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1、第 1 章误差分析与数值计算 2 1.1 引言 2 1.2 绝对误差与相对误差、有效数字 6 1.3 近似数的简单算术运算 9 1.4 数值计算中误差分析的一些原则 9 第 2 章非线性方程（组）的近似解法 11 2.1 引言 11 2.2 根的隔离 12 2.3 对分法 12 2.3 对分法 12 2.4 迭代法 13 2.6 弦截法 15 2.6 弦截法 15 1.7 用牛顿法解方程组 15 本章小结 17 第 3 章线性方程组的解法 17 3.1 引言 17 3.2 高斯消去法 19 3.3 矩阵的 LU 分解 21 3.4 对称矩阵的 LDLT分解 21 3.5 线性方程组解的可靠性
2、22 3.6 简单迭代法 22 本章小结 29 第 4 章矩阵特征值与特征向量的计算 30 4.1 引言 30 4.2 幂法和反幂法 30 4.3 雅可比方法 31 4.4 QR 方法*35 本章小结 36 第 5 章插值与拟合 36 5.1 引言 36 5.2 插值多项式的存在和唯一性 37 5.3 拉格朗日插值多项式 37 5.4 均差插值公式 39 5.5 差分等距结点插值公式 40 5.6 爱尔米特插值公式 41 5.7 分段低次插值 42 5.8 三次样条函数 42 5.9 曲线拟合的最小二乘法 45 本章小结 48 第 6 章数值积分和数值微分 49 6.1 引言 49 6.2 牛
3、顿一科特斯型积分公式 49 6.3 复合求积公式 51 6.4 龙贝格求积公式 53 6.5 高斯求积公式 54 6.6 二重积分的数值积分法 55 6.7 数值微分 56 本章小结 57 第 7 章常微分方程的数值解法 58 7.1 引言 58 7.2 欧拉法和改进的欧拉法 59 7.3 龙格- 库塔方法 60 7.4 线性多步法 63 7.5 算法的稳定性与收敛性 65 7.6 微分方程组和高阶微分方程解法 65 本章小结 66 第 1 章 误差分析与数值计算 1.1 引言 1、课程任务和目的： 在第七届国际软件工程学术会议上， “计算方法”被列入应用方法学的研究领域，强调了计算方法的研究
4、应用与软件方法学的研究密切结合。这就说明了计算方法与软件之间的联系以及在应用软件研制中的地位与作用，计算方法是研究各种数学问题求解的数值计算方法。在计算机成为数值计算的主要工具的今天，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法。计算方法就是研究用计算机解决数学问题的数值方法及其理论，它的内容包括函数的数值逼近、数值微分与数值积分、非线性方程值解、线性方程组数值解、常微和偏微数值解等，即都是以数学问题为研究对象的。因此，计算方法是数学的一个分支，只是它不象纯数学那样只研究数学本身的理论，是把理论与计算紧密结合，着重研究数学问题的数值方法及其理论，计算则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对
5、分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方方法是计算机应用和软件研制开发的重要组成部
6、分，通过本课程的学习和上机实习，使学生掌握利用计算机进行科学计算的基本理论和基本方法，并且学会将基本理论和基本方法应用于软件开发以及软件研制。 2、本课程基本要求 （1）掌握方法的基本原理和思想。 （2）掌握方法处理的技巧及与计算机的结合。 （3）掌握误差分析，收敛性及稳定性的基本理论。 （4）学会进行可靠的理论分析，对近似计算要确保精度要求，要进行误差分析。 （5）通过例子，学习使用各种计算方法解决实际计算问题。 （6）通过上机实践，能编写算法和实现算法。 （7）掌握数值计算中一些最基本、最常用的计算方法和算法。 3、本课程与各课程的关系： 由于本课内容包括了微积分、代数、常微分方程的数值方
7、法，学生必须掌握这几门课的基本内容才能学好这一课程， 同时， 学习此课程还必须具备计算机系统的初步知识， 掌握一门常用的高级语言， 如： BASIC 、PASCAL 、C 语言等，并须具备一定的编程能力。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式
8、高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方4、本课程的特点： （1）面向计算机，要根据计算机特点提供实际可行的有效算法。即算法只能包括加、减、乘、除运算和逻辑运算，是计算机能直接处理的。 （2）有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析，而且都是建立在相应数学理论基础上的。 （3）有好的计算复杂性。时间复杂性好是指节省时间；空间复杂性好是指节省存储量。这也是建立算法时要研
9、究的问题，因为它关系到算法能否在计算机上完成。 （4）要有数值实验。即任何一种算法除了从理论上要满足上述三点外，还要通过数值实验证明是行之有效的。 计算方法最基本的立足点是容许误差，在误差容许的范围内对某一数学问题进行近似计算，得到能满足要求的近似结果。 现实世界中误差是普遍存在的，由于世界上没有绝对精确的量具（绝对精确的量具是没有刻度的） ，因此人类通过量具采集的数据都是近似值，另一方面，我们的生产、实验工具都不是绝对精确的，这就使得人类在生产和科学实验中必需容许误差。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯
10、消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方计算机的应用可以分为二个方面， 即数值计算和非数值计算。 利用计算机进行数值计算的过程如下图所示： 实际问题 数学模
11、型 计算方法 程序设计 上机求解 在上图中，计算方法的任务是：由建立的数学模型给出可编程并由计算机能完成的计算方法，然后编程和上机求解。 由于计算方法是编程后可由计算机求解的近似计算方法，如何确保近似解的精度显得尤为重要，必须深入讨论有关误差的基本概念和基本理论，为近似计算的精度分析打下基础。 1、误差的来源（种类） 误差的来源主要有以下四种 （1）模型误差：建立数学模型时的误差。 例如：在求重量的数学模型 G=m*g 中，重量 G 不是仅与质量和重力加速度有关，它还与温度、测量地点的海拔、地层结构等众多因素有关，为了使模型较为简单和实用，采用抓住主要矛盾的方法，去掉了大量对重量影响不大的次要
12、因素，建立了上述重量的近似模型，由此产生了模型误差。 （2）观测误差：采集数据时的误差。 采集数据时，通常是依靠仪器和量具，由于没有绝对精确的仪器和量具，因此采集的数据有误差，此误差则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法
13、的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方称为观测误差。 （3）舍入误差：由于计算机字长有限而产生的误差。 硬件再发展，计算机的字长总是有限的，在计算过程中，当数据的长度超过了计算机的字长时，计算机就会进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差。 （4）截断误差：无限形式的有限化而产生的误差。 在计算中有时会运用无限形式的计算公式，例如台劳公式： n00)n(00) 1 (0)xx(! n)x(f)xx(! 1)x(f)x( f)x( f 显然此公式无
14、法进行计算，因此必需根据实际需要，从某一项起将后面的各项截断，即 n00)n(00) 1 (0)xx(! n)x(f)xx(! 1)x(f)x( f)x( f 由此产生的误差称为截断误差。 1.2 绝对误差与相对误差、有效数字 为描述方便，首先约定 x*是精确值 x 的近似值。引入误差的概念，其目的是为了衡量近似值 x*的好坏。 （1）绝对误差： x* x 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距
