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1、第三章 经典需求理论3.A 引言本章研究经典的、基于偏好法的消费者需求理论。效用函数存在性效用最大化问题支出最小化问题这是一对对偶问题，两者之间的关系。3.B 偏好关系：基本性质n理性偏好n合意性假设：单调、严格单调、局部非饱和n凸性假设偏好关系：基本性质偏好关系：基本性质n合意性假设。假定大数量的商品优于小合意性假设。假定大数量的商品优于小数量的商品。首先假定数量的商品。首先假定X无上界。无上界。n凸性假设。消费者在不同商品之间愿意凸性假设。消费者在不同商品之间愿意进行的取舍。进行的取舍。合意性假设合意性假设定义定义3.B.2 若若xX，则称则称X上的偏好关系是单调的。如果上的偏好关系是单调
2、的。如果则它是严格单调的。则它是严格单调的。定义定义1.B.4 如果对于每个如果对于每个xX和和0，存在，存在yX,使得使得 ，且，且 ，则称，则称X上的偏好关系上的偏好关系是局部非饱和的。是局部非饱和的。习题习题 证明下述结论：证明下述结论：1.如果如果是严格单调的，则它是单调的；是严格单调的，则它是单调的；2.如果如果是单调的，则它是局部非饱和的。是单调的，则它是局部非饱和的。给定偏好关系和消费束给定偏好关系和消费束x，三个相关的集合：，三个相关的集合：x的无差异集的无差异集x的上等值集的上等值集x的下等值集的下等值集x2x1I(x)xI(x)WP(x), the set of bundl
3、es weakly preferred to x.Weakly Preferred Set (弱偏好集)凸性假设凸性假设定义定义1.B.5 若对于每个若对于每个xX，上等值集，上等值集是凸的；也就是若是凸的；也就是若yx,zx，就有对任意就有对任意则称则称X上的偏好关系是凸的。上的偏好关系是凸的。边际替代率递减：在凸偏好的情况下，从任意一个初始消费x开始，对任意两种商品而言，为补偿其中一种商品的单位逐次减少，所需的另一种商品的数量不断增大。Well-Behaved Preferences - Convexity.x2y2x1y1xyPreferences are strictly convex
4、 when all mixtures z are strictly preferred to their component bundles x and y.zWell-Behaved Preferences - Weak Convexity.xyzPreferences are weakly convex if at least one mixture z is equally preferred to a component bundle.xzyNon-Convex Preferencesx2y2x1y1zBetterThe mixture zis less preferredthan x
5、 or y.More Non-Convex Preferencesx2y2x1y1zBetterThe mixture zis less preferredthan x or y.定义定义1.B.6 如果对于每个如果对于每个x，均有，对于任意，均有，对于任意则称则称X上的偏好关系是严格凸的。上的偏好关系是严格凸的。定义定义1.B.7 如果所有无差异集均通过射线的等比例如果所有无差异集均通过射线的等比例扩展联系在一起：即，若扩展联系在一起：即，若xy，则对所有，则对所有0均均有有xy，则称，则称 上的单调偏好关系是位似上的单调偏好关系是位似的。的。定义定义1.B.8 如果：如果：1.任一无差异集
6、都是其他无差异集沿商品任一无差异集都是其他无差异集沿商品1坐标轴的坐标轴的水平位移，即若水平位移，即若xy，则对于，则对于 及任意及任意 ，均有，均有2. 商品商品1是合意的，即对所有是合意的，即对所有x和和0，有，有则称则称X上偏好关系对于商品上偏好关系对于商品1（称为本位商品）是拟（称为本位商品）是拟线性的。线性的。3.C 效用函数的存在性例3.C.1 词典式偏好。假设 ，如果则定义xy。这被称为字典式偏好关系。习题 证明：字典式偏好关系是完备的、可传递的、严格单调的，严格凸的。可以证明，不存在能够代表这一偏好关系的效用函数。偏好关系的连续性假设定义3.C.1 如果X上的偏好关系在极限下被
7、保持，即对于任意二元序列我们有xy，则称该偏好关系是连续的。等价表示：对于所有x，上等值集和下等值集均为闭集。证明这两个定义之间的等价性。词典式偏好是不连续的。命题3.C.1 假设X上的理性偏好关系是连续的，则存在一个代表它的连续效用函数。偏好关系理性、连续，则存在连续的效用函数；偏好关系单调，则效用函数递增；偏好关系凸，则效用函数拟凹。习题3.C.5 证明下面两个结论：1.一个连续，当切仅当它容许一个一次齐次的效用函数时，它是位似的。即2. 一个连续，当切仅当它容许一个形如的效用函数时，它对第1种商品是拟线性的。常见的效用函数C-D型效用函数CES型效用函数列昂剔夫效用函数作业n3.C.1,
