线性代数电子教程之四

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1、线线 性性 代代 数数 电子教案之四1第第四四讲讲 逆逆矩矩阵阵与与矩矩阵阵的的分分块块法法主要内容主要内容v可逆矩阵的概念、性质、矩阵可逆的充要条件，可逆矩阵的概念、性质、矩阵可逆的充要条件，以及逆矩阵的求法；以及逆矩阵的求法；v分块矩阵及其运算规律分块矩阵及其运算规律.基本要求基本要求v理解可逆矩阵的概念、性质，熟悉矩阵可逆的充理解可逆矩阵的概念、性质，熟悉矩阵可逆的充要条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵；要条件，会用伴随矩阵求矩阵的逆阵；v知道分块矩阵及其运算规律；知道分块矩阵及其运算规律；v熟悉矩阵的行向量组和列向量组熟悉矩阵的行向量组和列向量组.2一、概念的引入一、概念的引入第第三三节节

2、 逆逆矩矩阵阵给定一个从给定一个从 到到 线性变换线性变换系数矩阵记为系数矩阵记为且记且记则则 可写成可写成问：问：如果线性变换如果线性变换 可逆，那么它的逆变换，从可逆，那么它的逆变换，从 到到 的线性变换是什么的线性变换是什么？3假设从假设从 到到 的线性变换为的线性变换为线性变换线性变换 是线性变换是线性变换 的逆变换，则有的逆变换，则有类似有类似有即即我们把这样的我们把这样的 称为矩阵称为矩阵 的的逆矩阵逆矩阵.4二、逆矩阵的定义和记号二、逆矩阵的定义和记号定义定义说明说明此定义表明只有方阵才可能有逆阵；此定义表明只有方阵才可能有逆阵； 对于对于 阶矩阵阶矩阵 ，如果有一个，如果有一个

3、 阶矩阵阶矩阵 ，使，使则称矩阵则称矩阵 是是可逆的可逆的，并把矩阵，并把矩阵 称为称为 的的逆矩逆矩阵阵，简称，简称逆阵逆阵.如果矩阵如果矩阵 是可逆的，那么它的逆矩阵唯一，是可逆的，那么它的逆矩阵唯一， 因此，我们把矩阵因此，我们把矩阵 的逆矩阵记作的逆矩阵记作 ，即，即若若 则则证明证明5三、方阵可逆的条件定理定理1（必要条件）（必要条件）若矩阵若矩阵 可逆，则可逆，则证证 矩阵矩阵 可逆，可逆，即即所以所以所以有所以有 使使 ，故故定理定理2（充分条件）（充分条件）若若 ，则矩阵，则矩阵 可逆，且可逆，且其中其中 为矩阵为矩阵 的伴随阵的伴随阵.6证证根据伴随阵的性质，有根据伴随阵的性

4、质，有当当 时，有时，有根据矩阵可逆的定义知，矩阵根据矩阵可逆的定义知，矩阵 可逆，且可逆，且7说明说明这两个定理给出了矩阵可逆的一个充要条件：这两个定理给出了矩阵可逆的一个充要条件：矩阵矩阵 可逆可逆定理定理2给出了计算逆矩阵的一个方法：给出了计算逆矩阵的一个方法：1）计算）计算2）计算）计算3）写出）写出根据这个充要条件，可以将定义中的条件改进根据这个充要条件，可以将定义中的条件改进 为为若若则则证明证明8四、例题例例1 求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵.解解所以，所以， 当当 时，有时，有说明说明此例的结果应作为公式记住此例的结果应作为公式记住.9例例2 求方阵求方阵 的逆阵的逆阵

5、.解解 析：这是一个求三阶矩阵的逆矩阵的例子，要析：这是一个求三阶矩阵的逆矩阵的例子，要利用公式利用公式所以所以 存在，再计算存在，再计算 的余子式，的余子式，1011121314得，得， 根据余子式和代根据余子式和代数余子式的关系数余子式的关系15所以所以说明说明利用这个公式求矩阵的逆矩阵，计算量较大利用这个公式求矩阵的逆矩阵，计算量较大, 很容易出错，很容易出错， 为了减少出错为了减少出错 ，先计算，先计算 ， 而不是直接计算而不是直接计算 .验证验证16五、逆矩阵的运算规律若若 可逆，则可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且若若 可逆，数可逆，数 ，则，则 亦可逆，且亦可逆，且若若 为同阶矩阵且

6、均可逆，则为同阶矩阵且均可逆，则 亦可逆，亦可逆， 且且若若 可逆，则可逆，则 亦可逆，且亦可逆，且17六、矩阵方程和矩阵多项式的求法设设 为可逆矩阵，为可逆矩阵，左乘两边左乘两边右乘两边右乘两边左乘两边左乘两边右乘两边右乘两边1. 矩阵方程的求法矩阵方程的求法18例例3 设矩阵设矩阵 满足满足其中矩阵其中矩阵解解由由得得19由于由于得得故故 可逆，且可逆，且于是，于是， 用用 左乘、右乘左乘、右乘 的两边，得的两边，得20 矩阵多项式也是线性代数的重要而基本的内容，矩阵多项式也是线性代数的重要而基本的内容，虽然计算矩阵多项式比较繁，虽然计算矩阵多项式比较繁， 但是如果矩阵比较但是如果矩阵比较