15、结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方由于精确值 x 通常无法确定，因此绝对误差无法计算，由此引入绝对误差限的概念。 绝对误差限：绝对误差的一个上界。即：若 | x* x | e，则称 e 为 x*的绝对误差限。 绝对误差限的性质是：A.不唯一这是因为| x* x | 的
16、上界是不唯一的。B.可确定只要我们对 x*的实际背景有一定的了解，就不难确定| x* x |的上界。例如，x*表示身高，则| x* x |的上界可为 3 米。当 x*是你求出的，那么为了说明你的工作认真，你一定会将| x* x | 的上界估计得尽量小，因此在这种意义上绝对误差限可用来衡量 x*的好坏。 由于绝对误差限没有考虑问题的规模，因此有时它也不能衡量 x*的好坏。例如：x 是地球与太阳的距离，y 是分子中二个原子间的距离，若| x* x | 1 公里，| y* y | 1 厘米，则并不能说 y*比 x*精确。由此引入相对误差和相对误差限的概念。 （2）相对误差：(x* x ) / x*
17、相对误差限：相对误差绝对值的一个上界。 3、有效数字 这里我们必须搞清楚什么是有效数字以及如何确定 x*有几位有效数字。 （1）有效数字的定义 若|x*-x|x*的某一位的半个单位，则称 x* 精确到这一位，并从这一位开始，一直到前面第一个不为零的则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一
18、科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方数都是 x*的有效数字。 此定义实际上定义了什么叫精确到某一位和什么叫有效数字。 例如： 若x*精确到小数点后第3位， 即指| x* x | 0.5 10-3。 （2）有效数字的判定方法 方法一：四舍五入 此方法首先确定 x*是由 x 的哪一位四舍五入产生的， 然后从这一位的前一位开始一直到前面第一个不为零的数都是 x*的有效数字。 例 1 若
19、 x=0.872596, x*=0.87 ，求 x*的有效位数。 解： x*是由 x 的小数点后第三位四舍五入产生的，所以 x*有二位有效数字。 注意，方法一判定有效数字很简单，但有时会失效。例如，若 x=0.272987 x*=0.273102，此时无法用方法一确定 x*的有效位数，原因是 x*不是由 x 四舍五入产生的，在这种情况下，必须用有效数字的定义来确定 x*的有效位数。即 方法二：用定义 此方法首先计算| x* x |，再判断它小于等于 x*的哪一位的半个单位，然后从近一位开始，一直到第一个不则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章
20、小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方为零的数都是有效数字。 例 2 若 x=0.62073，x*=0.6207，确定 x
21、*的有效位数。 解：因为| x* x | 0.0003 0.5 10 4，x*精确到小数点后第 4 位，所以 x*有四位有效数字。 例 3 若 x=0.080199，x*=0.802，确定 x*的有效位数。 解：因为| x* x |=0.00001 0.5 10 5，所以0.5 10 3，推出 x*有三位有效数字。 例 4 若 x=6.28936，x*=7.3132，确定 x*的有效位数。 解：| x* x |=0.02357 0.5 10 1，所以 x*有二位有效数字。 1.3 近似数的简单算术运算 1.4 数值计算中误差分析的一些原则 为保证计算结果的高精度，在进行数值计算时应遵循下述几个
22、原则。 （1）在进行除法时，要避免除数的绝对值被除数的绝对值。 为什么要“避免”？ 若不“避免” ，则除出的结果很大，由于计算机字长有限，它装不下，因此会进行四舍五入，一个很大的数进行四舍五入时舍去的部分也会很大，这会使舍入误差变大。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分
23、公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方怎样“避免”？ 因为用户只关心最后的计算结果，当中间计算过程中出现了除数的绝对值被除数的绝对值时，就应该换一种计算方法，以避免这种情况的发生，以后我们将会针对具体的计算问题来讨论“避免”的方法。 （2）在进行减法时，要避免二个相近的数相减。 为什么要“避免”？ 若不“避免” ，就可能失去大量的有效数字， 例如：若 a=30001 和 b=30000 都有五
24、位有效数字，因为 a-b=1，所以结果至多有 1 位有效数字。 怎么“避免”？ “避免”的思路与第 1 个原则中“避免”的思路相同，须针对具体计算问题来讨论。 （3）要防止“大数吃小数” 什么是“大数吃小数”？我们用一个例子为说明。 计算 8756294874n1iia，其中 n=10 20，0 ai10 6。 此题是一个很大的数与很多很小的数相加，若采用将大数依次与a1,a2,an相加，由于计算机字长有限，则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小
25、结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方因此在与ai相加时会进行四舍五入将ai舍去，这样，最后的结果仍是大数，这就是大数将a1,a2,an吃掉了。 为什么要“避免”？ 尽管每个小数都很小，但它们很多，可能它们的和比大数还大
26、，而最后计算工结果为大数，显然误差可能很大。 怎样“避免”？ 有的同学提出先将小数相加，然后再与大数相加，这个思路是对的，但有一个漏洞，因为小数相加到一定程度也会变成大数，它也开始吃小数了。可以采取分部相加的方法解决。 第 2 章 非线性方程（组）的近似解法 2.1 引言 方程 f(x)=0 的解称为方程的根。也叫做函数 f(x) 的零点。 方程求根大致包括三个问题 （1）方程有没有根？如果有根，有几个根？（2）哪里有根？求有根的区间，区间内的任意一点作为根的近似值。 （3）根的精确化，已知一个根的近似值后设法逐步把根精确化，直到足够精确为止。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对
27、分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方-1 0 1 2 -10 -5 0 5 1
28、0 本课程主要研究问题（2）和（3） 。 2.2 根的隔离 求方程 f(x)=0 的解的近似值时，首先要确定若干个区间，使每个区间内只有的一个根，这个步骤称为根的隔离。 对一般的方程，根的隔离有两种方法 （1）试值法。求出 f(x) 在若干点上的函数值，观察函数值符号变化的情况，从而确定隔根区间。 （2）作图法。画出 y=f(x) 的草图，观察曲线 y=f(x) 与 x 轴交点的大致位置，从而确定隔根区间。 例 1.2.1 讨论方程 f(x)=2x3-4x2+4x+2= 0 的根的位置。 例 1.2.2 将方程 xlog(x)= 1 的根进行隔离。 2.3 对分法 设有方程 f(x) =0 在
29、（a b）内有且仅有一个根 x*，这时有 f(a) f(b)0 可用对分法求 x*的近似值，方法如下（1）准备：计算区间（a b）两个端点的函数值 f(a)， f(b)（2）对分：取 c=(a+b)/2 为（a b）的中点，计算 f(c) （3）判断：如果 f(c)=0，则 c 为 f(x) =0 的根，否则检验： 若 f(c)f(a)0 ，则方程的根位于a c内，用 c 代替 b，若 f(c)f(b)0 ，则方程的根位于c b内，用 c 代替 a。 1 1.5 2 -1 -0.5 0 0.5 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线
30、性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方（4）检验：若|b-a|e (e为精度要求)此时计算结束 x*=c，否则转（2） 。 例 1.
