自动控制原理-第4章-课件

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1、第四章线性系统的根轨迹法4.1根轨迹法的基本概念4.2常规根轨迹的绘制法则4.1根轨迹法的基本概念一一根轨迹图根轨迹图根根轨轨迹迹简简称称根根迹迹，它它是是开开环环系系统统某某一一参参数数由由零零变变化化到到无无穷穷大大时时，闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的根根（即闭环极点）在（即闭环极点）在S S平面上变化的轨迹。平面上变化的轨迹。例例4-1 4-1 已知一单位负反馈系统的开环传递已知一单位负反馈系统的开环传递函数为函数为试分析该系统的特征方程的根随系统参数试分析该系统的特征方程的根随系统参数KrKr 的变化在的变化在s s平面上的分布情况。平面上的分布情况。解解 系统的闭环传递函数系统

2、的闭环传递函数系统的特征方程为系统的特征方程为特征方程的根是特征方程的根是设设Kr的变化范围是的变化范围是0, ，当当 时时, ;当当 时，时， 与与 为不相等的两个负实根；为不相等的两个负实根；当当 时，时， 为等实根；为等实根； 该系统特征方程的根随开环系统参数该系统特征方程的根随开环系统参数 从零从零变到无穷时在变到无穷时在S S平面上变化的轨迹如平面上变化的轨迹如图图4-14-1所示。所示。当当1 1 11时时，特特征征方方程程有有一一对对共共轭轭复复根根，系系统统为为欠欠阻阻尼尼系系统统，单单位位阶阶跃跃响响应应为为阻阻尼尼振振荡荡过过程程，振振荡荡幅幅度度或或超超调调量量随随KrK

3、r值值的的增增加加而而加加大大，但但调调节节时时间间不不会会有有显显著著变化。变化。由由根根轨轨迹迹可可见见：KrKr值值的的变变化化对对闭闭环环系系统统特特征征方方程程的的影影响响，系统参数对系统性能的影响。系统参数对系统性能的影响。上上例例中中，根根轨轨迹迹图图是是用用解解析析法法作作出出的的，二二阶阶系系统统易易于于用用解解析析法法求求解解，但但求求解解高高阶阶系系统统特特征征方方程程的的根根就就较较为为困困难难。若若要要研研究究高高阶阶系系统统参参数数的的变变化化对对闭闭环环系系统统特特征征方方程程根根的的影响，需进行大量反复的计算。影响，需进行大量反复的计算。19481948年年伊伊

4、文文斯斯（W WR REVANSEVANS）解解决决了了这这个个问问题题，提提出出了了根根轨轨迹迹法法。该该方方法法是是根根据据系系统统的的开开、闭闭环环传传递递函函数数之之间间的的关关系系，根根据据一一些些准准则则，直直接接由由开开环环传传递递函函数数的的零零、极极点求出闭环极点（闭环特征根）。点求出闭环极点（闭环特征根）。三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系三、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 通通常常系系统统的的开开环环零零、极极点点是是已已知知的的，因因此此建建立立开开环环零零、极极点点与与闭闭环环零零、极极点点之之间间的的关关系系，有有助助于于闭闭环环系系统统根根轨轨迹的绘制

5、。迹的绘制。 设控制系统如设控制系统如图图4-24-2所示，其闭环传递函数为所示，其闭环传递函数为 图图4-2 4-2 控制系统控制系统前前 向向 通通 路路 传传 递递 函函 数数G(s)G(s)前向通前向通路增益路增益前向通路根前向通路根轨迹增益轨迹增益反馈通反馈通路增益路增益反馈通路根反馈通路根轨迹增益轨迹增益反馈通路传递函数反馈通路传递函数H(s)H(s)系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 为开环系统的根轨迹增益；为开环系统的根轨迹增益；为开环系统的极点数。为开环系统的极点数。为开环系统的零点数，为开环系统的零点数，将式（将式（4-24-2）和（）和（4-44-4）代入（）代入（

6、4-14-1）可得）可得 比较式（比较式（4-44-4）和式（）和式（4-54-5），可得以下结论：），可得以下结论：(1)(1)闭闭环环系系统统根根轨轨迹迹增增益益，等等于于开开环环系系统统前前向向通通路路根根轨迹增益。轨迹增益。(2)(2)闭闭环环零零点点由由开开环环前前向向通通路路传传递递函函数数的的零零点点和和反反馈馈通通路路传传递递函函数数的的极极点点组组成成；对对于于单单位位反反馈馈系系统统闭环零点就是开环零点。闭环零点就是开环零点。 (3)(3)闭闭环环极极点点与与开开环环零零点点、开开环环极极点点以以及及根根轨轨迹迹增增益益 均有关。均有关。根根轨轨迹迹法法的的基基本本任任务务

