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1、第一章第四课时：第一章第四课时：因式分解因式分解 要点、考点聚焦要点、考点聚焦课前热身课前热身典型例题解析典型例题解析课时训练课时训练要点、考点聚焦要点、考点聚焦2.2.因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二次三项式型：二次三项式型：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+
2、b)(4)(4)分组分解法：分组分解法：分组后能提公因式；分组后能提公因式；分组后能运用公式分组后能运用公式. .1.1.因式分解的定义因式分解的定义把一个多项式化为把一个多项式化为n n个整式的积的形式，叫做把这个个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解式分解因式多项式因式分解式分解因式. .3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”、三、三“分分”、四、四“查查”：(1)(1)一一“提提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来必须先提出来. .(2)(2)二二“套套”：若多项式的各项无公因式：若多
3、项式的各项无公因式( (或已提出公或已提出公因式因式) )，第二步则看能不能用公式法或用，第二步则看能不能用公式法或用x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型分解型分解. .(3)(3)“三三分分”：若若以以上上两两步步都都不不行行，则则应应考考虑虑分分组组分分解解法法，将将能能用用上上述述方方法法进进行行分分解解的的项项分分成成一一组组，使使之之分分组组后后能能“提提”或或能能“套套”，当当然然要要注注意意其其要要分分解解到到底底才才能能结束结束. .(4)(4)四四“查查”：可可以以用用整整式式乘乘法法检检查查因因式式分分解解的的结结果果是是否正确否正确. .要点、考点聚焦要
4、点、考点聚焦3.下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x x2 2-y -y B.x x2 2+2x+2x C.x x2 2+y+y2 2 D.x x2 2-xy+y-xy+y2 2 课前热身课前热身1.(2004年年南京南京)分解因式：分解因式：3x3x2 2-3=-3= . 2.(2004河北河北)分解因式：分解因式： X X2 2+2xy+y+2xy+y2 2-4=-4= . 3(x+1)(x-1)3(x+1)(x-1)(x+y+2)(x+y-2)(x+y+2)(x+y-2)B4.(2004年年济南济南)分解因式：分解因式：a a2
5、2-4a+4=-4a+4= . (a-2)(a-2)2 25.(20045.(2004年年桂林桂林) )分解因式：分解因式：a a3 3+2a+2a2 2+a=+a= . .6.6.(2004(2004年年呼和浩特呼和浩特) )将下列式子因式分解将下列式子因式分解 x-x x-x2 2-y+y-y+y2 2= = . .a(a+1)2(x-y)(1-x-y)(x-y)(1-x-y)课前热身课前热身7.(2004年年大连试验区大连试验区)关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根的两根为为x x1 11 1，x x2 22 2，则则x x2 2+bx+c
6、+bx+c分解因式的结果为：分解因式的结果为： . 8.(2004年年北京市北京市)分解因式：分解因式：x x2 2-4y-4y2 2+x-2y=+x-2y= . . (x-2y)(1+x+2y)(x-2y)(1+x+2y)课前热身课前热身（x-1x-1）(x-2)(x-2)典型例题解析典型例题解析【例【例1】 因式分解：因式分解：(1)-4x2y+2xy2-12xy；(2)3x2(a-b)-x(b-a)；(3)9(x+y)2-4(x-y)2；解：解：(1)原式原式=-2xy(2x-y+6)(2)原式原式=3x2(a-b)+x(a-b) =x(a-b)(3x+1)(3)原式原式=3(x+y)+