31、3.1 用对分法求方程 f(x)=x3+2x-5= 0 在 1 2 内的根，e=10-5。 有根区间 1.0000 2.0000 1.0000 1.5000 1.2500 1.5000 1.2500 1.3750 1.3125 1.3750 1.3125 1.3438 1.3281 1.3438 1.3281 1.3359 1.3281 1.3320 1.3281 1.3301 1.3281 1.3291 方程的解 x= 1.3286 2.4 迭代法 设有方程 f(x) =0 在a b上有且仅有一个根 x*，可用迭代法求 x*的近似值，方法如下（1）将方程 f(x) =0 写f=inline(
32、x3+2*x-5) f(1),f(2) fplot(f,1 2),grid on 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届
33、国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方成迭代形式 x= (x) （2）在a b上任取一个初始值 x0。 （3）计算 x1= (x0) （4）若| x1 x0|e (e 为精度要求)，此时计算结束 x*= x1，否则令 x0=x1转（3） 。 例 1.4.1 用迭代法解方程 x= 10x-2 ，x0=1 分别采用迭代格式 x= 10x-2 和 x=log(x+2) ，观察两个计算过程的区别。e=1e-3 迭代过程: 1.0000 0.4771 0.3939 0.3791 0.3764 0.3759 迭代 6 次 x= 0.3759 例 1.4.2
34、 用迭代法求方程 f(x)=x3+2x-5= 0 的根，x0=1 3n1nx25x。迭代过程:1.0000 1.4422 1.28371.3449 1.3220 1.3306 1.3274 1.3286 1.3281 迭代 9 次 x= 1.3281 2.5 牛顿迭代法 牛顿法是解方程 f(x) =0 的重要方法，它也是一种迭代法。设有方程 f(x) =0 在a b上有且仅有一个根 x*，f=inline(5-2*x)(1/3) x=1 x=f(x) f=inline(log10(x+2) x=1 x=f(x) 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方
35、程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方可用牛顿法求 x*的近似值，方法如下（1）求函数 f(x) 的导函数 f (
36、x)，牛顿法迭代公式为 x=x f(x)/ f (x) （2）在a b上任取一个初始值 x0。 （3）计算 x1= x0 f(x0)/ f ( x0) （4）若| x1 x0|e (e 为精度要求)，此时计算结束 x*= x1，否则令 x0=x1转（3） 。 例 1.5.1 用牛顿法解方程 f(x)=x3-2x2-4x-7= 0在 34 内的根 x0=4。 迭代过程: 4.0000 3.6786 3.6329 3.6320 迭代 4 次 x= 3.6320 2.6 弦截法 弦截法也是一种是解方程 f(x) =0 的迭代法， 它的特点是不需要计算 f(x) 的函数 f (x)， 且收敛速度也相当
37、快，是工程计算中常用的算法之一。设有方程 f(x) =0 在a b上有且仅有一个根 x*，可用弦截法求 x*的近似值，方法如下（1）求函数 f(x) 在区间a b的两个端点的函数值 f(x0) ,f(x1) ，其中 a= x0 ,b= x1（2）计算 x2= x1 f(x1) x1 x0/ f(x1) f(x0) （3）若| x2 x1|1 称为超线性收敛，P=2 称为平方收敛，显然 P 越大，迭代过程收敛的越快。可以证明当 x*是方程 f(x)=0 的单根时，牛顿法是平方收敛的。当 x*是方程 f(x)=0 的重根时，牛顿法仅为线性收敛。 弦截法的收敛阶 P=1.618。对分法的收敛速度与公
38、比为 1/2 的等比级数相同。 牛顿法：收敛速度最快，但要计算 f(x) 的导函数，计算量大，有发散问题。 弦截法：收敛速度次之，不需要计算 f(x) 的导函数计算量比牛顿法小，有发散问题。 对分法：收敛速度最慢，但简单有效，不存在发散问题。它一定收敛到有根区间a b内的某个根。 第 3 章 线性方程组的解法 3.1 引言 在科学实验和工程设计中，经常用到解线性方程组的问题。本章讨论用计算机求解线性方程组的两类主要方法：直接法和迭代法。解线性方程组的一般表达式 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的
39、分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方nnnn2n21n12n2n2221211n1n212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa 根据矩阵的性质可以写成
40、n21n21nnn2n12n22211n1211bbbxxxaaaaaaaaa 简记为 Ax=b 其中 n21n21nnn2n12n22211n1211bbbxxxaaaaaaaaabxA 方程组 Ax=b 有唯一解的充分必要条件是|A| 0。我们只讨论这种情况下的解法。 解线性方程组的方法可以分为两类： 一类是直接法，它只包含有限次的四则运算，在每次运算都无舍入误差的情况下，所得到的是方程组的准确解。由于实际计算中总是有舍入误差，所以实际得到的也是近似解。 令一类是迭代法，它首先选择一组初始值，再运用同样的计算步骤，重复计算，得到近似解。由于这类方法中出现了极限过程，必须研究迭代过程的收敛性
41、。 本章主要介绍： 直接法 中的高斯消去法和主元高斯消去法。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议
42、上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方迭代法 中的简单迭代法和塞德尔单迭代法。 3.2 高斯消去法 以 n=4 为例说明高斯消去法的计算过程，设有线性方程组 4444343242141343433323213124243232221211414313212111bxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxabxaxaxaxa(1)44(1)443(1)432(1)42(1)34(1)343(1)332(1)32(1)24(1)223(1)222(1)221414313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxabxaxaxaxa(2)44(2)4
43、43(2)43(2)34(2)343(2)33(1)24(1)223(1)222(1)221414313212111bxaxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa(3)44(3)44(2)34(2)343(2)33(1)24(1)223(1)222(1)221414313212111bxabxaxabxaxaxabxaxaxaxa 经过 3 次消元步骤，得到以上形式。从最后一个方程中解出 x4,依此回代得到方程组的全部解。 6x1+3x2+2x3=6 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解
44、对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方例 2.2.3 用高斯消去法解方程组 10x1+5x2+6x3=0 8x1+5x2+3x3=0 方程组的增广矩阵A|b 6 3 2
45、6 10 5 6 0 8 5 3 0 消元 6.0000 3.0000 2.0000 6.0000 0 0 2.6667 -10.0000 0 1.0000 0.3333 -8.0000 方程组系数矩阵主对角线元素为零，消元过程无法进行! 例 2.2.4 用列主元高斯消去法解例 2.2.3 中的方程组。方程组的增广矩阵A|b 6 3 2 6 10 5 6 0 8 5 3 0 选主元 10 5 6 0 6 3 2 6 8 5 3 0 消元 10.0000 5.0000 6.0000 0 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的
46、解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 0 0 -1.6000 6.0000 0 1.0000 -1.8000 0 选主元 10.0000 5
47、.0000 6.0000 0 0 1.0000 -1.8000 0 0 0 -1.6000 6.0000 消元 10.0000 5.0000 6.0000 0 0 1.0000 -1.8000 0 0 0 -1.6000 6.0000 回代得到方程组的解 5.6250 -6.7500 -3.7500 3.3 矩阵的 LU 分解 3.4 对称矩阵的 LDLT分解 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分
48、等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 3.5 线性方程组解的可靠性 3.6 简单迭代法 设有方程组 Ax=b， 变为迭代形式，x=Mx+f ， 或 x(k+1)=Mx(k)+f， 任取初始值 x(0) 程迭代得到 x(0)，x(1)，x(2) ，x(k) ，若极限
49、*lim(k)kxx 存在，则 x*就是原方程组的解。 以 n=4 为例 4321(k)4(k)3(k)2(k)1444342413433323124232221141312111)(k41)(k31)(k21)(k1ffffxxxxmmmmmmmmmmmmmmmmxxxx x(k+1) M x(k)f 写成分量形式 4(k)444(k)343(k)242(k)1411)(k43(k)434(k)333(k)232(k)1311)(k32(k)424(k)323(k)222(k)1211)(k21(k)414(k)313(k)212(k)1111)(k1fxmxmxmxmxfxmxmxmxmx
