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1、13.1.2 线段的垂直平分线的性质蜀河初中蜀河初中 吴相河吴相河 如果一个平面图形沿一条直线如果一个平面图形沿一条直线 ，直线两旁的部，直线两旁的部分能够分能够 ，这个图形就叫做轴对称图形，这个图形就叫做轴对称图形. . 折痕所在的这条直线叫做折痕所在的这条直线叫做_._.对称轴对称轴折叠折叠互相重合互相重合创设情境创设情境:1.前面我们学习了轴对称图形，前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？线段是轴对称图形吗？ 2.你能找出线段的对称轴吗？你能找出线段的对称轴吗？ 3. 线段的对称轴与这条线段有线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由什么关系？说明理由 把一个图形沿着某一条直线把
2、一个图形沿着某一条直线 , ,如果它能够如果它能够 , ,那么就说这两个图形关于这条直那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称线（成轴）对称, ,这条直线叫做对称轴这条直线叫做对称轴, ,折叠后重合的点是折叠后重合的点是对应点对应点, ,叫做叫做 . .AABCBC折叠折叠与另一个图形重合与另一个图形重合对称点对称点1.1.了解轴对称及了解轴对称及线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的性质和判定和判定. .2.2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题会应用线段垂直平分线的性质和判定解题. . 3.3.依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称图形的依据轴对称的性质找出两个图形成轴对称及轴对称
3、图形的对称轴对称轴. .4.4.作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图. .目标领航目标领航 画线段画线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l，在，在l上任意取点上任意取点P P， 量一量量一量点点P P到到A A与与B B的距离，你有什么发现？再取几个点试试的距离，你有什么发现？再取几个点试试. .你能你能说明理由吗？说明理由吗？结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个结论：线段垂直平分线上的点与这条线段两个 端点的距离相等端点的距离相等 反过来反过来, ,若若AP=BPAP=BP，则，则P P在线段在线段ABAB的垂直平的垂直平分
4、线上分线上. .结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上条线段的垂直平分线上. . 线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点的距离相线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点的距离相等的所有点的集合等的所有点的集合. . 问题探究问题探究几何的几何的三种语言三种语言w如图如图, ,wAC=BC,PCAB,CAC=BC,PCAB,C是是l l上上任意任意一点一点( (已知已知),),wPA=PB(PA=PB(线段垂直平分线上线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离的点到这条线段两个端点距离相等相等).).2.2.如图，如图，NMNM是线
5、段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线, ,下列说下列说法正确的有：法正确的有： . .ABMN,AD=DBABMN,AD=DB， MNABMNAB， MD=DNMD=DN，ABAB是是MNMN的垂直平分线的垂直平分线. .A AB BM MN ND D1.1.下列说法：下列说法：若直线若直线PEPE是线段是线段ABAB的垂直平分线，则的垂直平分线，则EA=EBEA=EB，PA=PBPA=PB；若若PA=PBPA=PB，EA=EBEA=EB，则直线，则直线PEPE垂直平分垂直平分线段线段ABAB；若若PA=PBPA=PB，则点，则点P P必是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上的
6、点；的点；若若EA=EBEA=EB，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其其中正确的个数有（）中正确的个数有（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个C C练一练练一练既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连既然轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如线段的垂直平分线，那么轴对称图形的对称轴如何来作呢？何来作呢？ 只要我们找到一对对应只要我们找到一对对应点，作出连接它们的线段的点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴了两个图形的对称轴了自学展示自
7、学展示如何作出线段的垂直平分线？如何作出线段的垂直平分线？ 由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，由两点确定一条直线和线段垂直平分线的性质可知，只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可只要作出到线段两端点距离相等的两点并连接即可 合作探究合作探究:作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线. .已知：线段已知：线段AB.AB.求作：线段求作：线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线. .A AB BC CD D作法：作法：（2 2）作直线）作直线CD.CD.CDCD即为所求即为所求. .结论：结论：对于轴对称图形，只要对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作出对找到任意一组对应点，作出对应
8、点所连线段的垂直平分线，应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴就得到此图形的对称轴. .（1 1）分别以点）分别以点A A，B B为圆心，为圆心，以大于以大于 AB AB的长为半径作弧，的长为半径作弧，两弧交于两弧交于C C，D D两点两点. .1.1.下图中的五角星有几条对称轴？作出下图中的五角星有几条对称轴？作出这些对称轴这些对称轴 A AB B作法：作法：（1 1）找出五角星的一对）找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB（2 2）作出线段）作出线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 n n
9、用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有用同样的方法，可以找出五条对称轴，所以五角星有五五条条对称轴对称轴 【点拨释疑】 2. 2.如图，如图，ABCABC中，边中，边ABAB，BCBC的垂直的垂直平分线交于点平分线交于点P.P.（1 1）求证：）求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.（2 2）点）点P P是否也在边是否也在边ACAC的垂直平分线的垂直平分线上呢？由此你能得出什么结论？上呢？由此你能得出什么结论？A AP PC CB B结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点结论：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等到三角形三个顶点的距离相等.
10、 .当堂训练当堂训练2. 如图，已知如图，已知AB是线段是线段CD的垂直平分线，的垂直平分线，E是是AB上的上的一点，如果一点，如果EC=7 cm，那么，那么ED=_cm，如果，如果ECD60，那么，那么EDC_.分析：分析：AB是线段是线段CD的垂直平分线，的垂直平分线，EC=ED又又EC=7 cm，ED=7 cmEDC=ECD=601. 教材第教材第62页例页例1.1.1. 正方形正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角线分别是对角线BDBD上的两点，上的两点，过点过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，则图中阴影部的平行线，如图
11、所示，则图中阴影部分的面积之和等于分的面积之和等于 【解析解析】运用轴对称、转化的思想，阴运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半，即影部分面积等于正方形面积的一半，即 . .答案：答案：迁移应用迁移应用2. 2. 有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学三个村庄，现准备要建一所学校，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置. .A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处. .3.3.如图，若如图，若AC=12AC=12，B
12、C=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D D，求，求BCDBCD的周长的周长. .D DC CB BE EA A【解析解析】EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线，的垂直平分线， BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+DC+BC BCD BCD的周长的周长= = = = = =BD=ADBD=AD，AD+DC+BCAD+DC+BCAC+BCAC+BC12+7=19. 12+7=19. 4.4.如图，如果如图，如果ACDACD的周长为的周长为18cm18cm，ABCABC的的周长为周长为28cm28cm， DEDE是是BCBC的垂
13、直平分线的垂直平分线, ,根据这根据这些条件，你可以求出哪条线段的长些条件，你可以求出哪条线段的长? ? （1 1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCDACAC18cm.18cm.（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCBC28cm.28cm.（3 3）由）由DEDE是是BCBC的垂直平分线得：的垂直平分线得：BDBDCDCD；所以；所以ADADCDCDADADBDBDAB.AB.（4 4）由（）由（2 2）中式子（）中式子（1 1）中式子得）中式子得BCBC10cm.10cm.【解析解析】5.5.如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个是路边两个
14、新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站公共汽车站. .使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？车站应建在什么地方？【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站交点就是要建的公共汽车站. .通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们：1.1.了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质. .2.2.会灵活运用这些性质来解决问题会灵活运用这些性质来解决问题3.3.用用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个轴对称图形的一条对称轴的方法轴对称图形的一条对称轴的方法. .4.4.找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴的一条对称轴小结提升小结提升结束寄语严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!