8、 3.C.63.D 效用最大化问题假设消费者有理性的、连续的、局部非饱和的偏好关系，u(x)是代表偏好关系的一个连续效用函数。假定消费集为消费者在给定价格p0和财富w0下选择她最偏好的消费束，可以表示成效用最大化问题(UMP)命题3.D.1 若p0，且u(x)连续，则效用最大化问题一定有解。因此我们要研究：UMP问题的最优解（瓦尔拉斯需求）和最优值（最大效用）的求法及各项性质。Rational Constrained Choicex1x2x1*x2*(x1*,x2*) is the mostpreferred affordablebundle.瓦尔拉斯需求对应/函数最优解每一个价格财富水平(p
9、,w)0对应一个最优解（集）x(p,w)，这是一个集值映射。求解UMP问题求解非线性规划问题的Khun-Tucker定理非线性规划(P)KT条件(KT)Khun-Tucker定理：若x*是(P)的最优解，且约束规格成立，则一定存在u*，使得(x*,u*)是KT问题的解；若(x*,u*)是KT问题的解，且(P)为凸规划，则x*是(P)的最优解。UMP的KT条件3.D.23.D.3命题3.D.2 假定u()是一个连续效用函数，代表定义在X上的局部非饱和偏好关系，则瓦尔拉斯需求对应X(p,w)具有下述性质：1.在(p,w)上具有零次齐次性；2.瓦尔拉斯定律3.凸性/惟一性。如果u()连续可微，最优解
10、 的一阶条件（KT）是：（必要？充分？）3.D.1内点最优：边际替代率等于边际交换率。3.D.43.D.5任何 都必须满足条件(3.D.2)和(3.D.3)。（即一阶条件是必要条件）如果u()是拟凹的和单调的，则一阶条件就是充分条件。即满足(3.D.2)和(3.D.3)的x是UMP的最优解。一阶条件中的Khun-Tucker乘子表示最优点上消费者财富的边际效用价值。财富的边际增加导致的效用变化为例3.D.1 从C-D效用函数导出需求函数。L=2时，C-D效用函数为 UMP问题是3.D.6一阶条件解得习题3.D.1 证明上面导出的瓦尔拉斯需求函数满足命题3.D.2中的三个性质。关于x(p,w)的
11、比较静态分析（财富效应、价格效应），与前面类似。例题中的瓦尔拉斯需求的财富效应和价格效应。例 产品税和所得税对追求效用最大化的消费者征税。对物品1征收销售税后，预算约束为 。所得税收为tx*。若对收入征收同样的税收。预算约束为间接效用函数最优值函数对于每个(p,w)0，UMP的效用值表示为是(p,w)的函数，称为间接效用函数。命题3.D.3 假设u()是连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，则间接效用函数v(p,w)是：1.零次齐次的；2.在w上严格递增，且对于任意l，在pl上非递增；3.拟凸；4.在p和w上连续。注意：间接效用函数依赖于被选中的效用函数形式。例3.D.2 效
12、用函数习题某消费者具有如下形式的效应函数其中物品1是一个离散的物品，其可能的消费水平是假设u(0)=0，p2=1该消费者具有何种类型的偏好；价格p1低于何种水平时，消费者才会明确选择x1=1；其相关的间接效应函数的代表形式是什么？习题3.D.3, 3.D.4, 3.D.83.E 支出最小化问题UMP是在给定财富w下所能达到的最大效用水平，而EMP是为达到效用水平u所需的最小财富水平。最优解称为希克斯需求h(p,u)，最优值称为支出函数e(p,u)=ph(p,u)。若u()可微，一阶条件是3.E.23.E.3命题3.E.1 假设u()是一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，
13、且价格向量p0，则有：1.如果当财富水平w0时，x*在UMP中最优，那么当要求效用水平为u(x*)时，x*在EMP中也是最优的。且在这一EMP中的最小支出水平是w，即UMP与EMP是对偶问题2. 如果当要求达到效用水平为uu(0)时，x*在EMP是最优的，那么当财富为px*时，x*在UMP中也是最优的。且在这一UMP中的最大效用就是u。即支出函数命题3.E.2 假设u()是一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和的偏好关系，则支出函数e(p,u)：1.在p上一阶齐次；2.在u上严格递增，对任意l，在pl上非递减；3.在p上是凹的；4.在p和u上连续。希克斯（补偿）需求函数命题3.E.
