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1、第一章第五课时：第一章第五课时：因式分解因式分解 WJL321 制作制作要点、考点聚焦要点、考点聚焦2.2.因式分解的几种常用方法因式分解的几种常用方法(1)(1)提公因式法提公因式法(2)(2)运用公式法：运用公式法：平方差公式：平方差公式：a a2 2-b-b2 2=(a+b)(a-b)=(a+b)(a-b)完全平方公式：完全平方公式：a a2 22ab+b2ab+b2 2=(a=(ab)b)2 2(3)(3)二次三项式型：二次三项式型：x x2 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)(4)(4)分组分解法：分组分解法：分组后能提公因式；分组
2、后能提公因式；分组后能运用公式分组后能运用公式. .1.1.因式分解的定义因式分解的定义把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解式分解因式多项式因式分解式分解因式. .因式分解与整式乘法互逆。因式分解与整式乘法互逆。3.3.因式分解的一般步骤因式分解的一般步骤可归纳为一可归纳为一“提提”、二、二“套套”、三、三“分分”、四、四“查查”：(1)(1)一一“提提”：先看多项式的各项是否有公因式，若有：先看多项式的各项是否有公因式，若有必须先提出来必须先提出来. .(2)(2)二二“套套”：若多项式的各项无公因式：若多项式的各项无公因
3、式( (或已提出公或已提出公因式因式) )，第二步则看能不能用公式法或用，第二步则看能不能用公式法或用x x2 2+(p+q)x+pq+(p+q)x+pq型分解型分解. .(3)(3)“三三分分”：若若以以上上两两步步都都不不行行，则则应应考考虑虑分分组组分分解解法法，将将能能用用上上述述方方法法进进行行分分解解的的项项分分成成一一组组，使使之之分分组组后后能能“提提”或或能能“套套”，当当然然要要注注意意其其要要分分解解到到底底才才能能结束结束. .(4)(4)四四“查查”：可可以以用用整整式式乘乘法法检检查查因因式式分分解解的的结结果果是是否正确否正确. .要点、考点聚焦要点、考点聚焦3.
4、下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( ) A.x x2 2-y -y B.x x2 2+2x+2x C.x x2 2+y+y2 2 D.x x2 2-xy+y-xy+y2 2 课前热身课前热身1.分解因式：分解因式：3x3x2 2-3=-3= . 2.分解因式：分解因式： X X2 2+2xy+y+2xy+y2 2-4=-4= . 3(x+1)(x-1)3(x+1)(x-1)(x+y+2)(x+y-2)(x+y+2)(x+y-2)B4.分解因式：分解因式：a a2 2-4a+4=-4a+4= . (a-2)(a-2)2 25.5.分解因式：分解因式
5、：a a3 3+2a+2a2 2+a=+a= . .6.6.将下列式子因式分解将下列式子因式分解 x-x x-x2 2-y+y-y+y2 2= = . .a(a+1)2(x-y)(1-x-y)(x-y)(1-x-y)课前热身课前热身7.关于关于x的一元二次方程的一元二次方程x x2 2+bx+c=0+bx+c=0的两根的两根为x x1 11 1， x x2 22 2，则x x2 2+bx+c+bx+c分解因式的结果为：分解因式的结果为： . 8.分解因式：分解因式：x x2 2-4y-4y2 2+x-2y=+x-2y= . . (x-2y)(1+x+2y)(x-2y)(1+x+2y)课前热身课
6、前热身（x-1x-1）(x-2)(x-2)【例【例1】下列各式从左到右的变形是分解因式】下列各式从左到右的变形是分解因式的为（的为（ ）（A）（）（x-3）（）（x+3）=x2-9（B）3x+3y-5=3（x+y）-5（C）2m2-8n2=2（m+2n）（）（m-2n）（D）典型例题解析典型例题解析典型例题解析典型例题解析【例【例2】 因式分解：因式分解： (1)-4x2y+2xy2-12xy； (2)3x2(a-b)-x(b-a)； (3)9(x+y)2-4(x-y)2； （4）（）（x2+1）2-4x2 （5）a4-8a2b2+16b4典型例题解析典型例题解析【例【例3】 因式分解：因式分
