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1、第六章第六章常微分方程常微分方程一、两个实例一、两个实例引言：微分方程的应用（人口增长、自动引言：微分方程的应用（人口增长、自动控制、市场控制、力学、电学）控制、市场控制、力学、电学） 6.1一阶微分方程的解法一阶微分方程的解法6.1.1微分方程的基本概念微分方程的基本概念解解曲线上任意点的坐标为曲线上任意点的坐标为(x,y)，则，则例例6.36.3 列车在平直线路上以列车在平直线路上以20m/s20m/s的速度行驶，的速度行驶，制动时列车获得加速度制动时列车获得加速度-0.4-0.4m/s. m/s. 问开始制动后问开始制动后多长时间列车才能停住，在这段时间内列车行驶多长时间列车才能停住，在
2、这段时间内列车行驶了多少路程？了多少路程？ 解解 设设列列车车开开始始制制动动的的时时刻刻为为t=0t=0，制制动动t t秒秒行行驶驶了了s s米米后后停停止止，由由导导数数的的力力学学意意义义，列列车车制制动动阶阶段段运运动动规规律律的的函函数数 应应满满足足S(t)还应满足（1）式两边积分得：两边再积分得：代入以上两式得：将令得定义定义1含有自变量、未知函数及未知函数的导数含有自变量、未知函数及未知函数的导数(或微分或微分)的方程，叫做的方程，叫做微分方程微分方程.未知函数是一元函数的微分方程叫做未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程常微分方程.微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高
3、阶微分方程中未知函数的导数（或微分）的最高阶数，称为数，称为微分方程的阶微分方程的阶1.微分方程的定义微分方程的定义2.微分方程的阶微分方程的阶二、基本概念二、基本概念可不出现可不出现x yyy，yy，yy (n) (n)特点特点判定下列等式是否微分方程？如果是，指出判定下列等式是否微分方程？如果是，指出它的阶数。它的阶数。(1)y+2xy=ex(2)y-5y=2x2-x+1(3)2y-3(y)3+5y=8x(4)y2-x+1=0(5)(sinx)=cosx (6) y= 0 (6) y= 0(7) (y)(7) (y) 4 4 = e = e x yx y定义定义2如果一个函数代入微分方程后
4、，方程两端如果一个函数代入微分方程后，方程两端恒等，则称此函数为微分方程的恒等，则称此函数为微分方程的解解。（1）通解：通解：如果微分方程的解中含有任意常数，如果微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相且独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的同，这样的解叫做微分方程的通解通解。3.微分方程的解微分方程的解（2）特解：特解：在通解中，给任意常数以确定的值在通解中，给任意常数以确定的值而得到的解称为而得到的解称为特解特解。（3）初始条件初始条件：用来确定通解中任意常数的条件：用来确定通解中任意常数的条件如例如例1（通解通解）（初始条件初始条件）
5、（特解特解）解解4.指出微分方程的阶、通解或特解指出微分方程的阶、通解或特解练习：练习：P.1531.2.一阶微分方程的一般形式为一阶微分方程的一般形式为F（x，y， y）=0下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程下面我们仅讨论几种特殊的一阶微分方程及解法及解法则该微分方程称为可分离变量的微分方程则该微分方程称为可分离变量的微分方程6.1.2分离变量法分离变量法如果一个一阶微分方程如果一个一阶微分方程F（x，y， y）=0可化为可化为的形式，的形式，两边积分，得两边积分，得则微分方程的通解为：则微分方程的通解为：解解分离变量分离变量两端积分两端积分（C=2C1)例例6.56.5求解微分方程求解微
6、分方程的通解。即即为方程的通解为方程的通解例例6.6求微分方程求微分方程xydyxydy + + dxdx = =y y 2 2dx dx + + ydyydy的通解的通解 解解分离变量分离变量两端积分两端积分故方程的通解为故方程的通解为例例6.7求微分方程求微分方程满足初始条满足初始条件件y（0）=1的特解的特解 解解分离变量分离变量两端积分两端积分故所求的特解为故所求的特解为由初始条件由初始条件y（0）=1，得，得一阶线性微分方程一阶线性微分方程的标准形式的标准形式:上方程称为上方程称为齐次的齐次的.上方程称为上方程称为非齐次的非齐次的.例如例如线性的线性的;非线性的非线性的.6.1.3常
7、数变易法常数变易法齐次方程的通解为齐次方程的通解为线性齐次方程线性齐次方程我们先讨论我们先讨论一阶齐次线性微分方程的一阶齐次线性微分方程的解法解法(使用分离变量法使用分离变量法)下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解下面我们用常数变易法在齐次线性方程的通解式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解，式的基础上来求解非齐次线性方程式的通解，即把齐次线性方程的通解式中的即把齐次线性方程的通解式中的C看作是看作是x的的函数函数C（x）.设设是非齐次方程的通解是非齐次方程的通解把它代入非齐次方程，由此来确定待定把它代入非齐次方程，由此来确定待定函数函数C（x）.这时这时两边积分得两边积分得一阶线性非齐次
8、微分方程的通解为一阶线性非齐次微分方程的通解为:对应齐次对应齐次方程通解方程通解非齐次方程特解非齐次方程特解 例例 求微分方程 的通解. 解一解一 将原方程变形为 （1）先求对应齐次方程 的通解.（2）把 换成 ，即设 （3）把它代入方程，化简后得： 两边积分，得 （4）把C(x）代入，即得原方程的通解是： 解二解二 我们也可以直接利用通解公式求解，此时 ，得通解 例例6.9求微分方程求微分方程x2dy+(2xyx+1)dx=0满足初始满足初始条件条件y(1)=0的特解的特解解解把初始条件把初始条件y(1)=0代入上式，得代入上式，得C=1/2故所求方程的特解为故所求方程的特解为补充：求微分方程补充：求微分方程(y2-6x)dy+2ydx=0的通解的通解（y为自变量）为自变量） 解解故所求方程的通解为故所求方程的通解为
