1于是特解为yp(t) = e t例描述某系统的微分方程为y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t)求（1）当f(t) = 2e-t，t0；y(0)=2，y(0)= -1时的全解；（2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。其中待定常数C1,C2由初始条件确定。y(0) = C1+C2+ 1 = 2，y(0) = 2C1 3C2 1= 1
5、解得C1 = 3 ，C2 = 2最后得全解y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0全解为：全解为： y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 注意：注意：自由响应的系数C Cj j由系统的初始状态和激由系统的初始状态和激励信号共同来确定励信号共同来确定 自由响应强迫响应解：齐次解同上。解：齐次解同上。由于f(t)=e2t，其指数与特征根之一相重。故其特解可设为yp(t) = (P1t + P0)e2t代入微分方程可得P1e-2t = e2t所以P1= 1 但P0不能求得。全解为全解为y(t)= C1e2t + C2e3t + t
6、e2t + P0e2t= (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t将初始条件代入，得y(0) = (C1+P0) + C2=1 ，y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0解得C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0注：注：上式第一项的系数上式第一项的系数C1+P0= 2，不能区分不能区分C1和P0，因而也不能区分自由响应和强迫响应。（2）当f(t) = e-2t，t0；y(0)= 1，y(0)=0时的全解。二、关于二、关于0-和和0+值值在t=0-时，激励尚未接入，该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情
7、况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。为求解微分方程，就需要从已知的初始状态初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。下列举例说明。若输入f(t)是在t=0时接入系统，则确定确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值，即y(j)(0+) (j=0,1,2，n-1)。y(j)(0+)包含了输入信号的作用，不便于描述系统的历史信息。解：将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) （1）由于上式对于所有t都都成立，等号两端(t)项的系数应相等。由于等号右端为由于等号右端为2(t)，故y”(t)应包含冲激函数，从而y(
8、t)在t= 0处将发生跃变，即y(0+)y(0-)。但y(t)不含冲激函数，否则y”(t)将含有(t)项。由于于y(t)中不含中不含(t)，故，故y(t)在在t=0处是连续的。处是连续的。故y(0+) = y(0-) = 2例：例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)= 0，f(t)=(t)，求y(0+)和y(0+)。由于积分在无穷小区间0-，0+进行的，且y(t)在t=0连续，故对式对式(1)两端积分有两端积分有于是由上式得于是由上式得y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2因为y(0+
9、) = y(0-)=2 ，所以y(0+) y(0-) = 2 ， y(0+) = y(0-) + 2 =2由上可见，由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。三、零输入响应y(t) = yzs(t) + yzi(t) 。零输入响应，零输入响应，对应的输入为零，所以方程为y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)0若其特征根都为单根，则零输入响应为：若其特征根都为单根，则零输入响应为：由于激励为零，故有由于激励为零，故有yzi(j)(0+
10、)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-), (j=0,1,n-1)四、零状态响应方程仍为方程仍为y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t)= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t)对于零状态响应，在t=0-时刻激励尚未接入，故应有yzs(j)(0-)=0；若若微分方程的特征根均为单根，则其零状态微分方程的特征根均为单根，则其零状态响应为响应为Czsj 为待定系数，为待定系数，yp(t)为方程的特解为方程的特解解：（1）零输入响应yzi(t) 激励为0 ，故yzi(t)满
11、足yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0该齐次方程的特征根为1， 2，故yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t代入初始值并解得系数为Czi1=4 ,Czi2= 2 ，代入得yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0例：描述某系统的微分方程为y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t)已知y(0-)=2，y(0-)=0，f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。注意此时系数注意此时系数C的求法！的求法！yzs”(