7、解： (2)a2-b2-c2-2bc； (3)x4-5x2+4； (4)x3-2x2-5x+6.【例【例4】利用因式分解进行计算或说明理由：利用因式分解进行计算或说明理由： （1）计算；）计算；2。99876。5+11。79876。5-4。69876。5； （2）求（）求（x-y）（）（x2+3xy+y2）+xy（y-x）的值，）的值，其中其中x=4。9 ， y=5。1 （3）328-327-326能被能被15整除吗？整除吗？典型例题解析典型例题解析【例【例5】（1）若）若a，b,c为为 ABC 的三边，试判断的三边，试判断代数式代数式 a2-(b2-2bc+c2)的符号。的符号。 (2)若若
8、a，b，c为为 ABC 的三边，且满足的三边，且满足 a2+b2+c2=ab+bc+ac请探索请探索 ABC的形状，并说的形状，并说明理由。明理由。典型例题解析典型例题解析1.1.因式分解应进行到底因式分解应进行到底. .如：分解因式：如：分解因式：x x4 4-4=(x-4=(x2 2+2)(x+2)(x2 2-2)-2)=(x=(x2 2+2)(x+ )(x- ).+2)(x+ )(x- ).应在实数范围内将它分解到底应在实数范围内将它分解到底. .又如：分解因式又如：分解因式:2:22 2-8-8x-6=2(xx-6=2(x2 2-4x-3)-4x-3)令令x x2 2-4x-3=0-4
9、x-3=0，则则x= = =2x= = =22x2x2 2-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )-8x-6=2(x-2+ )(x-2- )2.2.不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原不要将因式分解的结果又用整式的乘法展开而还原. .如如:(:(a a2 2+b+b2 2) )-4a-4a2 2b b2 2 =(a =(a2 2+b+b2 2+2ab)(a+2ab)(a2 2+b+b2 2-2ab)-2ab) =(a+b) =(a+b)2 2(a-b)(a-b)2 2 = =(a+b)(a-b)(a+b)(a-b)2 2 =(a =(a2 2-b-b2 2) )2 2 =a =a4
10、4-2a-2a2 2b b2 2+b+b4 4实际该题到第实际该题到第2 2个等于号就分解到底了，不能再向下个等于号就分解到底了，不能再向下计算了计算了! !3.3.注意解题的技巧的应用，不能死算注意解题的技巧的应用，不能死算. .如：分解因式如：分解因式( (x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9x+1)(x+3)(x+5)(x+7)-9= =(x+1)(x+7)(x+1)(x+7)(x+3)(x+4)(x+3)(x+4)-9-9=(x=(x2 2+8x+7)(x+8x+7)(x2 2+8x+15)-9+8x+15)-9= =( (x x2 2+8x+8x)+7)+7( (x x2 2+
11、8x+8x)+15)+15-9-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+105-9)+105-9=(=(x x2 2+8x+8x) )2 2+22(+22(x x2 2+8x+8x)+96)+96=(=(x x2 2+8x+8x +6)( +6)(x x2 2+8x+8x +16) +16)=(x=(x2 2+8x+6)(x+4)+8x+6)(x+4)2 2课时训练课时训练1.分解因式：分解因式：a2-25= .2. 分解因式：分解因式：x3y2-4x= .3. 分解因式：分解因式：xy2-x2y= . x(xy+2)(xy-2)(a+5)(a
12、-5)xy(y-x) y(x-2)24. 分解因式：分解因式：x2y-4xy+4y= . 5. 分解因式：分解因式： a2-2ab+b2-c2= . (a-b+c)(a-b-c)7. 多项式多项式ac-bc+a2-b2分解因式的结果为分解因式的结果为 ( ) A. (a-b)(a+b+c) B. (a-b)(a+b- -c) C. (a+b)(a+b-c) D. (a+b)(a-b+c)8. 把多项式把多项式1-x2+2xy-y2分解因式的结分解因式的结 果为果为 ( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y) D.(1+x-y)(1+x+y)AB课时训练课时训练6. 为使为使x2-7x+b在整数范在整数范围内可以分解因式，内可以分解因式，则b可能取的可能取的值为 . （任写一个）（任写一个）9 求证：对于自然数求证：对于自然数n，2n+4-2n能被能被30整除整除. 解：解：2n+4-2n=2n(2-1)=2n(16-1)=152n =1522n-1=302n-1. n为自然数时，为自然数时，2n-1为整数，为整数，2n+4-2n能被能被30整除整除.课时训练课时训练练习与作业复习导引：P20-P22 三阶练习：A组，B组，C组。