7、2(x-y)3(x+y)-2(x-y) =(5x+y)(x+5y)解：解：(4)原式原式=(9a2)2-1 =(9a2+1)(9a2-1) =(3a+1)(3a-1)(9a2+1)典型例题解析典型例题解析【例【例1】 因式分解：因式分解：(4)81a4-1；(5)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(6)(a2+b2)2-4a2b2.(5)原式原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4(6)原式原式=(a+b2+2ab)(a2+b2-2ab) =(a+b)2(a-b)2【例例2】 因式分解：因式分解：-3an-1+12an-12an+1(n1的正整数的正整数). 解：原式解：原式=-3an-
8、11-4an-(n-1)+4a(n+1)-(n-1) =-3an-1(1-4a+4a2) =-3an-1(2a-1)2【例【例3】 因式分解：因式分解：(1)m3+2m2-9m-18；典型例题解析典型例题解析解：解：(1)原式原式=(m3+2m2)-(9m+18) =m2(m+2)-9(m+2) =(m+2)(m2-9) =(m+2)(m-3)(m+3)或者：或者：原式原式=(m3-9m)+(2m2-18) =m(m2-9)+2(m2-9) =(m2-9)(m+2) =(m-3)(m+3)(m+2)解：解：(2)原式原式=a2-(b2+2bc+c2) =a2-(b+c)2 =(a+b+c)(a
9、-b-c)(3)原式原式=(x2)2-5(x2)+4 =(x2-4)(x2-1) =(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)(4)原式原式=x3-x2-x2-5x+6 =x2(x-1)-(x2+5x-6) =x2(x-1)-(x+6)(x-1) =(x-1)(x2-x-6) =(x-1)(x-3)(x+2)典型例题解析典型例题解析【例【例3】 因式分解：因式分解：(2)a2-b2-c2-2bc；(3)x4-5x2+4；(4)x3-2x2-5x+6.【例例4】 求证：对于自然数求证：对于自然数n，2n+4-2n能被能被30整除整除. 解：解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=15
10、2n =1522n-1=302n-1. n为自然数时，为自然数时，2n-1为整数，为整数，2n+4-2n能被能被30整除整除.【例【例5】 分解因式：分解因式：x3+6x2+11x+6. 解：方法一：原式解：方法一：原式=x3+3x2+3x2+9x+2x+6 =x2(x+3)+3x(x+3)+2(x+3) =(x+3)(x2+3x+2) =(x+3)(x+1)(x+2)典型例题解析典型例题解析方法二：原式方法二：原式=x3+2x2+4x2+8x+3x+6=x2(x+2)+4x(x+2)+3(x+2)=(x+2)(x2+4x+3)=(x+2)(x+1)(x+3)方法三：原式方法三：原式=x3+x
11、2+5x2+5x+6x+6=x2(x+1)+5x(x+1)+6(x+1)=(x+1)(x2+5x+6)=(x+1)(x+2)(x+3)方法四：原式方法四：原式=(x3+5x2+6x)+(x2+5x+6)=x(x2+5x+6)+(x2+5x+6)=(x2+5x+6)(x+1)=(x+2)(x+3)(x+1) 典型例题解析典型例题解析1.1.因式分解应进行到底因式分解应进行到底. .如：分解因式：如：分解因式：x x4 4-4=(x-4=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-2)-2)=(x=(x2 2+2)(x+ )(x- ).+2)(x+ )(x- ).应在实数范围内将它分解到底应在实数范围内
12、将它分解到底. .又如：分解因式又如：分解因式:2:22 2-8-8x-6=2(xx-6=2(x2 2-4x-3)-4x-3)令令x x2 2-4x-3=0-4x-3=0，则则x= = =2x= = =22x2x2 2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )2.2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. .如如:(:(a a2 2+b+b2 2) )-4a-4a2 2b b2 2 =(a =(a2 2+b+b2 2+2ab)(a+2ab)(a2 2+b+b2 2-2ab)-2ab) =(a+b) =