12、t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有yzs(0-) = yzs(0-) = 0由于上式等号右端含有(t)，故yzs”(t)含有(t)，从而yzs(t)跃变，即yzs(0+)yzs(0-)，而yzs(t)在t = 0连续，即yzs(0+) = yzs(0-) = 0，积分得（2）零状态响应yzs(t) 满足因此，yzs(0+)= 2 yzs(0-)=2对对t0时，时，有有yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3，于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-
13、2t + 3代入初始值初始值求得yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ，t0五、全响应五、全响应如果系统的初始状态不为零，在激励f(t)的作用下，LTI系统的响应称为全响应称为全响应，它是零输入响应与零状态响应之和，即 y(t)=yzi(t)+yzs(t)虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，虽然自由响应和零输入响应都是齐次方程的解，但两者的系数各不相同，但两者的系数各不相同，c czijzij仅仅由系统的初始由系统的初始状态所决定，而状态所决定，而c cj j由由系统的初始状态和激励信系统的初始状态和激励信号共同来确定。号共同来确定。也就是说，也就是说，自由响应包含零输入响应的
14、全部和自由响应包含零输入响应的全部和零状态响应的一部分。零状态响应的一部分。讨论讨论2.2 冲激响应和阶跃响应一、冲激响应一、冲激响应由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应简称冲激响应，记为h(t)。h(t)=T0,(t)例1 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t),求其冲激响应h(t)。解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t)h(0-) = h(0-) = 0先求h(0+)和h(0+)。h(t)在t=0连续，即h(0+)=h(0-)。积分得因方程右端有因方程右端有(t)，故利用系数平衡法
15、。故利用系数平衡法。h”(t)中含(t)，h(t)含(t)，h(0+)h(0-)，考虑h(0+)= h(0-)，由上式可得h(0+)=h(0-)=0 , h(0+) =1 + h(0-) = 1对对t0时，时，有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为一齐次解。故系统的冲激响应为一齐次解。微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为 h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)(t)代入初始条件求得C1=1,C2=-1, 所以h(t)=( e-2t - e-3t)(t)解根据h(t)的定义有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = ”(t)+ 2(t)+3
16、(t) (1)h(0-) = h(0-) = 0先求h(0+)和h(0+)。由方程可知， h(t) 中含(t)故令h(t) = a(t) + p1(t) p1(t) 为不含(t) 的某函数h(t) = a(t) + b(t) + p2(t)h”(t) = a”(t) + b(t) + c(t)+ p3(t)代入式(1)，有例2 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)求其冲激响应h(t)。整理得整理得a”(t)+(b+5a)(t)+(c +5b+6a)(t) + p3(t)+5 p2(t)+6 p1(t)= ”(t) + 2(t)
17、+ 3(t)利用(t) 系数匹配，得a =1 ，b = - 3，c = 12所以h(t) = (t) + p1(t) （2）h(t) = (t) - 3(t) + p2(t) （3）h”(t) = ”(t) - 3 (t) + 12(t)+ p3(t) （4）对式(3)从0-到0+积分得h(0+) h(0-) = 3对式(4)从0-到0+积分得h(0+) h(0-) =12a”(t) + b(t)+ c(t) + p3(t) + 5a(t) + b(t) + p2(t) + 6a(t) + p1(t) = ”(t)+ 2(t)+3(t)微分方程的特征根为 2， 3。故系统的冲激响应为h(t)=
18、 C1e2t + C2e3t ， t0代入初始条件h(0+) = 3， h(0+) =12求得C1=3，C2= 6, 所以h(t)= 3e2t 6e3t , t 0结合式(2)得h(t)=(t) + (3e2t 6e3t)(t)对对t0时，有时，有h”(t) + 6h(t) + 5h(t) = 0故h(0+) = 3， h(0+) =12冲激响应示意图冲激响应示意图 x(0)=0二、阶跃响应阶跃响应示意图阶跃响应示意图* *阶跃响应是激励为单位阶跃函数阶跃响应是激励为单位阶跃函数 ( (t)t)时，系统的零时，系统的零状态响应，如下图所示。状态响应，如下图所示。线性非时变系统g(t)x(0)0