14、3 假设u()是一个连续效用函数，它代表定义在消费集X上的局部非饱和偏好关系，则对任意p0，希克斯需求对应h(p,u)具有下述性质：1.在p上零次齐次；2.没有超额效用；3.凸性/唯一性。3.E.4h(p,u)描述：当价格变化时，如果消费者财富同时调整，以保持效用水平不变，则h(p,u)给出了相应的需求变化。这一类型的财富补偿，称为希克斯财富补偿。需求函数h(p,u)是在价格变化时保持消费者效用水平不变，而瓦尔拉斯需求函数则是保持货币财富不变而允许效用水平变化。希克斯需求和补偿需求法则希克斯需求满足补偿需求法则：对于伴随着希克斯财富补偿的价格变化，需求和价格反向变动。命题3.E.4 假设u()
15、是一个连续效用函数，代表一个局部非饱和的偏好关系，则希克斯需求函数h(p,u)满足补偿需求法则：对所有p和p，有(3.E.5)例3.E.1 由科布道格拉斯效用函数导出的希克斯需求函数及支出函数。习题1.某消费者具有下列形式的间接效应函数求支出函数。1.若u是一次齐次的，则瓦尔拉斯需求函数x(p,w)和间接效用函数v(p,w)也是一次齐次的，h(p,u)和e(p,u)在u上是一次齐次的。2.若偏好是严格凸的和拟线性的。则商品2，L的瓦尔拉斯需求函数与财富无关，希克斯需求函数不依赖于u。3.G 需求、间接效用及支出函数的关系n希克斯需求函数与支出函数之间关系n希克斯需求函数与瓦尔拉斯需求函数之间关
16、系n瓦尔拉斯需求函数与间接效用函数之间关系n假设u()是一个连续效用函数，代表局部非饱和的偏好关系。P0。假设偏好关系严格凸，从而瓦尔拉斯需求和希克斯需求都是单值函数。包络定理带有约束的最大化问题q是参数。v()是问题的值函数，即v(q)是当参数为q时，问题的最大值。命题：（包络定理）最大化问题的值函数v(q)。假设它连续可微， 是与q*处的最优解x(q*)相关的拉格朗日乘子，那么UMPEMP“对偶”问题（命题3.E.1）X(p,w)v(p,w)e(p,u)h(p,u)Slutsky Equation罗伊恒等式导数向量希克斯需求和支出函数e(p,u)=ph(p,u)命题3.G.1 假设u()是
17、一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系。对于所有p和u，希克斯需求h(p,u)是支出函数对价格导数向量，即(3.G.1)命题3.G.2 假设u()是一个连续效用函数，代表一个定义在消费集X上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系；h(p,u)连续可微，则有注意：e(p,u)是二次连续可微的凹函数。价格效应矩阵 的半负定性是补偿需求法则的微分表示。的对称性。与理性偏好密切相关。每种商品至少有一种替代品。希克斯需求和瓦尔拉斯需求希克斯需求函数不是直接可观测的，而瓦尔拉斯需求函数是可以直接观测的。我们可以证明，可以从瓦尔拉斯需求函数x(p,w)计算出来。这就是Slutsky
18、方程。命题3.G.3 (Slutsky方程) 假设u()是一个连续效用函数，代表一个定义在消费集X上的局部非饱和的和严格凸偏好关系。则对于所有(p,w)和u=v(p,w)，有：3.G.33.G.4当需求是由偏好最大化导出时，S(p,w)具有以下三个性质：半负定、对称的、满足S(p,w)p=0瓦尔拉斯需求和间接效用函数命题3.G.4 罗伊恒等式。假设u()是一个连续效用函数，代表定义在消费集X上的局部非饱和的和严格凸的偏好关系。并且假设间接效用函数是可微的，则习题3.G.8, 10, 11, 143.H 可积性如果一个连续可微的需求函数x(p,w)是由理性偏好导出的，则它是零次齐次和满足瓦尔拉斯
19、定律，并且替代矩阵S(p,w)是对称、半负定矩阵。如果我们观察到一个具有这些性质的需求函数x(p,w)，能够找到理性化x的偏好吗？这类问题称为可积性问题。答案是肯定。这些条件是导出x()的理性偏好存在的充分条件。理论上的含义：1.零次齐次性、瓦尔拉斯定律以及一个对称的半负定替代矩阵，不仅是偏好法需求理论的必然结果，而且是它的全部结果。2.该结果为我们对基于偏好的需求理论同以弱公理为基础的选择法需求理论之间的关系画上了一个句号。（替代矩阵的对称性）实践层面上，1.要评价福利效果，就必须知道消费者的偏好（至少是支出函数）。该结果告诉我们如何以及何时能够通过对消费者需求行为的观测来发现这一信息。2.
