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1、高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）高等数学（上）2.32.32.32.3节节节节 高阶导数高阶导数高阶导数高阶导数主主 要要 内内 容容1 高阶导数的定义 2 高阶导数的运算方法高阶导数的概念高阶导数的概念瞬时速度瞬时速度:即即加速度加速度:即即引例引例：求变速直线运动的加速度：求变速直线运动的加速度.位置函数位置函数: :导数的导数导数的导数加速度是加速度是速度对时间的变化率速度对时间的变化率高阶导数的概念高阶导数的概念定义定义. . 若函数若函数的导数的导数可导可导, ,或或即即或或类似地类似地 , 二阶导数的导数称为二阶导数的导数称为三阶导数三阶导数 ,阶导数的导数称为阶导数的导
2、数称为 n 阶导数阶导数 ,或或的的二阶导数二阶导数 , 记作记作的导数为的导数为依次类推依次类推 ,分别记作分别记作则称则称高阶导数运算法高阶导数运算法1. 直接法直接法:由高阶导数的定义由高阶导数的定义逐步逐步求高阶导数求高阶导数. .设求解解:依次类推 ,例1.思考思考: 设问可得例2. 设求解:特别有:高阶导数运算法高阶导数运算法解:规定 0 ! = 1思考:例3. 设求高阶导数运算法高阶导数运算法高阶导数运算法高阶导数运算法例4. 设求解解: 一般地 ,类似可证:高阶导数运算法高阶导数运算法例5 . 设解:高阶导数运算法高阶导数运算法例6. 设存在的最高阶n=？分析: 但是又高阶导数
3、运算法高阶导数运算法2.高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:莱布尼兹公式莱布尼兹公式二项展开式二项展开式例7. 求解解: 设则代入莱布尼兹公式 , 得高阶导数运算法高阶导数运算法高阶导数运算法高阶导数运算法例8. 设设求解解:即用莱布尼兹公式求 n 阶导数令得由得即由得高阶导数运算法高阶导数运算法3. 间接法间接法:常用高阶导数公式常用高阶导数公式: 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过通过四则运算四则运算, , 变量代换等方法变量代换等方法, , 求出求出 n 阶导数阶导数. .例例9.解解:高阶导数运算法高阶导数运算法内内 容容 小小 结结(1) 逐阶求导法（归纳）(3) 间接法 利用已知的高阶导数公式(2) 利用加减运算法则及莱布尼兹公式如,1. 如何求下列函数的 n 阶导数?解解: 解解: 思思 考考 与与 练练 习习(3)提示提示: 令原式原式思思 考考 与与 练练 习习2. (填空题) (1) 设则提示:各项均含因子 ( x 2 )思思 考考 与与 练练 习习思思 考考 与与 练练 习习(2) 已知任意阶可导, 且时提示提示:则当思思 考考 与与 练练 习习3. 试从试从 导出解：解：同样可求(见 P103 题4 )P103 习题2-31 (9) , (12) ; 3 ; 4 (2) ; 10作作 业业