7、在在于于：如如何何由由已已知知的的开开环环零零、极极点点的的分分布布及及根根轨轨迹迹增增益益，通通过过图图解解的的方方法法找找出出闭闭环环极极点点, ,并并根根据据闭闭环环极极点点的的分分布布对对系系统统性性能能进进行行分析。分析。根轨迹是系统所有闭环极点的集合。根轨迹是系统所有闭环极点的集合。系统的闭环特征方程为系统的闭环特征方程为即即 根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示根轨迹方程是向量方程，可用模和相角的形式表示4 4、根轨迹方程、根轨迹方程设系统的开环传递函数为设系统的开环传递函数为模值条件模值条件相角条件相角条件综上分析，可以得到如下结论：综上分析，可以得到如下结论： 绘绘制

8、制根根轨轨迹迹的的相相角角条条件件与与系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益 值值 的的大大小小无无关关。即即在在s s平平面面上上，所所有有满满足足相相角角条条件件点点的的集集合合构构成成系系统统的的根根轨轨迹迹图图。即即相相角角条条件件是是绘绘制制根根轨轨迹迹的的充充分分必必要条件要条件 。 绘绘制制根根轨轨迹迹的的模模值值条条件件与与系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益K K* *值值的的大大小小有有关关。即即K K* *值值的的变变化化会会改改变变系系统统的的闭闭环环极极点点在在s s平平面面上上的的位置。位置。 若若系系数数参参数数全全部部确确定定，则则凡凡能能满满足足相相角角条条件件

9、和和模模值值条条件件的的s s值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。值，就是对应给定参数的特征根，或系统的闭环极点。由由于于相相角角条条件件和和模模值值条条件件只只与与系系统统的的开开环环传传递递函函数数有有关关，因此，因此，已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。已知系统的开环传递函数便可绘制出根轨迹图。一、常规根轨迹的绘制法则一、常规根轨迹的绘制法则以以开开环环根根轨轨迹迹增增益益K K* *为为可可变变参参数数绘绘制制的的根根轨轨迹迹叫叫做做普普通通根根轨迹轨迹（或一般根轨迹）。（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有绘制普通根轨迹的基本规则主要有7 7条：条：1.1

10、.根轨迹的起点与终点；根轨迹的起点与终点；2.2.根轨迹的分支数；根轨迹的分支数；3.3.实轴上的根轨迹；实轴上的根轨迹；4.4.根轨迹的渐近线；根轨迹的渐近线；5.5.根轨迹在实轴上的分离点；根轨迹在实轴上的分离点；6.6.根轨迹的起始角和终止角；根轨迹的起始角和终止角；7.7.根轨迹与虚轴的交点。根轨迹与虚轴的交点。4.2 常规根轨迹的绘制法则常规根轨迹的绘制法则 规则一规则一 根轨迹的起点和终点。根轨迹的起点和终点。结论：根根轨轨迹迹起起始始于于开开环环极极点点（K K* *=0=0），终终止止于于开开环环零零点点（K K* *) )；如如果果nmnm，则则有有n-mn-m条条根根轨轨迹

11、迹终终止止于于s s平平面面的的无无穷穷远远处处( (无限零点无限零点) )，如如果果 nmn m m时时，系系统统有有n-mn-m条条根根轨轨迹迹终终止止于于S S平平面面的的无无穷穷远远处处，这这n-mn-m条条根根轨轨迹迹变变化化趋趋向向的的直直线线叫叫做做根根轨轨迹的渐近线。迹的渐近线。 渐近线有渐近线有n-mn-m条，且它们交于实轴上的一点。条，且它们交于实轴上的一点。 渐近线与实轴的渐近线与实轴的交点位置交点位置 和与和与实轴正方向实轴正方向的交的交角角 分别为分别为在例在例4-14-1中，开环传递函数为中，开环传递函数为 开环极点数开环极点数n=2,n=2,开环零点数开环零点数m

12、=0,n-m=2,m=0,n-m=2,两条渐两条渐近线在实轴上的交点位置为近线在实轴上的交点位置为它们与实轴正方向的交角分别为它们与实轴正方向的交角分别为 和和 ，两条渐近线正好与，两条渐近线正好与 时的根轨迹重合。时的根轨迹重合。例例4-2 4-2 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为 试画出该系统根轨迹的渐近线。试画出该系统根轨迹的渐近线。解解 对对于于该该系系统统有有n=4n=4，m=1m=1，n-m=3n-m=3；三三条条渐渐近线与实轴交点位置为近线与实轴交点位置为 它们与实轴正方向的交角分别是它们与实轴正方向的交角分别是图图4- -3 根轨迹的渐近线根