19、01t(t)g(t)0t(t)用用g(t)表示阶跃响应表示阶跃响应如果描述系统的微分方程是式如果描述系统的微分方程是式y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= f(t) ，当当f(t)=f(t)= (t)(t)时，有时，有式（式（1 1）的）的特解为特解为其初始值为其初始值为:注：注：除g(n)(t)外？y(n)(t)+a n-1 y(n-1)(t)+a1y(1)(t)+a0y(t)= bmf(m)(t)+bm-1f (m-1)(t)+b1f(1)(t)+b0f(t)若若微微分分方方程程的的特特征征根根i i(i=1(i=1，2 2，n)n)均均为为单
20、单根根，则系统的阶跃响应的一般形式则系统的阶跃响应的一般形式(nm)(nm)为为 若描述系统的微分方程是式描述系统的微分方程是式可根据可根据LTI系统的线性性质和系统的线性性质和微积分微积分特性求出阶跃响应：特性求出阶跃响应：解：系统的微分方程解：系统的微分方程设图中右端积分器的输出为x(t)，则其输入为x(t)，左端积分器的输入为x(t)。左端加法器的输出为 x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)例例2.2-3 如图如图2.2-3 所示的所示的LTI系统，求其阶跃响应系统，求其阶跃响应 y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t
21、) x(t) x(t)右端加法器的输出为 y(t)=- x(t)+2 x(t)x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t); （1）y(t)=- x(t)+2 x(t) （2）阶跃响应若设（1）式所述系统的阶跃响应为gx(t),则有 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)gx(t)满足方程 gx(t) +3 gx(t)+2 gx(t) (t) gx(0_) = gx(0_) =0其特征根11； 22，其特解为0.5，于是得 gx(t)(C1e-t+C2e-2t+0.5) (t) 初始值为gx(0) = gx(0) =0，代入上式得 gx(0)=C1+C2+0.5=0; gx(0) =-
22、C1-2C2=0解得解得 C1-1；C20.5所以， gx(t)(-e-t+0.5e-2t+0.5) (t) 求出 gx(t)，代入g(t)=- gx(t)+2 gx(t)得 g(t)=- gx(t)+2 gx(t)(-3e-t+2e-2t+1) (t) 解法二：由（解法二：由（1）、（）、（2）式求得）式求得系统的微分方程为： y(t)+3y(t)+2y(t)=-f(t)+2f(t)当f(t)=(t)时，有先求h(0+)和h(0+)令：由（由（4）式从）式从0-到到0+积分得积分得将上三式将上三式代入（代入（3）式得）式得由（由（5）式从）式从0-到到0+积分得积分得可以求得系统的冲激响应为
23、可以求得系统的冲激响应为 h(t)=(3e-t-4e-2t) (t) 当当t0,有有所以所以由由2.3 卷积积分一、信号的时域分解与卷积积分1 .信号的时域分解(1) 预备知识 问f1(t) = ? p(t)“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度f() ,宽度为 ，用p(t - )表示为：f() p(t - )“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表示 为： f ( - ) p(t + )(2) 任意信号分解任意信号分解2 .任意信号作用下的零状态响应根据h(t)的定义： (t) h(t)由时不变性： (t -) h(t -)由齐
24、次性：f ()(t -) f () h(t -)由叠加性：3 .卷积积分的定义已知定义在区间（ ，）上的两个函数f1(t)和f2(t)，则定义积分为f1(t)与f2(t)的卷积积分，简称卷积；记为f(t)= f1(t)*f2(t)注意：积分是在虚设的变量下进行的，为积分变量，t为参变量。结果仍为t 的函数。解： yzs(t) = f (t) * h(t)例：f (t) = e t,（-t)，h(t) = (6e-2t 1)(t)，求yzs(t)。当t t时，(t -) = 0卷积积分的图解计算卷积积分的图解计算 信号f1(t)与f2(t)的卷积运算可通过以下几个步骤来完成： 第第一一步步，画出
25、f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。 第第二二步步，将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-)波形。 第第三三步步，给给定定一一个个t值值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。在t0时，波形往右移。这样就得到了f2(t-)的波形。 第第四四步步，将f1()和f2(t-)相乘，得到卷积积分式中的被积函数f1()f2(t-)。 第第五五步步，计算乘积信号f1()f2(t-)波形与轴之间包含的净面积，便是卷积在t时刻的值。 第第六六步步，令变量t在(-，)范围内变化，重复第三、四、五步操作，最终得到卷积信号f1(t)*f2(t)。 例例 给
26、定信号 求y(t)=f1(t)*f2(t)。 图图 f1(t)和和f2(t)波形波形 图 2-6 卷积的图解表示(1) 4、当当t0时时，f2(t-)波形如图2.6(c)所示，对任一，乘积f1()f2(t-)恒为零，故y(t)=0。1、画出f1(t)与f2(t)波形，将波形图中的t轴改换成轴，分别得到f1()和f2()的波形。 2、将f2()波形以纵轴为中心轴翻转180，得到f2(-)波形。3、给定一个t值，将f2(-)波形沿轴平移|t|。当当0t3时时，f2(t-)波形如图2-6(e)所示，此时，仅在03范 围 内 ， 乘 积f1()f2(t-) 不为零，故有：小结：小结：卷积积分运算是由信
