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1、第一章 矢量分析1.4 矢量场的环量和旋度主要内容v环量v旋度v斯托克斯定理学习目的v掌握环量、旋度的物理意义v了解环量、旋度的关系v灵活运用斯托克斯定理求解矢量场（a）M1.4.1 矢量场的环量（环流）矢量场的环量（环流）定义： 矢量场A沿空间有向闭合曲线l的积分称为矢量场A的环量。 表达式：由图(a)可见，环量取决于曲线l的绕行方向。（2）若 ，表示该矢量场为无旋场或保守场； 若 ，表示该矢量场为涡旋场。物理意义：（1）环量用来描述产生该矢量场的旋涡源。（a）旋涡源位于闭合曲线l包围形成的曲面内。M1.4.2 矢量场的旋度矢量场的旋度 如图(b)过点P 作一微小曲面S，它的边界曲线记为l。
2、 则此极限称为矢量场 A 在P 点沿n方向的环量（面）密度或环量强度。该极限值与S的形状无关，但与S的方向n有关。(b)1. 环量密度 若当S 收缩至P 点附近时存在极限2. 旋度定义： 矢量场A在某给定点的旋度用rotA表示为大小：最大的环量密度；方向：取得最大环量密度时的面元方向。旋度的物理意义： 矢量的旋度是描述矢量场A在各点处的旋涡源强度。在直角坐标系下表达式：旋度与环量密度的关系为计算环量面密度的方法 旋度和散度的区别：（1）矢量场的旋度是矢量，散度是标量。（2）旋度描述场中各点的旋涡源强度； 散度描述场中各点的通量源强度。（3）旋度描述的是场分量沿着与它相垂直的各方向上的变化 规律
3、；散度描述的是场分量沿着各自方向上的变化规律。旋度的运算规则：1.4.3 斯托克斯定理斯托克斯定理表达式：式中S为闭合曲线l所包围的曲面。物理含义： 矢量A沿任意闭合曲线l的环量等于以l为边界的曲面S上旋度的面积分。 (c)斯托克斯定理的证明： 对于有限大面积S，可将其按如图(c)方式进行分割，对每一小面积元有 【例1-11】求矢量 （c是常量）沿曲线 的环量。【解】：曲线l是以（2，0）为圆心，R为 半径的圆，故线元环量 方法二： 由斯托克斯定理得 【例】用以下两种方法求矢量场 在点 处沿方向 的环量面密度。 直接应用环量面密度的计算公式； 作为旋度在该方向的投影。 【解】： 矢量 的方向余弦为 矢量场为 由环量面密度公式 将点 代入上式： 在点 处旋度为 方向的单位矢量 在点 处沿 方向的环量面密度为：内容小结 主要概念：v v 主要定理：v斯托克斯定理旋涡源旋涡源环量旋度若环量（旋度）等于零，该矢量场为无旋场或保守场 主要公式v 环量v 旋度v环量面密度v斯托克斯定理 作业：作业：P21 1-18