13、轨迹的渐近线 规则四规则四 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹实实轴轴上上某某一一区区域域，若若其其右右边边开开环环零零、极极点点的的个个数数之之和和为为奇奇数数，则则该该区区域域是是实实轴轴上上的的根根轨轨迹。迹。分离点的坐标分离点的坐标d d是下列方程的解是下列方程的解 式中，式中，Z Zj j为开环零点的值，为开环零点的值，P Pi i为开环极点的值。为开环极点的值。当开环系统无有限零点时，应取当开环系统无有限零点时，应取 。此时，分离点方程即为此时，分离点方程即为只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。 规则五规则五 根轨迹的分离点与分离角根轨迹的

14、分离点与分离角 分离点：分离点：两条或两条以上根轨迹两条或两条以上根轨迹分支在分支在s s平面上相遇又立即分开平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点。的点，称为根轨迹的分离点。27分离角为分离角为分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离角：根轨迹进入分离点的切线方向与离开分离点的切线方向之间的夹角。分离点的切线方向之间的夹角。l 为根轨迹进入并离开分离点的分支数，一般为根轨迹进入并离开分离点的分支数，一般l=2,分离角为直角。分离角为直角。常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根轨迹分支的分离点。的分离点。若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之

15、间（其若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻少存在一个分离点；若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。如在这两个零点之间也至少有一个分离点。如图图4-54-5上上的分离点的分离点d d1 1和和d d2 2 。分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，如图图4-64-6中的分离点中的分离点A A和和B B。

16、图图4- -5 实轴上根轨迹的分离点实轴上根轨迹的分离点 图图4- -6 复平面上的分离点复平面上的分离点 例例4-4 4-4 已知单位负反馈系统的开环传递函数为已知单位负反馈系统的开环传递函数为试求出系统根轨迹与实轴的交点。试求出系统根轨迹与实轴的交点。 解：本系统无有限开环零点，解：本系统无有限开环零点， 可得可得 或令或令 解出解出 由规则四知，实轴上的根轨迹为由规则四知，实轴上的根轨迹为-1-1到到-2-2线段和线段和-3-3到到-线段。线段。 不在上述两线段上，应舍去。不在上述两线段上，应舍去。 是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实是实轴根轨迹上的点，所以是根轨迹在实轴上的分离点。轴

17、上的分离点。图图4-7 4-7 根轨迹的分离点根轨迹的分离点 规则六规则六 起始角与终止角起始角与终止角起起始始角角 根根轨轨迹迹离离开开开开环环复复数数极极点点处处在在切切线线方方向向与与实实轴轴正正方方向向的的夹夹角角。参参看看图图4-84-8（a a）中的）中的 和和 。 终止角终止角 根轨迹根轨迹进入进入开环复数开环复数零点零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。参处的切线方向与实轴正方向的夹角。参看图看图4-84-8（b b）中的）中的 和和 。注意：有开环复数极点，才有起始角；有开环注意：有开环复数极点，才有起始角；有开环复数零点，才有终止角，复数零点，才有终止角，图4-8(a) 根轨

18、迹的起始角和终止角 图4-8(b) 根轨迹的起始角和终止角 例例4-5 4-5 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 且且p p1 1和和p p2 2为一对共轭复数极点，为一对共轭复数极点，p p3 3和和 z z1 1分别为实极点分别为实极点和实零点，它们在和实零点，它们在s s平面上的分布如图平面上的分布如图4-94-9所示。试依所示。试依据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点据相角条件求出根轨迹离开开环复数极点p p1 1和和p p2 2 的起的起始角始角 和和 。图图4- -9 起始角起始角 的求取的求取 规则七规则七 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点解解虚虚部部方方程程

19、可可得得角角频频率率 ，即即根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点的的坐坐标标值值；用用 代代入入实实部部方方程程，可可求求出出系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。 的的物物理理含含义义是是使使系系统统由由稳稳定定（或或不不稳稳定定）变变为为不不稳稳定定（或或稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。稳定）的系统开环根轨迹增益的临界值。根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。用虚根（实部为零）。用 代入特征方程可得代入特征方程可得 即即由此可得虚部方程和实部方程为由此可得虚部方程和实部方程为例例4-6 4-6 试求出例试