50、fxmxmxmxmxfxmxmxmxmx 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用
51、方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方定理 1 若n1jiji1|m|max，则简单迭代法对任意初始值 x(0)和 f 都收敛。 定理 2 若n1iijj1|m|max，则简单迭代法对任意初始值 x(0)和 f 都收敛。 定理 3 迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+f，对任意初始值 x(0)和 f 都收敛的充分必要条件是矩阵 M 的各个特征值的模都小于 1。 2.6 雅可比迭代法与高斯- 塞德尔迭代法 在简单迭代法的基础上作改进 x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f，以 n=4 为例 432143214434332423221413121143212142413231
52、214321ffff)(x)(x)(x)(xm000mm00mmm0mmmm) 1(x) 1(x) 1(x) 1(x0mmm00mm000m0000) 1(x) 1(x) 1(x) 1(xkkkkkkkkkkkkx(k+1) M1 x(k+1)M2 x(k)f 写成分量形式 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章
53、数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方44443431421414343433323213132424323222121214143132121111fk)(xm1)k(xm1)k(xm1)k(xm1)k(xfk)(xmk)(xm1)k(xm1)k(xm1)k(xfk)(xmk)(xmk)(xm1)k(xm1)k(xfk)(xmk)(xmk)(xmk)(
54、xm1)k(x 定理1 若n1jiji1|m|max，则塞德尔迭代法对任意初始值 x(0)和 f 都收敛。 定理 2 若n1iijj1|m|max，则塞德尔迭代法对任意初始值 x(0)和 f 都收敛。 定理 3 迭代公式 x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f，对任意初始值 x(0)和 f 都收敛的充分必要条件是矩阵(I- M1)-1M2的各个特征值的模都小于 1。 松弛法（Successive Over Relaxation Method ）x(k+1)=x(k)+ ( b-A x(k) ) 称为松弛因子， 1 超松弛法， 1 超松弛法， 1 低松弛法。 定理 3 松弛法对任意初
55、始值 x(0)和 f 都收敛的必要条件是 0 2。例 2.6.1 分别用雅可比迭代法和塞德尔则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目
56、的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方迭代法解方程组3103220241225321321321xxxxxxxxx误差 e10-3 雅可比迭代法迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+f, 写成分量形式 3 . 0)(3 . 0)(2 . 0) 1(5)(5 . 0)(25. 0) 1(4 . 2)(2 . 0)(4 . 0) 1(213312321kxkxkxkxkxkxkxkxkx初始值k=0 (0 0 0),迭代过程 x1(k) x2(k) x3(k) x1(k) x2(k) x3(k) -2.4000 5.0000 0.3000-
57、4.0002 3.0031 1.9999 -4.4612 4.2495 2.2802-4.0012 3.0000 2.0010 -4.5558 2.7446 2.4671-4.0002 2.9992 2.0002 -3.9913 2.6275 2.0345-3.9997 2.9998 1.9998 -3.8579 2.9849 1.8865 -3.9713 3.0923 1.9671 -4.0303 3.0237 2.0219 -4.0138 2.9815 2.0132 -3.9952 2.9900 1.9972 -3.9954 3.0026 1.9960 M=0 -0.4 -0.2;0.25
58、 0 -0.5;-0.2 0.3 0 f=-2.4;5;0.3 x=0;0;0 x=M*x+f 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务
59、和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方塞德尔迭代法迭代公式 x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f 写成分量形式 3 . 01)k(0.3x1)k(x2 . 0-1)k(x5k)(x5 . 01)k(x25. 01)k(x2.4k)(0.2xk)(x4 . 01)k(x213312321 取初始值 k=0 (0 0 0),迭代过程 x1(k) x2(k) x3(k) -2.4000 5.0000 0.3000 -4.4000 4.8500 0.3000 -4.0040 3.0766 1.8667 -3.9996 2.9
60、871 2.0238 -4.0000 3.0021 1.9961 -4.0000 2.9997 2.0006 -4.0000 3.0000 2.0000例 2.6.2分 别 用 雅 可 比 迭 代 法 和 塞 德 尔 迭 代 法 解 方 程 组201xxx122111221321误差 e10-3 clear M1=0 -0.4 -0.2;0 0 -0.5;0 0 0 M2=0 0 0;0.25 0 0;-0.2 0.3 0 f=-2.4;5;0.3 x=0;0;0 B= inv(eye(3)-M1) x=B*M2*x+B*f 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截
61、法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方（1）雅可比迭代法迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+f 20
62、1f022101220M 取初始值 k=0 (0 0 0),迭代过程 x1(k) x2(k) x3(k) 1.0000 0 -2.0000 5.0000 -0.9960 0.0080 -1.0080 5.0080 6.0080 -1.0000 5.0000 6.0000 -1.0000 5.0000 6.0000 分析，M 的特征方程0IM3（2）塞德尔迭代法迭代公式 x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f 201f0001002202M0220010001M，不收敛 分析，B = (I- M1)-1 M2 的特征方程0) 44(IB2 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分
63、法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方例 2.6.3 分别用雅可比代法和塞德
64、尔迭代法解方程组024xxx211121112321 误差 e10-3 （1）雅可比迭代法迭代公式 x(k+1)=Mx(k)+f 201f022101220M 分析，M 的特征方程0) 1() 12(IM2，所以简单迭代法不收敛。塞德尔迭代法迭代公式 x(k+1)=M1x(k+1)+ M2x(k)+f 201f0001002202M0220010001M 分析，B = (I- M1)-1 M2 的特征方程0) 15(IB2，收敛 取初始值 k=0 (0 0 0),迭代过程 x1(k) x2(k) x3(k) 2.0000 1.0000 0 1.4980 0.2500 -0.7480 则第章非线
65、性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 2
66、.2490 0.2495 -1.4370 2.5938 0.4216 -1.5939 2.5861 0.5039 -1.5431 2.5196 0.5117 -1.4990 2.4937 0.5027 -1.4917 2.4945 0.4986 -1.4968 2.4991 0.4988 -1.5001 2.5006 0.4997 -1.5006 2.5004 0.5001 -1.5002 本章小结 本章讨论了解线性方程组的直接解法和迭代解法。直接解法比较适用与系数矩阵稠密（既零元素较少）的中、小型线性方程组，但对系数矩阵是带状或近似带状的大型线性方程组也适用。直接解法中的列主元高斯消去法具有
67、精度较高和省时的优点，是计算机中常用的算法。 迭代解法中主要介绍了雅可比迭代法、高斯- 塞德尔迭代法和松弛法。迭代法具有计算公式简单、程序设计容易、占用计算机内存较少的优点。适用于解大型稀疏矩阵（既零元素较多）线性方程组。高斯- 塞德尔迭代法是在雅可比迭代法的基础上改进得到，在很多情况下可以加快收敛速度，但它的收敛域与雅可比迭代法不同，因此不能互相取代。松弛法可以加速迭代过程的收敛速度，但要适当选择松弛因子（0 1.0000 0.0000 -0.7071 0.0000 3.0000 -0.7071 -0.7071 -0.7071 2.0000 消去第 i 行第 j 列的元素i j=1 3 A-
68、 0.6340 -0.3251 0.0000 -0.3251 3.0000 -0.6280 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目
