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1、2 21 1直线与方程直线与方程2 21.61.6点到直线的距离点到直线的距离 平面解析几何初步 有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且ABACa，BC2a，今计划合建一个中心医院，为同时方便三个城镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，若希望点P到三个城镇距离平方和为最小，点P应位于何处？1点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为_，特别地：点P(x0，y0)到x轴的距离_；点P(x0，y0)到y轴的距离_；点P(x0，y0)到直线ya的距离_；点P(x0，y0)到直线xb的距离_2我们定义“夹在两条平行线间的公垂线段的长度称为两条平行线间的距离”若两条平行线分别为l1：AxByC
2、10，l2：AxByC20，则它们之间的距离为_特别地，若两直线中x，y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l1：xy10，l2：3x3y90，须把l2：3x3y90化为l2：_，然后再用公式求距离点到直线的距离公式点到直线的距离公式点P(x0，y0)到直线AxByC0的距离为点到直线的距离公式是解析几何中的又一基本公式，它解决了平面直角坐标系内任意一点到一已知直线的距离问题，此方法也可以用来判断点与直线的位置关系点在直线外或是点在直线上，在学习中应当特别注意以下两点：若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式，然后再利用公式求距离灵活应用点P(x0，y0)到几种特殊直线
3、的距离公式，即点P(x0，y0)到x轴的距离d|y0|；点P(x0，y0)到y轴的距离d|x0|；点P(x0，y0)到直线ya的距离d|y0a|；点P(x0，y0)到直线xb的距离d|x0b|，同学们要谨记“若点P(x0，y0)在直线上，点P(x0，y0)到直线的距离为零，距离公式仍然适用”平行线间的距离平行线间的距离若两条平行线分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20，则它们之间的距离为两条平行线间的距离公式的结构特征是：两平行线方程皆为一般式时，分子是两式中常数项的差的绝对值；分母为两系数平方和的算术平方根，这一结构特征更有助于同学理解和记忆公式但是同学们在使用公式时谨记：若两直线
4、的方程不是一般式，要先把直线方程化为一般式，然后再利用公式求距离；若两直线中x，y的系数成比例时要先把它们化为系数一致才能用公式，如l1：xy10，l2：3x3y90，须把l2：3x3y90化为l2：xy30，然后再用公式求距离点到直线的距离问题点到直线的距离问题 求过点M(2,1)，且与A(1,2)，B(3,0)两点距离相等的直线方程分析：先利用点M确定直线(含参数)，再利用点到直线的距离公式求解解析：解法一：当斜率存在时，设直线方程为y1k(x2)，即kxy2k10.规律总结：(1)待定系数法是本题用到的主要方法，但不管设直线方程的何种形式，最后都要化成一般式方程后才可用公式(2)待定系数
5、法设方程时，要考虑到直线的适用范围，关键是考虑斜率是否存在(3)综合运用直线的相关知识，充分发挥几何图形的直观性，用运动观点看待点、直线，有时会起到事半功倍的作用变式训练变式训练1(1)已知点A(a,2)到直线3x4y20的距离等于4，求a的值；(2)在x轴上求与直线3x4y50的距离等于5的点的坐标解析：解析：两条平行线间的距离问题两条平行线间的距离问题 求与直线2xy10平行，且和2xy10的距离为2的直线方程分析：(1)根据直线平行的性质特点设出所求直线方程，进而利用公式求解；(2)设出所求直线上任意一点P(x，y)，利用条件和距离公式即可求解解法：解法一：由已知可设要求的直线方程为2x
6、yC0，则两条平行直线间的距离为 规律总结：平行直线间的距离问题可用公式直接求解，也可转化为点到直线的距离问题综合应用问题综合应用问题 如图，已知P是等腰ABC的底边BC上一点，PMAB于M，PNAC于N，用解析法证明PMPN为定值分析：建立直角坐标系利用点到直线的距离公式求出PM和PN的长度证明：过点A作AOBC，垂足为O，以O为原点，建立如图所示的直角坐标系，设B(a,0)，C(a,0)(a0)，A(0，b)，P(x1,0)，a，b为定值，x1为参数，ax1a，AB的方程是bxayab0，AC的方程是bxayab0，规律总结：解析法(坐标法)即通过建立平面直角坐标系，把几何问题转化成代数问
7、题，用处理代数问题的方法解决，这种方法是联系平面解析几何的纽带求定值问题，应先表示出要证明为定值的式子，最后求出定值变式训练变式训练2直线l1过点A(0,1)，l2过点B(5,0)，如果l1l2，且l1与l2的距离为5，求l1，l2的方程设直线的斜率为k，由斜截式得l1的方程ykx1，即kxy10, 由点斜式可得l2的方程yk(x5), 即kxy5k0，在直线l1上取点A(0,1)，若l1，l2的斜率不存在，则l1的方程为x0，l2的方程为x5，它们之间的距离为5，同样满足条件，则满足条件的直线方程有以下两组：基础巩固基础巩固点到直线的距离公式的正用点到直线的距离公式的正用1点(1，1)到直线xy10的距离是_能力升级能力升级用点到直线的距离公式解决有关问题用点到直线的距离公式解决有关问题9直线xy20上点到原点的距离的最小值为_解析：直线xy20上点到原点的距离的最小值即原点到直线的垂线段的长度故