20、求出例4-44-4中根轨迹与虚轴的交点中根轨迹与虚轴的交点 及相及相应的开环根轨迹增益的临界值应的开环根轨迹增益的临界值 。解解 由例由例4-44-4知系统的开环传递函数为知系统的开环传递函数为其特征方程是其特征方程是令令 并代入特征方程得并代入特征方程得其虚部和实部方程分别为其虚部和实部方程分别为（舍去）（舍去）（根轨迹与虚轴的两个交点）（根轨迹与虚轴的两个交点） 将将 代代入入实实部部方方程程便便可可求求出出系统开环根轨迹增益的临界值系统开环根轨迹增益的临界值 。 当系统的当系统的阶次较高时，阶次较高时，可可用劳斯判据求用劳斯判据求出系统开出系统开环根轨迹增益的临界值环根轨迹增益的临界值

21、和根轨迹与虚轴的交和根轨迹与虚轴的交点点 。图图4- -10 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 w wjss1p2p3p-1-1-2-2-3-30 0)60( 3 . 3= =rcKj rKds s rK)60( 3 . 3= =rcK-j 以以上上七七条条规规则则是是绘绘制制根根轨轨迹迹图图所所必必须须遵遵循循的的基基本本规规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。则。此外，尚须注意以下几点规范画法。 根根轨轨迹迹的的起起点点（开开环环极极点点p pi i ) )用用符符号号“ ”标标示示；根轨迹的根轨迹的终点终点( (开开环零点环零点z zj j ) )用符号用符号“ o o ”标示。标示

22、。 根根轨轨迹迹由由起起点点到到终终点点是是随随系系统统开开环环根根轨轨迹迹增增益益K Kr r值值的增加而运动的，的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向要用箭头标示根轨迹运动的方向。 要要标标出出一一些些特特殊殊点点的的KrKr 值值，如如起起点点（ Kr=0Kr=0 ) )，终终点点（ KrKr ) )；根根轨轨迹迹在在实实轴轴上上的的分分离离点点d d ；与与虚虚轴轴的的交交点点 。还还有有一一些些要要求求标标出出的的闭闭环环极极点点及及其其对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益，也也应应在在根根轨轨迹迹图图上上标标出出，以以便便于于进进行行系系统统的的分析与综合。分析与综合。例

23、例4-7 4-7 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。试绘制该系统完整的根轨迹图。 解解 该系统的特征方程为该系统的特征方程为三、绘制根轨迹图示例三、绘制根轨迹图示例(3)(3)由由规规则则二二知知，该该系系统统有有三三条条根根轨轨迹迹在在s s平平面面上上三条根轨迹连续且对称于实轴。三条根轨迹连续且对称于实轴。由规则一知，由规则一知，根轨迹的起点是该系统的三个根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即开环极点，即 由于没有开环零点（由于没有开环零点（m=0m=0）, , 根轨迹的终点均在根轨迹的终点均在无穷远处。无穷远处。 当当k=0k=0时时 当当k=

24、1k=1时时 当当k=2k=2时时 由由规规则则三三知知，可可求求出出根根轨轨迹迹三三条条渐渐近近线线的的交交点点位位置置和和它们与实轴正方向的交角。它们与实轴正方向的交角。 由由规规则则五五知知，实实轴轴上上的的根根轨轨迹迹为为实实轴轴上上 到到 的线段和由的线段和由 至实轴上负无穷远线段。至实轴上负无穷远线段。 由由规规则则六六知知，根根轨轨迹迹与与实实轴轴的的交交点点（分分离离点点）是是方程方程 经试探法解得经试探法解得 无无复复数数开开环环极极点点和和零零点点，不不存存在在起起始始角角和和终终止角。止角。 解虚部方程得解虚部方程得其其中中 是是开开环环极极点点 对对应应的的坐坐标标值值

25、，它它是是根根轨轨迹的起点之一。合理的交点应为迹的起点之一。合理的交点应为将将 代代入入实实部部方方程程得得到到对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。绘绘制制出出系系统统的的根根轨轨迹迹图图如如图图4-114-11所示。所示。 由由规规则则八八，可可求求出出根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点 及及对对应应的的 开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 。用用 代代入入特特征征方方程得程得图图4- -11 例例4- -7系统根轨迹图系统根轨迹图 由由开开环环传传递递函函数数可可知知，该该系系统统有有一一个个开开环环实实零零点点和和一一对对开开环环共共轭轭复复数数极极点

26、点 , , 根根轨轨迹迹的的起起点点为为 和和 ，其其终终点点为为无无穷穷远远点点 和和 。 例例4-8 4-8 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统的根轨迹图。试绘制该系统的根轨迹图。由由规规则则六六，可可求求出出根根轨轨迹迹与与实实轴轴的的交交点点（分分离离点）。分离点方程是点）。分离点方程是解解 是一个二阶系统，在是一个二阶系统，在S S平面上有两条连续且对平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。称于实轴的根轨迹。由规则五知，实轴上由由规则五知，实轴上由-2-2至至-的线段为实轴上的线段为实轴上的根轨迹。的根轨迹。 即即 解方程可得解方程可得 不不在在实实轴轴上上