69、的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 0.0000 -0.6280 2.3660 消去第 i 行第 j 列的元素i j=1 2 A- 0.5901 0.0000 -0.0839 0.0000 3.0438 -0.6223 -0.0839 -0.6223 2.3660 消去第 i 行第 j 列的元素i j=1 3 A- 0.5862 -0.0293 0.0000 -0.0293 3.0438 -0.6216 0.0000 -0.6216 2.3700 消去第 i 行第 j 列的元素i j=2 3 A- 0.5862 -0.0252 -
70、0.0150 -0.0252 3.4140 0.0000 -0.0150 0.0000 1.9998 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课
71、程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 消去第 i 行第 j 列的元素i j=1 2 A- 0.5859 0.0000 -0.0150 0.0000 3.4142 0.0001 -0.0150 0.0001 1.9998 4.4 QR 方法* QR 方法是求一般矩阵 A 的全部特征值和特征向量的一种迭代方法。 其基本思路是利用矩阵 A 的 QR 分解，通过迭代格式kk) 1k(kk)k(QRARQA将 A 化为相似的上三角矩阵（或分块上三角矩阵） ，从而求出 A 的全部特征值和特征向量。 例 3.4.1 用 QR 方法求矩阵
72、 210321312A的特征值和特征向量。 特征向量 -0.8165 -0.6215 -0.6760 -0.4082 -0.6215 -0.6760 0.4082 0.4770 -0.2935 特征值 1.00000.69724.3028 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型
73、积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方本章小结 本章介绍了求矩阵的特征值和对应的特征向量的几种方法。幂法可以求出矩阵的主特征值和对应的特征向量，优点是算法简单，但当 |1/2| 1 时，收敛速度很慢。反幂法可以求出矩阵的模最小的特征值和对应的特征向量。 雅可比方法是利用一系列正交相似变换（即平面旋转变换）把实对称矩阵 A 化为对角阵（近似） ，从而求出实对称矩阵全部特征值。 QR 方法是用
74、镜向反射阵将矩阵 A 作 QR 分解，是一种求矩阵的全部特征值的有效方法。 第 5 章 插值与拟合 5.1 引言 已知表格函数 y=f (x) xi x0 x1 x2 xn-1 xn f(xi) y0 y1 y2 yn-1 yn 构造一个公式 p (x) 近似地表示 f (x) ，解决这个问题的方法有两类：一类是插值法，另一类是拟合法，又则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特
75、插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方称为逼近法。已知函数 y=f (x) 在互异点 x0 , x1, x2, , xn-1, xn上的函数值 y0, y1, y2, , yn-1, yn，构造一个函数 p(x)使得 p(xi)= yi这样的问题称为插值问题。y=f (x) 称为被插值函数，
76、x0xn 称为插值区间，p (x) 称为插值函数，x0 , x1, x2, , xn-1, xn称为插值点，在插值区间内部用 p (x) 代替 f (x) 称为内插，在插值区间外部用 p (x) 代替 f (x) 称为外推，R(x)=f(x)-p(x) 称为插值函数 p(x)的误差。 5.2 插值多项式的存在和唯一性 定理：给出 n+1 个插值点及函数值 xi x0 x1 x2 xn-1 xn f(xi) y0 y1 y2 yn-1 yn 求一个 n 次多项式pn(x)=a0+a1x+a2x2+ a nx n 满足插值条件 pn (xi)= yi(i=0,1,2, ,n) 的 n 次插值多项式
77、 pn (x)是唯一的。 5.3 拉格朗日插值多项式 1、给出 2 个插值点 (x0 , y0)，(x1 , y1)可以得到一次多项式 101001011yxxxxyxxxx( x )p 2、给出 3 个插值点 (x0 , y0)，(x1 , y1) ，(x2 , y2)可以得到二次多项式 (x0,y0) (x1,y1) (x ,y ) (x3,y3) (x ,y ) 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值
78、公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方2120210121012002010212y)xx)(x(x)xx)(x(xy)xx)(x(x)xx)(x(xy)xx)(x(x)xx)(x(x(x)p 不难验证 p2(x) 满足插值条件 p2 (x0)= y0p2 (
79、x1)= y1 p2 (x2)= y2 3、给出 n+1 个插值点 (x0 , y0)，(x1 , y1),(xn , yn)可以得到一个 n 次多项式 nn1100n(x)yL(x)yL(x)yL(x)p 其中 )xx()xx)(xx()x()x()xx()x(Ln10KKKnnn(x) 例 5.3.1 按下列表格求 y(-0.5)和 y(0.5)的值。x | 1 2 3 y | 7 1423 解：插值多项式 2x4x232)1)(3(32)1)(x(x143)1)(2(23)1)(x(x73)2)(1(13)2)(x(xy)x)(xx(x)x)(xx(xy)x)(xx(x)x)(xx(xy
80、)x)(xx(x)x)(xx(x(x)L22120210121012002010212 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在
81、第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方L2(-0.5)=0.2500 L2(0.5)=4.2500 例 4.3.2 按下列表格求 y(2.5)、y(4.5)、y(5.5)的值。x | 1 23 4 5 y | 0215 3 解：插值多项式 L4(x)= -0.7917 x4 + 9.25 x3 - 37.21 x2 + 60.75 x - 32 L4(2.5)=0.9180 ,L4(4.5)=6.1323, L4(5.5)=-8.9637 5.4 均差插值公式 已知函数 f(x) 在互异点x0, x1, , xn上的值为f(x0), f(
82、x1), , f(x n) 称) ij (xx)x( f)x( f)x,x( fijijji为函数 f(x) 在点 x i, xj 处的一阶均差。 称) ik(xx)x,x( f)x,x( f)x,x,x( fikjikjkji为函数 f(x) 在点 x i, xj , x k处的二阶均差。 一般地 称0n1n10n21n10xx)x,x,x( f)x,x,x( f)x,x,x( f为函数 f(x) 在点x0, x1, , xn上的 n 阶均差。 牛顿插值公式 Nn(x)= f(x0)+( x- x0) f(x0 ,x1) 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法
83、用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 +( x- x0) ( x- x1)f(x0 ,x1 ,x2)
84、+ +( x- x0) ( x- x1)( x- x n-1)f(x0 ,x1, ,x n) 牛顿插值公式具有递推关系 Nk+1 (x)= Nk (x) + ( x- x0) ( x- x1)( x- x k)f(x0 ,x1, ,x k+1) 新增加一个节点，只需要增加计算一项 ( x- x0) ( x- x1)( x- x k)f(x0 ,x1, ,x k+1) 5.5 差分等距结点插值公式 1、差分 已知函数 f(x) 在等距节点x0, x1, , xn上的值 x x0 x+h x+2h x+nh f(x) y0 y1 y2 yn 称yk=yk+1 yk为函数f(x)在点x k 处的一阶
85、差分。 称2 yk=yk+1 yk为函数f(x)在点x k 处的二阶差分。 一般地 称m yk=m-1yk+1 m-1 yk为函数f(x)在点x k 处的 m 阶差分。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收
86、敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方2、等距结点插值公式 牛顿向前插值公式 0n02000ny! n) 1nt () 1t ( ty! 2) 1t ( ty! 1ty)thx(N 牛顿向后插值公式 0n02000ny! n) 1nt () 1t ( ty! 2) 1t ( ty! 1ty)thx(N 5.6 爱尔米特插值公式 定理：给出 n+1 个插值点上的函数值和导数值 xi x0 x1 x2 xn-1 xn f (xi) y0 y1 y2 yn-1 y
87、n f (xi) y0 y1 y2 yn-1 yn 求一个 2n+1 次多项式 H (x) 满足 H n (xi)= yi ，Hn (xi)= yi(i=0,1,2, ,n)。 )x(By)x(Ay)x(Hin0iiin0ii 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合