20、当我们进行需求的经验分析时，希望估计出一个形式相对简单的需求函数。可以先规定一个可处理的需求函数，检验它是否满足本节所确定的充要条件即可。不必真正去推导效用函数。根据x(p,w)逆推偏好的问题，可以被分解为两部分：1.由x(p,w)逆推支出函数e(p,u)；2.由支出函数e(p,u)逆推偏好。由支出函数逆推偏好假设e(p,u)是消费者的支出函数。根据命题3.E.2，它在u上严格递增，在p上连续、非递减、一次齐次和凹的，可微。e(p,u)可看作是一类间接效用函数。由需求逆推支出函数由观测到的瓦尔拉斯需求x(p,w)逆推e(p,u)。假设x(p,w)满足瓦尔拉斯定律、零次齐次性，单值的。考虑L=2
21、的情形。将p2标准化为1，即p2=1。选择任意一个价格财富 ，并赋予消费束的效用值为u0。我们在所有价格 上逆推支出函数补偿需求是支出函数对价格的导数，所以逆推e()就等价于解一个以p1为自变量，e为因变量的微分方程。令我们要在 的初始条件下解微分方程3.H.1特别地，如果替代矩阵半负定，则e(p1)具有支出函数的所有性质。有L种商品的一般情形，常微分方程(3.H.1)代之以初始条件为 的偏微分方程组(3.H.2)结论：可以逆推出一个潜在的支出函数的充要条件是Slutsky替代矩阵的对称性和半负定性。3.I 经济变化的福利评价福利分析关心的是如何评价消费者的环境变化对其福利的影响（效用）。以偏
22、好法为基础的。考虑理性、连续、局部非饱和的偏好关系。假设支出函数和间接效应函数是可微的。价格变化的福利效应。假设消费者具有一个固定财富水平w0，初始价格向量p0。评价从p0到新价格p1的变化对消费者福利的影响。（用效用来度量）当且仅当 时，消费者状况变差。一类特殊的间接效用函数，称为货币度量的间接效用函数。是用支出函数构造的。马歇尔剩余从任一间接效用函数v()开始，选择一个任意的价格向量 ，并考虑函数 。这一函数给出了当价格为 时达到效用水平v(p,w)所需的财富。该支出是效用水平v(p,w)的严格递增函数。因此，如果把它看成(p,w)的函数，那么本身就是一个代表偏好关系的间接效用函数。美元表
23、示的福利变化。两个特别的选择是p0和p1。两种关于福利变化的度量，等价变化(EV)和补偿变化(CV)。令等价变化：消费者在接受这一美元数额和接受价格变化之间是无差异的；对福利影响而言，这一数额的财富变化和价格变化是等价的。在价格p0上获得效用水平u1所需的净财富变化。补偿变化：一个计划者的净收入。计划者必须在价格变化发生之后，对消费者进行补偿使消费者的效用恢复到初始效用水平u0。计划者为使消费者同意价格变化而必须向消费者支付的金额的负数。图3.I.2当且仅当两个度量值为正时，消费者在p1条件下获得了改善。一般来讲不相等。用希克斯需求计算EV和CV。假设只有商品1的价格发生变化。图3.I.3商品
24、1是正常品的情形。当商品1是正常品时，我们有EVCV。当商品1为劣等品时，正好颠倒过来。如果财富效应对商品1不存在（潜在偏好对某商品l是拟线性的），则EV=CV。因为有称为马歇尔消费者剩余。等于瓦尔拉斯需求函数的积分。例3.I.1 商品税导致的净损失。新价格向量p1是由政府对某一商品征税而产生的。假设对商品1征税，消费者每购买1单位商品1需交的税为t。还可以征收数额为T的一次性总付税。这两种情况，哪一种消费者的状况更好？如果商品税下的等价变化EV（负值）小于一次性总付税下损失的财富-T，则商品税下的境况更糟。商品税的净损失。图3.I.4计算得到式(3.I.5)和(3.I.6)习题：某消费者的效
25、应函数是u=minx,y，有150美元。X和y的价格都是1。他的老板想派他到另一个城市，那里x的价格是1，y的价格是2，老板不提高工资。他说搬家就像减少A美元那样坏。如果获得B美元的加薪他也不介意搬家。习题3.I.2 计算净损失(3.I.5)和(3.I.6)对t的导数。证明：在t=0处取值时，导数为0。如果在p1上是严格递减的，则导数在所有t0上均为正。当政府要决定对哪种商品进行征税时，便出现了一个有趣的比较多个可能的新价格向量的情形。例如，政府考虑以下两个不同的、但税收收入均为T的征税方案。命题3.I.2 假设消费者具有局部非饱和的理性偏好。若 ，则消费者在价格财富状况(p1,w)下的状况好于在(p0,w)下。利用部分信息进行福利分析