13、(a+b)2 2(a-b)(a-b)2 2 = =(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 2 =(a =(a2 2-b-b2 2) )2 2 =a =a4 4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4实际该题到第实际该题到第2 2个等于号就分解到底了，不能再向下个等于号就分解到底了，不能再向下计算了计算了! !3.3.注意解题的技巧的应用，不能死算注意解题的技巧的应用，不能死算. .如：分解因式如：分解因式( (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9= =(x+1)(x+7)(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)-9-9
14、=(x=(x2 2+8x+7)(x+8x+7)(x2 2+8x+15)-9+8x+15)-9= =( (x x2 2+8x+8x)+7)+7( (x x2 2+8x+8x)+15)+15-9-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+105-9)+105-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+96)+96=(=(x x2 2+8x+8x +6)( +6)(x x2 2+8x+8x +16) +16)=(x=(x2 2+8x+6)(x+4)+8x+6)(x+4)2 2课时训练课时训练1.(2004
15、年年福州市福州市)分解因式：分解因式：a2-25= .2. (2004年年陕西陕西)分解因式：分解因式：x3y2-4x= .3. (2004年年长沙长沙)分解因式：分解因式：xy2-x2y= . x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a-5)xy(y-x) y(x-2)24. (2004年年青海青海)分解因式：分解因式：x2y-4xy+4y= . 5. (2004年年哈尔滨哈尔滨)分解因式：分解因式： a2-2ab+b2-c2= . (a-b+c)(a-b-c)7. (2004年年北京北京)多项式多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为分解因式的结果为 ( ) A. (a-b)(a+b+c
16、) B. (a-b)(a+b- -c) C. (a+b)(a+b-c) D. (a+b)(a-b+c)8. (2004年年宁夏宁夏)把多项式把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结分解因式的结 果为果为 ( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)AB课时训练课时训练6. (2004年年甘肃甘肃)为使为使x2-7x+b在整数范在整数范围围内可以分解内可以分解因式，因式，则则b可能取的可能取的值为值为 . （任写一个）（任写一个）不不是用模具成型的钢制办公家具是用模具成型的钢制办公家具, ,在某些
17、内外缘都容易有锐利的毛边在某些内外缘都容易有锐利的毛边, ,容易刮伤人体与衣物。容易刮伤人体与衣物。办办公家具在人体可能接触的外缘公家具在人体可能接触的外缘, ,都应该设计时进行圆滑处理都应该设计时进行圆滑处理, ,否则在与人体产生碰撞理否则在与人体产生碰撞理, ,容易造成不必要的伤害。容易造成不必要的伤害。办办公家具的颜色不能太刺眼公家具的颜色不能太刺眼, ,否则容易造成视觉疲劳。否则容易造成视觉疲劳。对对于组合或堆叠型的办公家具于组合或堆叠型的办公家具, ,一定要有稳固性的结合装置一定要有稳固性的结合装置, ,否则容易在碰触或地震时崩倒而对人体造成伤害。否则容易在碰触或地震时崩倒而对人体造
18、成伤害。办公屏风办公屏风 http:/ http:/ 办公屏风办公屏风 jzh52kbejzh52kbe办办公家具的抽屉应该在不上锁时亦有自动暗卡装置公家具的抽屉应该在不上锁时亦有自动暗卡装置, ,不会在地震或搬动时倾出而有所损害。不会在地震或搬动时倾出而有所损害。办办公家具抽屉最好要有滑轨与锁定装置公家具抽屉最好要有滑轨与锁定装置, ,如此可以在开关抽屉时相当顺畅如此可以在开关抽屉时相当顺畅, ,不费力气不费力气, ,同时抽屉在载重全部拉出时亦不会掉落而伤到脚。同时抽屉在载重全部拉出时亦不会掉落而伤到脚。办办公家具若有藏路网路设计时公家具若有藏路网路设计时, ,要特别注意其线槽空间、承载量、
19、与本体接触的绝缘等，否则会造成电流热化走火而引发火灾。要特别注意其线槽空间、承载量、与本体接触的绝缘等，否则会造成电流热化走火而引发火灾。屏屏风家具的稳定性很重要风家具的稳定性很重要, ,以免晃动时以免晃动时, ,会造成吊挂物品因碰撞而散落会造成吊挂物品因碰撞而散落, ,造成人体伤害。造成人体伤害。己当回事，他们可得把他们的命当回事啊！酒庐里这群人，再不交出宝印己当回事，他们可得把他们的命当回事啊！酒庐里这群人，再不交出宝印啊不，再不交出王爷，他们、他们真的会把酒庐踏平！啊不，再不交出王爷，他们、他们真的会把酒庐踏平！“怎怎么回事儿？么回事儿？”轻飘飘一声，七王爷从骡车里踱出来。轻飘飘一声，七