88、求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方其中 2ini2nnij0jjiii)x()xx()x(xx1)xx( 21 )x(A 2ini2ni)x()xx()x()x(B 5.7分段低次插值 5.8 三次样条函数 在 xoy 平面上给定 n+1 个点 (x0, y0), (x1, y1), ,(x n, y n)，构造一个函数 S(x) 满足以下条件 （1）S(x i)= y i (i =0,1,2,n
89、) （2） 在区间 (x 0, x n) 内 S(x) 具有连续的二阶导数 （3） 在每个子区间 x i 1, x i上 S(x) （表达式是 S i (x)） 是一个三次多项式。 满足以上条件 S(x) 称为三次样条插值多项式。 三次样条插值多项式的推导 设在子区间 x i 1, x i上 S(x)= S i (x)(i =1,2, ,n) 由条件（1）得 S i (x i-1)= y i 1 ，S i (x i)= y i 设 S(x) 在节点 x i 1处的二阶导数为 M i 1，在节点 x i处的二阶导数为 M i，即 S i (x i-1)= M i 1，S i (x i)= M i
90、，显然 S i (x) 是 x 的线性函数，根据拉格朗日插值公式有则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术
91、会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方i1-ii1 -i1 -ii1-iiiMxxxxMxxxx(x)S，记 x i -x i 1=h i有 ii1 -i1 -iiiiMhxxMhxx(x)S将上式积分两次得到 21i31 -iii3i1 -iiCxCh6)x(xMh6)x(xM(x)S 利用 S i (x i-1)= y i 1 ，S i (x i)= y i 定出积分常数 C1和 C2 i2i12ii1i21i12i1iyCxC6hMyCxC6hM解此方程组得到 )xMxM(6hhxyxyC)MM(6hhyyC1iii1iii1iii1i2i1iii1ii
92、1 代入上式整理后得到 i1i2iiiii2i1i1ii31 -iii3i1 -iihxx)h6My(hxx)h6My(h6)x(xMh6)x(xM(x)S )MM(6hhyyh2)x(xMh2)x(xM(x)Si1iii1iii31 -iii2i1 -ii 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微
93、分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方)MM(6hhyy2hM)(xSi1iii1iiiiii 类似地有)MM(6hhyyh2)x(xMh2)x(xM(x)S1ii1i1ii1i1i3ii1i21ii1i )MM(6hhyy2hM)(xS1ii1i1ii1i1iii1i 因为Si+1(x i)=Si (x i)所以有 i1ii1ii1i1i1ii1ii1iihyyhyy
94、M6hM3hhM6h 整理后得到关于位知数 M0 ,M1, Mn的线性方程组ai Mi-1+ 2 Mi+ bi Mi+1= di (i =1,2,n-1) 其中 )hyyhyy(hh6dhhhbhhhai1ii1ii1i1iii1ii1ii1iiii 边界条件：n-1个方程组，n+1 个位知数，所有需要补充两个条件，常见的是以下两种 （1）给定端点的二阶导数M0=a，Mn=b，特别地，当 a=b=0 时称为自然样条。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭
95、代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方（2）给定端点的一阶导数S (x 0)= a，S (xn)= b，这时有 )hyyb(h6M2M) ahyy(h6MM2n1nnnn1n101110 例 5.7.1 给定插
96、值条件，和两种边界条件 (1) m0=1, m3=0 (2) M0=1, M3=0 x | 0 1 2 3 y | 0 0 0 0 分别求出两种条件下的三次样条插值多项式的表达式。 m0=1, m3=0s1(x)= 0.73333 x3 - 1.7333 x2 + x 0x1s2(x)= -0.2 x3 + 1.0667 x2 - 1.8 x + 0.93333 1x2s3(x)= 0.066667 x3 - 0.53333 x2 + 1.4 x - 1.2 2x3 (2) M0=1, M3=0s1(x)= -0.21111 x3 + 0.5 x2 - 0.28889 x 0x1s2(x)=
97、0.055556 x3 - 0.3 x2 + 0.51111 x - 0.26667 1x2s3(x)= -0.011111 x3 + 0.1 x2 - 0.28889 x + 0.26667 2x3 5.9 曲线拟合的最小二乘法 给出表格函数 xi x0 x1 x2 xn-1 xn f(xi) y0 y1 y2 yn-1 yn 求一个 m(mn) 次多项式为pm(x)=a0+a1x+a2x2+ a mx m 逼近这组数据。pm(x)的系数的确定： 0 1 2 3 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0 1 2 3 0 0.05 0.1 0.15 0.2 则
98、第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软
99、件方nnmnm2n2n1011m1m21211000m0m202010RyxaxaxaaRyxaxaxaaRyxaxaxaa 即 m0jiijijRyxa(i =0, 1, 2, , n) n0im0j2ijijn0i2im10)yxa(R)a,a ,a (由微分学知，使 (a0 , a1 , , am) 达到极小值的 a0 , a1 , , am满足必要条件 n0im0jKiijijKm100x)yxa(2a)a,a,a (K =0, 1, 2, , m) 写成分量形式 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯
100、消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方ninininiimimmimmiminimininininiiimimiiniininininiimimiiyxx
101、axaxaxayxxaxaxaxayxaxaxana00002211000000132210000002210) 1(LLLLLL 正规方程组 解此方程组得到 a0 , a1 , , am即得到所要的多项式。 例 5.8.1 有数据表如下，分别用二次和三次多项式逼近这组数据。x | -3-2-1 0 1 2 3 y | 1 0 00 0 1 2 p1(x)= 0.1786 x + 0.5714 p2(x)= 0.17857 x2 + 0.17857 x - 0.14286 p3(x)= 3.2895*10-17x3+ 0.17857 x2 + 0.17857 x - 0.14286 则第章非线
102、性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 一
103、次多项式逼近误差平方和 2.8214，二次多项式逼近误差平方和 0.1429，三次多项式逼近误差平方和 0.1429。 本章小结 本章介绍了两种构造函数 f(x) 的逼近函数的方法插值法和曲线拟合。 关于插值法， 讨论的是多项式插值， 它要求所构造的多项式函数严格地通过给定的所有数据点。 由 Lagrange插值基函数的讨论，导出了 Lagrange 插值公式及其余项公式。作为对 Lagrange 插值的改进，建立了具有递推性的牛顿插值公式。Hermite 插值是一种在插值节点上插值函数与被插值函数不仅有相同的函数值，而且还有相同的一阶导数值的多项式插值。 由于高次插值会产生龙格现象，因此讨论
104、了分段插值法，重点介绍了三次样条插值公式。 关于曲线拟合，讨论的是曲线拟合的最小二乘法，它不要求所构造的逼近函数严格地通过给定的所有数据点，只是在多项式中，以使得残差的平方和最小为标准，选择多项式，以作为被逼近函数的近似替代。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合
105、求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方本章最后介绍了数值微分，其中 5 点公式是常用的。 第 6 章 数值积分和数值微分 6.1 引言 计算定积分的牛顿- 莱布尼兹公式) a (F) b(Fdx)x( fba，其中 F(x)是函数 f(x) 的原函数。在实际应用中 （1）常遇到某些函数 f(x) 的原函数不能用初等函数表示，例如 sin(x2)，cos(x2), sin(x)/x ，1/log(x)
106、等。 （2）有些函数 f(x) 是用表格形式表示，无法得到它们的原函数。 （3）有些函数 f(x) 的原函数十分复杂，不利于工程上的使用。 因此，要研究计算定积分的近似方法：数值积分。 6.2 牛顿一科特斯型积分公式 由上一章知，任意函数 f(x) 可以用一个拉格朗日插值多项式n(x)近似表示，因此 f(x) 的定积分也可以用n(x) 的定积分近似表示banbadx)x(dx)x( f 以此为基础得到的数值积分公式称为牛顿一科特斯型积分公式。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解
107、线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方nn1100bannba11ba00bann1100banbayAyAyA(x)dxLy(x)dxLy(x)dxLydx(x)yL(x)yL(x)
108、yLdx)x(dx)x( f 其中 baKKn10nnKnKdx)x(LA)xx()xx)(xx()x()x()xx()x(x)L 取 a=x0x1xn=b 为一组等距节点，令 x=a+bt，h=(b-a)/n得到 n0)Kn(banKnbaKKdt)nt () 1Kt)(1Kt () 1t ( t)!Kn( !Kh) 1(dx)x()xx()x(dx)x(LA 记 n0)Kn()n(Kdx)nt () 1Kt)(1Kt () 1t ( t)!Kn( !nK) 1(C， 于 是 )n(KKC) ab(A所 以 得n)n(n1)n(n0)n(0bayCyCyCdx)x( f 对不同的 n 系数如