27、号的反转、平移、相乘反转、平移、相乘和积分和积分等基本环节组成的一个复杂过程。所以所以2.4 卷积性质卷积性质 性质性质1 卷积的代数运算卷积运算满足三个基本代数运算律，即交换律交换律 证明：将换成t-，则有结合律 分配律 物理意义？物理意义？见书见书p67 f1(t) h2(t) h1(t) h2(t)=f2(t) h3(t)=f3(t) yzs(t)+ h(t) f1(t) yzs(t) = h(t)=f2(t)+f3(t) =h2(t)+h3(t)性质性质2 f(t)与奇异信号的卷积与奇异信号的卷积(1) 信号信号f(t)与冲激信号与冲激信号(t)的卷积等于的卷积等于f(t)本身，即本身
28、，即 同理可得：同理可得：问：问：证明：证明：根据卷积的定义和(t)的取样性质反之？反之？证明：证明：意义？意义？(2) 信号信号f(t)与阶跃信号与阶跃信号 (t)的卷积等于的卷积等于信号信号f(t)的积的积分分， 即即 证：证： 因为因为所以，上式成立所以，上式成立意义？性质性质3 卷积的微分和积分卷积的微分和积分 证明：证明： 1、卷积的微分、卷积的微分由由交换律，有交换律，有2、卷积的积分、卷积的积分两个函数的卷积的积分，两个函数的卷积的积分，等于其中一个函数积分后与另一个函数的卷积3、卷积的微积分、卷积的微积分两个函数的卷积两个函数的卷积，等于其中一个函数的微分与另一个函数的积分的卷
29、积；条件：条件：被求导函数在t= -处的值为0；或或被积分函数在(- , )的积分为零。由此可知：由此可知： 信号信号f(t)与冲激偶与冲激偶(t)的卷积等于的卷积等于f(t)的导函数，的导函数， 即即 f(t)*(n)(t) = f (n)(t)同理同理意义？意义？性质性质4 卷积时移卷积时移 证明：由得：若f1(t)*f2(t)=y(t),则式中，t0为常数由卷积时移性质还可进一步得到如下推论：由卷积时移性质还可进一步得到如下推论： 若若f1(t)*f2(t)=y(t)， 则则 式中，t1和t2为实常数。 证明：证明：例 计算下列卷积积分： 解解 (1) 对于(t)* (t)。因为(-)=
30、0，故可应用卷积运算的微积分性质求得 解：（2）例1： f1(t) = 1， f2(t) = et(t)，求f1(t)* f2(t)解：通常复杂函数放前面，代入定义式得注意：若利用卷积的微积分性质，有注意：若利用卷积的微积分性质，有 f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t)= 0* f2(1)(t) = 0 显然是错误的。显然是错误的。条件：条件：被求导函数在t= -处的值为0；或或被积分函数在(- , )的积分为零。解：f1(t)* f2(t) = f1(t)* f2(1)(t) f1(t) =(t) (t 2)例2：f1(t) 如图, f2(t) = et(t)，求f1
31、(t)* f2(t)f1(t)* f2(t)=(1- et)(t) 1- e(t-2)(t-2)小结小结求卷积是本章的重点与难点。求解卷积的方法可归纳为：（1）利用定义式，直接进行积分。对于容易求积分的函数比较有效。如指数函数，多项式函数等。（2）图解法。特别适用于求某时刻点上的卷积值。（3）利用性质。比较灵活。三者常常结合起来使用。三者常常结合起来使用。卷积相关内容复习卷积相关内容复习1 .任意信号作用下的零状态响应例题例题例:设系统的冲激响应为h(t)=(t+T)+(t-T)，如图 (a)所示。输入信号为f(t)，如图 (b)所示，试求系统在信号f(t)激励下的零状态响应。 fzs(t)=
32、f(t)*h(t) =f(t)*(t+T)+(t-T) =f(t+T)+f(t-T)解：解：相关函数相关函数表示某信号与另一延时的信号之间的相似程度。相关函数可用于鉴别信号，广泛用于雷达回波的识别，通信同步信号的识别。相关函数也称为相关积分，与卷积的运算方法类似。相关函数也称为相关积分，与卷积的运算方法类似。实函数f1(t),和f2(t), 之间的互相关函数定义为：互相关函数是两信号之间时间差互相关函数是两信号之间时间差 的函数，一般地的函数，一般地R12( ) R21( )R12( )和和 R21( )的的关系关系若若f1(t)与与f2(t)是同一信号，则有自相关函数是同一信号，则有自相关函
33、数对对自相关函数有：自相关函数有：自相关函数是时移自相关函数是时移 的偶函数的偶函数例题例题例2.4.6 求图2.4-14(a)所示f(t)的自相关函数。解：由图可知所以，当 2时 R()=0当 -20时,当02时,R()第二章第二章 小结小结时域分析法：时域分析法：直接在时间域内对系统进行分析的方法。直接在时间域内对系统进行分析的方法。其方法有两种：其方法有两种：经典法经典法零输入和零状态法零输入和零状态法特解（受迫响应）：特解（受迫响应）： 特解的形式特解的形式由激励决定，由激励决定， 特解的系数特解的系数是由激励与系统共同决定的。是由激励与系统共同决定的。齐次解（自然响应）：齐次解（自然
34、响应）： 齐次解的形式齐次解的形式只与系统本身的特性有关，只与系统本身的特性有关， 但其但其待定系数待定系数的确定是由激励和系统的的确定是由激励和系统的 初始状态共同决定的。初始状态共同决定的。1 1、时域经典法：、时域经典法：全响应全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应 =自然响应自然响应 + 受迫响应受迫响应 =暂态响应暂态响应 + 稳态响应稳态响应零输入和零状态法零输入和零状态法零状态响应：零状态响应：时域卷积时域卷积法法零输入响应：零输入响应：经典法经典法 （系数由（系数由0 0- -初始条件确定）初始条件确定）见书见书P43求冲激响应零状态响应建立系统微分方程求特征方程的根求零输入响应 系 统 全响应