20、王爷从骡车里踱出来。“王爷！王爷！”侍卫立即跪下，他们带来的戎装号衣骑马徒步佩刀握矛的兵丁们，也全都侍卫立即跪下，他们带来的戎装号衣骑马徒步佩刀握矛的兵丁们，也全都乌鸦鸦的跪下了，酒庐里的人，该吓瘫的，本已瘫得差不多，没瘫的，也膝盖一软、五体投地了。一地都是后脑勺和脊背，只有七王爷立乌鸦鸦的跪下了，酒庐里的人，该吓瘫的，本已瘫得差不多，没瘫的，也膝盖一软、五体投地了。一地都是后脑勺和脊背，只有七王爷立着，这使得他比谁都高、比谁都威严。这就是皇家赐予他的威严。哪怕他只是个色鬼、酒痨、无赖、狗屎，只要皇家给他站着的权力，他着，这使得他比谁都高、比谁都威严。这就是皇家赐予他的威严。哪怕他只是个色鬼、
21、酒痨、无赖、狗屎，只要皇家给他站着的权力，他就比谁都更像个堂堂正正的人。唐静轩到此时才真正明白，爷爷为什么要自己不惜一切代价笼络七王爷。唐家需要皇恩。就比谁都更像个堂堂正正的人。唐静轩到此时才真正明白，爷爷为什么要自己不惜一切代价笼络七王爷。唐家需要皇恩。只是啊，唐只是啊，唐静轩忽忍不住想，如果明远在这里，也会跪下么？还是依然站得直直的，肩膀舒展，用他那一惯潇洒自如的笑容，踏过脊背的海洋，走到静轩忽忍不住想，如果明远在这里，也会跪下么？还是依然站得直直的，肩膀舒展，用他那一惯潇洒自如的笑容，踏过脊背的海洋，走到七王爷面前，对他说：七王爷面前，对他说：“白衣之怒，血溅五步？白衣之怒，血溅五步？”
22、明远没有来。这里，只有一片沉默、一片脊背，唐静轩俯得很低，把脸都贴在了地上，明远没有来。这里，只有一片沉默、一片脊背，唐静轩俯得很低，把脸都贴在了地上，地面腥臭，酒意往上涌，他想吐，却又不敢。七王爷微不可闻的叹一口气，走到打头侍卫面前：地面腥臭，酒意往上涌，他想吐，却又不敢。七王爷微不可闻的叹一口气，走到打头侍卫面前：“这整的是哪一出？这整的是哪一出？”侍卫抱歉道：侍卫抱歉道：“因因为找不到王爷为找不到王爷”“”“你就把朝廷囤在这边的兵、锦城自留的兵、甚至太守府里自备的家丁，都叫出来了？你就把朝廷囤在这边的兵、锦城自留的兵、甚至太守府里自备的家丁，都叫出来了？”七王爷打量着他带来的人。七王爷打
23、量着他带来的人。“是。因为属下担心王爷是。因为属下担心王爷”“”“但你有没有想过，但你有没有想过，”七王爷道，七王爷道，“我如果落在某人手里，那人如果能在这种地方不惊神不动鬼的把我掳我如果落在某人手里，那人如果能在这种地方不惊神不动鬼的把我掳走，你叫出这么多人来，也未必搜得出他，如果搜得出他，他说不定鱼死网破，杀了我算数？走，你叫出这么多人来，也未必搜得出他，如果搜得出他，他说不定鱼死网破，杀了我算数？”“”“属下，属下属下，属下”侍卫额头有豆大的汗。侍卫额头有豆大的汗。“你起来，你起来，”七王爷亲手搀起他，在他耳边低低道：七王爷亲手搀起他，在他耳边低低道：“杀了我，反正印还在，是不是？杀了我
24、，反正印还在，是不是？”侍卫侍卫“咕咚咕咚”又跪下去了。满地的人，本来看带又跪下去了。满地的人，本来看带头侍卫起来，也想跟着起，起到一半，只好又咕咚跟着跪下。一起一落，格外磕得膝头疼。头侍卫起来，也想跟着起，起到一半，只好又咕咚跟着跪下。一起一落，格外磕得膝头疼。“给你。给你。”七王爷居然解下自己的印，抛给他，七王爷居然解下自己的印，抛给他，“这样你放心了罢？这样你放心了罢？”回身走开，扭头冲他挤挤眼睛，回身走开，扭头冲他挤挤眼睛，“不过我忘了告诉你一件事，在锦城，我如果死了，你也要死。不过我忘了告诉你一件事，在锦城，我如果死了，你也要死。”侍卫的脸变得非侍卫的脸变得非常难看，又不敢问这句话是
25、谁说的。他们是皇上特派来保护七王爷的。皇上跟七王爷之间的感情很微妙，微妙到七王爷若横死，皇上一定常难看，又不敢问这句话是谁说的。他们是皇上特派来保护七王爷的。皇上跟七王爷之间的感情很微妙，微妙到七王爷若横死，皇上一定会很伤心，但未必会伤心得处决保护不力的侍卫们。会很伤心，但未必会伤心得处决保护不力的侍卫们。“太后娘娘说的，如果不信，你可以回去问她，我想皇兄也不会否认。太后娘娘说的，如果不信，你可以回去问她，我想皇兄也不会否认。”七王爷朗笑七王爷朗笑道。侍卫只好信了，于是更不得不问：道。侍卫只好信了，于是更不得不问：“您要去哪里？您要去哪里？”七王爷越行越远，可侍卫一直膝行追着他，这使得七王爷说的所有话，尽管声音七王爷越行越远，可侍卫一直膝行追着他，这使得七王爷说的所有话，尽管声音不大，侍卫也听得清清楚楚，也使得侍卫可以用备显谦恭的声音询问他不大，侍卫也听得清清楚楚，也使得侍卫可以用备显谦恭的声音询问他当我们不得不放大音当我们不得不放大音