109、下 n 牛顿一科特斯型积分公式系数 余项（误差） 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被
110、列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方1 1/2，1/2 (梯形公式) (1/12) h3 f(2) ( ) a b 2 1/6，4/6，1/6 （抛物线公式或辛卜生公式） (1/90) h5 f(4) ( ) 3 1/8，3/8，3/8，1/8 (3/80) h5 f(4) ( ) 4 7/90，32/90，12/90，32/90，7/90 （柯特斯公式） (8/945) h7 f(6) ( ) 5 19/288，75/288，50/288，50/288，75/288，19/288 (275/12096) h7f(6) ( ) 6 41/840，216/840，27/840
111、，272/840，27/840，216/840，41/840 (9/1400) h3 f(2) ( ) 6.3 复合求积公式 1、复合梯形公式取 a=x0x1xn=b 为一组等距节点将积分区间a b分为 n 个子区间xkxk-1 x k x k-1= (b-a) / n = h，在每个子区间xkxk-1上应用梯形公式得：)yy(2hdx)x( fk1kxxk1k 于是得到复合梯形公式 y)yyy( 2y2hdx)x( fn1n210ba 2、复合辛卜生公式在积分区间 a b 取点 a=x0x1x2n-1x2n =b 将 a b 分为 2n 个子区间，令 x 2k-2 x 2k= (b-a) /
112、 n = 2h，在每个子区间x 2k-2x 2k 上应用辛卜生公式得： 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工
113、程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方)yy4y(3hdx)x( fk21k22k2xxk22k2 （k=1, 2, , n） 于是得到复合辛卜生公式 yy4y2y2y4y2y4y3hdx)x( fn21n21n243210ba 3、复合柯特斯公式在积分区间 a b 取点 a=x0x1x4n-1x4n =b 将 a b 分为 4n 个子区间，令 x4k-4 x4k= (b-a) / n = 4h，在每个子区间x4k-4x4k 上应用柯特斯公式得： )y7y32y12y32y7(90hdx)x( fk41k41k43k44k4xxk44k4 （k=1, 2
114、, , n） 得到复合柯特斯公式 y7y14y32y12y32y790h4dx)x( fn41n1kk4n1k1k4n1k2k4n1k3k40ba 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微
115、分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方（k=1, 2, , n） 4、步长 h 的自动选择 （1） 复合梯形公式 |T2 n Tn| 3e （e 表示允许误差） 其中 Tn和 T2 n分别表示取 n 和 2n 时用复合梯形公式计算得到的积分近似值。 （2） 复合辛卜生公式 |S2 n Sn| 15e （e 表示允许误差） 其中 Sn和 S2 n分别表示取 n 和 2n 时用复合辛卜生公式计算得到的积分近似值。 （3） 复合柯特斯公式 |C2 n Cn| 63e （e 表示允许误差
116、） 其中 Cn和 C2 n分别表示取 n 和 2n 时用复合柯特斯公式计算得到的积分近似值。 6.4 龙贝格求积公式 1、 梯形公式与辛卜生公式之间的关系 K1KK222242121T141T144S,T141T144ST141T144S 2、辛卜生公式与柯特斯公式之间的关系 K1KK222222224222122221S141S144C ,S141S144CS141S144C 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项
117、式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方3、龙贝格积分公式 K1KK232332234332132331C141C144R,C141C144RC141C144R 6.5 高斯求积公式 一个求积公式，若对于任何次数不超过 m 的多项式都准确成立，则称这个
118、求积公式的代数精确度为 m。 定义： 使插值求积公式11n1kkk)x( fAdx)x( f的代数精确度为 2n-1的节点x1, x2,xn称为高斯点， 对应的插值求积公式称为高斯求积公式。 定理 1：若x1, x2,xn是高斯点，则222nnnn2nndx) 1x(d! n21)x(L)x(L)!n2() ! n(2)x( 定理 2：高斯求积公式的系数恒为正，且有n1kk2k2kk2A)x(L)x1 (2A 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章
119、小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方n 节点 x k(n) 系数 A k(n) 余项（误差）积分区间-1 1 1 0 2 f (2) ( ) /3 1 1 2 0.5773503 +0.5773503 1 1 f (
120、4) ( )/135 3 0.5773503 0 +0.5773503 5/98/9 5/9 f (6) ( )/15750 4 0.8611363 0.3399810 +0.3399810 +0.8611363 0.3478548 0.6521452 0.6521452 0.3478548 f (8) ( )/3472875 5 0.9061799 0.5384693 0 +0.5384693 +0.9061799 0.2369269 0.4786287 0.5688889 0.4786287 0.2369269 f (10) ( )/1237732650 6.6 二重积分的数值积分法 则第
121、章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件
122、方 6.7 数值微分 给出表格函数如下表所示，求f(x) 在节点 f(xi) 处的导数的近似值。 xi x0 x1 x2 xn-1 xn f(xi) y0 y1 y2 yn-1 yn 方法：用插值多项式的导数近似 f(x) 的导数。 三点公式：)y3y4y(h21)x(f)yy(h21)x(f)yy4y3(h21)x(f21022012100)yy2y(h1)x(f)yy2y(h1)x(f)yy2y(h1)x(f210222102121020 三个相邻节点的选法，一般是在所考察的节点两侧各选取一个节点，如果一侧的无节点，则用另一侧的节点补足。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分
123、法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方一阶导数的五点公式)y25y48y36y16
124、y3(h121)x(f)y3y10y18y6y(h121)x(f)yy8y8y(h121)x(f)yy6y18y10y3(h121)x(f)y3y16y36y48y25(h121)x(f43210443210343102432101432100 二阶导数的五点公式)y35y104y114y56y11(h121)x(f)y11y20y6y4y(h121)x(f)yy16y30y16y(h121)x(f)yy4y6y20y11(h121)x(f)y11y56y114y10y35(h121)x(f43210244321023432102243210214321020 五个相邻节点的选法，一般是在所考
125、察的节点两侧各选取两个节点，如果一侧的节点不足两个，则用另一侧的节点补足。 本章小结 本章介绍了四种常用的数值积分方法：梯形公式，辛卜森公式，龙贝格方法和高斯积分公式。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收
126、敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 梯形公式的代数精度虽然比较低，但它对被积函数的光滑性要求也较低，特别是当被积函数是周期函数时，梯形公式是比较理想的方法。 辛卜森具有较高的代数精度，且程序也比较简单，因此是一种广泛使用的方法。 龙贝格方法是一种精度比较高的算法，而且函数求值次数少，所以如果函数性能良好，龙贝格方法是计算机中最常用的方法。 高斯积分公式具有最高的代数精度，计算量小，但当 n 改变时，公式的系数和结点都要改变，需占用较多的存储单元。然而对于
127、广义积分，高斯积分公式具有优越性。 本章最后介绍了数值微分，其中 5 点公式是最常用的。 第 7 章 常微分方程的数值解法 7.1 引言 设有微分方程的初值问题 00y)x( y) y, x( fdxdy 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式
128、高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方常微分方程的数值解是在要研究的区间上，求方程在一系列的点x0,x1, x2,上解的近似值。上述常微分方程的初值问题等价于一个积分方程 xx00dx)x( y, x f)x( y)x( y 若已知点xn上解 y(x) 的函数值 y(xn) 则 1nnxxn1ndx)x( y, x f)x( y)x( y 用不同的方法计算上式中的积分，就可以得到常微分方程的初值问题的不同的数值解法。 7.