27、的的根根轨轨迹迹上上，舍舍去去，实实际际的的分分离点为离点为 。 由由规规则则七七，可可求求出出开开环环复复数数极极点点（根根轨轨迹迹的的起起点）的起始角。点）的起始角。证明证明 已知系统的开环零点和极点分别为已知系统的开环零点和极点分别为 ， ，令，令s=u+jvs=u+jv为根轨迹的任一点，为根轨迹的任一点，由相角条件可得由相角条件可得 将将s s、 、 和和 代入得代入得 即即应用三角公式应用三角公式为为准准确确地地画画出出S S平平面面上上根根轨轨迹迹的的图图形形，运运用用相相角角条条件件可可证证明明本本系系统统在在S S平平面面上上的的根根轨轨迹迹是是一一个个半半径径为为 ，圆心位于

28、点，圆心位于点 的圆弧。的圆弧。 将上式等号左边合并可得到将上式等号左边合并可得到 将上式等号两边取正切，则有将上式等号两边取正切，则有方程表示在方程表示在S S平面上的根轨迹是一个圆心位于点平面上的根轨迹是一个圆心位于点 、半径、半径为为 的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-124-12所示。所示。图4-12 例4-8系统的根轨迹图 结论：由由两两个个开开环环极极点点（实实极极点点或或复复数数极极点点）和和一一个个开开环环实实零零点点组组成成的的二二阶阶系系统统，只只要要实实零零点点没没有有位位于于两两个个实实极极点点之之间间，当当开开环环根根

29、轨轨迹迹增增益益K Kr r由由零零变变到到无无穷穷大大时时，复复平平面面上上的的闭闭环环根根轨轨迹迹，是是以以实实零零点点为为圆圆心心，以以实实零零点点到到分分离离点点的的距距离离为为半半径径的的一一个个圆圆（当当开开环环极极点点为为两两个个实实极极点点时时）或或圆圆的的一一部部分分（当当开开环环极极点点为为一一对对共共轭轭复复数数极极点点时时）。这这个个结结论在数学上的严格证明可参照本例进行。论在数学上的严格证明可参照本例进行。例4- -9已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。解解 由由已已知知系系统统的的开开环环传传递递函函数数可可得得到到它它的的特特征征方方程程为为 由由规规

30、则则一一和和规规则则二二知知，该该系系统统的的根根轨轨迹迹共共有有4 4条条分分支支（n=4n=4），），4 4条根轨迹连续且对称于实轴。条根轨迹连续且对称于实轴。由规则三知，由规则三知，4 4条根轨迹的起点分别是系统的条根轨迹的起点分别是系统的4 4个开个开环极点环极点, ,即即 ， 。由于系统无有限开环零点（。由于系统无有限开环零点（m=0m=0），），4 4条根轨迹的终条根轨迹的终点点 均在均在S S平面的无穷远处（无穷零点）。平面的无穷远处（无穷零点）。渐近线与实轴正方向的交角为渐近线与实轴正方向的交角为 当当k = 0k = 0时，时， 当当k = 1k = 1时，时， 当当k =

31、2k = 2时，时， 当当k = 3k = 3时，时， 由规则四可求出由规则四可求出4 4条根轨迹渐近线与实轴的交点为条根轨迹渐近线与实轴的交点为由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）由规则六可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是。分离点方程是 即即 解方程得到解方程得到由规则七可求出复数极点由规则七可求出复数极点 和和 的起始角的起始角由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由由规则五知，实轴上的根轨迹是实轴上由0 0到到-2-2的线段。的线段。 该该系系统统为为4 4阶阶系系统统，用用解解析析法法求求根根轨轨迹迹与与虚虚轴轴的的交交点点 和和对对应应的的开开环环根根轨轨迹迹增增益益的的临临界界值值 比比较较困困难。下面采用劳斯判据求出难。下面采用劳斯判据求出 和和 的值。的值。 根据系统的特征方程列出劳斯表如下：根据系统的特征方程列出劳斯表如下： 令劳斯表中令劳斯表中 行的首项系数为零，求得行的首项系数为零，求得 ， 由由 行系数写出辅助方程为行系数写出辅助方程为 令令 ，并将，并将 代入辅助方程可求出代入辅助方程可求出0图图4- -13 例例4- -9系统的根轨迹图系统的根轨迹图