129、2 欧拉法和改进的欧拉法 1、欧拉法（矩形公式） yn+1=yn+hf(xn, yn) 2、改进的欧拉法（梯形公式） yn+1=yn+hf(xn, yn)+ f(xn+1, yn+1)/2 00.511.522.533.544.55-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81微 分 方 程 的 解微 分 方 程 的 数 值 解则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式
130、爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方3、预报- 校正公式)y,x( f)y,x( f 2hyy)y,x(hfyy) 0(1n1nnnn1nnnn) 0(1n 4、迭代公式 )y,x( f)y,x( f 2hyy)y,x(hfyy)k(1n1nnnn) 1k(1nnnn) 0(1n
131、7.3 龙格- 库塔方法 设有微分方程的初值问题 00y)x( y) y, x( fdxdy由台劳级数展开式知 )h(O)x(y! kh)x(y! 2h)x(y1h)x( y)hx( y)x( y1kn)k(kn2nnn1n 若令 )x(y! kh)x(y! 2h)x(y1h)x( yyn)k(kn2nn1n 则 y(xn+1) yn+1=O(hk+1) ，即公式是 k 阶方法。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多
132、项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方)ky, hx(hfk)y,x(hfk)kk(21yy1nn2nn121n1n写成更一般的形式)bky,ahx(hfk)y,x(hfkkRkRyy1nn2nn12211n1n 其中R1, R2, a, b 为待
133、定系数， 选择这些系数的原则是在y(xn)=yn的假设下， 使y(xn+1) yn+1的阶尽可能高，为此作台劳级数展开式 k2=hf+ahfx+bk1fy+ = hf+ah2fx+bhk1fy+= hf+ h2(afx+bffy)+ 其中f, fx, fy都是在点（xn, yn）处计算的，省略部分至少含有h3。将k1和k2代入yn+1 yn+1 =yn +R1+R2 =yn +h(R1+R2)f+ h2 (a R2fx+b R2ffy)+ =yn +h(R1+R2)yn+ h2 (a R2fx+b R2fy yn)+(注意：y (xn)= fx+fy yn) 与台劳级数展开式比较，要使y(xn
134、+1) yn+1=O(h3)只需满足 R1+R2 =1，a R2=1/2 ,b R2=1/2 R1, R2, a, b 有各种不同的取法，R1=R2=1/2，a=b=1，即得到梯形公式。无论如何取法，都要计算 2 次 f 值， 截断误差都是 O(h3)，构造出的公式都是 2 阶龙格- 库塔公式。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的
135、最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方根据以上讨论，如果每步计算 3 次 f 值，可以得到截断误差是 O(h4)的 3 阶龙格- 库塔公式 )kbkby, hax(hfk)kby, hax(hfk)y,x(hfkkRkRkRyy232131n3n3121n2n2nn1332211n1n 其中各参数的确定方法与 2 阶龙格- 库塔公式
136、类似。 如果每步计算 4 次 f 值，可以得到截断误差是 O(h5)的 4 阶龙格- 库塔公式 )kbkbkby, hax(hfk)kbkby, hax(hfk)kby, hax(hfk)y,x(hfkkRkRkRkRyy343242141n4n4232131n3n3121n2n2nn144332211n1n 其中一组可得到以下标准 4 阶龙格- 库塔公式 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距
137、结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方)ky, hx(hfk)2ky,2hx(hfk)2ky,2hx(hfk)y,x(hfk)kk2k2k(61yy3nn42nn31nn2nn14321n1n 7.4 线性多步法 1、阿达姆斯开型公式 )y,x( f 9)y,x( f37
138、)y,x( f59)y,x( f5524hyy3n3n2n2n1n1nnnn1n 2、阿达姆斯闭型公式 )y,x( f)y,x( f 5)y,x( f19)y,x( f 924hyy2n2n1n1nnn1n1nn1n 3、阿达姆斯预报- 校正公式 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一
139、科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方)y,x( f)y,x( f 5)y,x( f19)y,x( f 924hyy)y,x( f 9)y,x( f37)y,x( f59)y,x( f5524hyy2n2n1n1nnn) 0(1n1nn1n3n3n2n2n1n1nnnn) 0(1n 公式的截断误差是 O(h5) 线性多步法的一般表达式 yn+1=a0yn+a1yn 1+aryn r
140、+h b 1f(xn+1,yn+1)+b0 f(xn,yn)+br f(xn r,yn r) 若b 1=0 称为显式积分公式，否则，称为隐式积分公式。 “多步”是指在计算yn+1时不但用到了yn还用到了yn 1yn r的值。 “线性”是指yn+1是yn, yn 1yn r和 f(xn+1,yn+1)，f(xn,yn)f(xn r,yn r)的线性函数。 公式中的系数a0，a1，ar和 b 1，b0，b1br可以用台劳展开的方法确定。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组
141、解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 7.5 算法的稳定性与收敛性 7.6 微分方程组和高阶微分方程解法 1、微分方程组的解法（以 2 个方程，标准 4 阶龙格- 库塔公式为例） 0000z)
142、x( z) z , y, x(gdxdzy)x( y) z , y, x( fdxdy 计算公式，以四阶龙格- 库塔方法为例 )mz ,ky, hx(hfm)2mz ,2ky,2hx(hfm)2mz ,2ky,2hx(hfm)z ,y,x(hfm)mm2m2m(61zz)mz ,ky, hx(hfk)2mz ,2ky,2hx(hfk)2mz ,2ky,2hx(hfk)z ,y,x(hfk)kk2k2k(61yy3n3nn42n2nn31n1nn2nnn14321n1n3n3nn42n2nn31n1nn2nnn14321n1n 2、高阶微分方程的解法（以 2 阶方程为例） 则第章非线性方程组的近
143、似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方000022y)
144、x(yy)x( y)y, y, x( gdxyd 化为一阶微分方程组 0000y)x( z) z , y, x(gdxdzy)x( yzdxdy相当于f(x, y, z)=z 本章小结 为了本章介绍了一些常用的解微分方程的数值方法， 由于四阶龙格- 库塔方法是显式的自开始方法， 而且精度较高， 易于改变步长和编制程序， 所以是工程计算中广泛采用的一种方法。 但它也有不足之处，一是每一步要计算四次函数 f(x,y) 的值，计算量较大，二是要求函数 f(x,y) 具有较高的光滑性。若函数 f(x,y) 的光滑性较差，一般不采用四阶龙格- 库塔方法，而采用改进的欧拉方法。 阿达姆斯方法是线性多步法中
145、的一种，它的计算量比四阶龙格- 库塔方法小，但具有同样的精度，对隐式的阿达姆斯公式来说，还具有数值稳定性较好的优点。然而线性多步法都必需借助于其它方法提供开头的几个函数值，所有比较麻烦。 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步
146、法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方 则第章非线性方程组的近似解法引言根的隔离对分法对分法迭代法弦截法弦截法用牛顿法解方程组本章小结第章线性方程组的解法引言高斯消去法矩阵的分解对称矩阵的分解线性方程组解的可靠性简单迭代法本章小结第章矩阵特征拉格朗日插值多项式均差插值公式差分等距结点插值公式爱尔米特插值公式分段低次插值三次样条函数曲线拟合的最小二乘法本章小结第章数值积分和数值微分引言牛顿一科特斯型积分公式复合求积公式龙贝格求积公式高斯求积公线性多步法算法的稳定性与收敛性微分方程组和高阶微分方程解法本章小结第章误差分析与数值计算引言课程任务和目的在第七届国际软件工程学术会议上计算方法被列入应用方法学的研究领域强调了计算方法的研究应用与软件方