7、特殊，则有一种特殊的计算法特殊，则有一种特殊的计算法.2. 2. 矩阵多项式的求法矩阵多项式的求法21当当 时，时， 则有则有一般地，一般地，22例例4 设设求求其中其中解解所以所以 存在，因此由存在，因此由 得，得，于是于是23又又所以所以再由再由得得 的对角元的对角元24因此因此253. 方阵求幂问题方阵求幂问题方法方法v基本方法：把基本方法：把 通过可逆阵通过可逆阵 与对角阵与对角阵 联系起联系起来，来，v根据所给矩阵根据所给矩阵 ，找出，找出 所满足的关系式所满足的关系式.v从具体计算从具体计算 等等，找出等等，找出 的幂的规律的幂的规律.26例例5 设设求求解解这个结果应当作这个结果

8、应当作公式记住公式记住27求求例例6 设设解解2829例例7 设设为正整数，求为正整数，求解解析：根据此题的特点，要找出析：根据此题的特点，要找出 满足的条件满足的条件.所以所以因此因此30七、小结七、小结v逆矩阵的计算公式：逆矩阵的计算公式：v实数的倒数与矩阵的逆阵的比较：实数的倒数与矩阵的逆阵的比较：实数集合实数集合阶矩阵集合阶矩阵集合v零是唯一一个没有倒数的实数，因而它显得怪异，零是唯一一个没有倒数的实数，因而它显得怪异， 相似地，当相似地，当 时，称矩阵时，称矩阵 为为奇异矩阵奇异矩阵，当，当 时，称矩阵时，称矩阵 为为非奇异矩阵非奇异矩阵.31v矩阵可逆的条件：矩阵可逆的条件：可逆可

9、逆v没有矩阵的除法：其一，有许多矩阵没有逆阵，没有矩阵的除法：其一，有许多矩阵没有逆阵，其二，其二， 不能确定是表示不能确定是表示 ，还是表示，还是表示 （ 为可逆的方阵）为可逆的方阵）.32v伴随阵是一种很重要的矩阵，伴随阵是一种很重要的矩阵， 的伴随阵的伴随阵 继承继承 了了 的许多性质；伴随阵的性质有的许多性质；伴随阵的性质有 33一、分块矩阵的概念第第四四节节 矩矩阵阵分分块块法法 用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种用一些横线和竖线把矩阵分成若干小块，这种“操操作作”称为称为对矩阵进行分块对矩阵进行分块，每一个小块称为，每一个小块称为子块子块；这；这样处理矩阵的方法称为样处理矩阵

10、的方法称为分块法分块法； 矩阵分块后，以子块矩阵分块后，以子块为元素的矩阵称为为元素的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.说明说明分块矩阵只是形式上的矩阵；分块矩阵只是形式上的矩阵；分块法的优越之处是：分块法的优越之处是：把大矩阵的运算化为小矩阵的运算把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利矩阵分块后，能突出该矩阵的结构，从而可利 用它的特殊结构，使运算简化用它的特殊结构，使运算简化.可为某些命题的证明提供方法可为某些命题的证明提供方法.34例如例如得到得到4个子块：个子块：以这些子块为元素，于是，得到以这些子块为元素，于是，得到 的按照这种的按照这种分法的分块矩阵：分法

11、的分块矩阵：这是一个形式上为这是一个形式上为 的分块矩阵的分块矩阵35对对 还可以进行其它分法，如下面的两种分法：还可以进行其它分法，如下面的两种分法：36二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则1. 分块矩阵的加法分块矩阵的加法设矩阵设矩阵 与与 为同型矩阵，采用相同的分法，有为同型矩阵，采用相同的分法，有那么那么说明说明分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加分块矩阵的加法，采用相同分法，对应子块相加.372. 分块矩阵的数乘分块矩阵的数乘设设 为数，对矩阵为数，对矩阵 分块后，得分块矩阵为分块后，得分块矩阵为那么那么说明说明分块矩阵的数乘，数乘每一个子块分块矩阵的数乘，数乘每一个子

12、块.383. 分块矩阵的乘法分块矩阵的乘法设设 为为 矩阵，矩阵， 为为 矩阵，矩阵， 对对 的列的分的列的分法与对法与对 的行的分法相同，分块成的行的分法相同，分块成则则的列数分别等于的列数分别等于的行数，的行数， 那么那么39其中其中说明说明分块矩阵的乘法，对左矩阵的分块矩阵的乘法，对左矩阵的列列的分法与对右矩的分法与对右矩阵的阵的行行的分法相同，再按普通矩阵的乘法的分法相同，再按普通矩阵的乘法.40例例8 设设 求求解解分块法：分块法： 把把 分块成分块成 41则则42因此因此说明说明在计算两个分块乘积时，可以把子块看作在计算两个分块乘积时，可以把子块看作“数数”；把把4阶矩阵的乘积化为

13、阶矩阵的乘积化为2阶矩阵的乘积，即把大矩阶矩阵的乘积，即把大矩 阵的运算化为小矩阵的运算阵的运算化为小矩阵的运算.43例例 设设A为为n阶矩阵，阶矩阵， 矩阵矩阵 ，（1）求证）求证 为矩阵为矩阵 A 的第的第j列；列；（2）若）若 ，求证：，求证： 。44 证证 （1）将）将A按列分块，设按列分块，设 为为A的第的第j列，则列，则（2）将）将A按列分块，则按列分块，则于是于是45如此类推，可得如此类推，可得464. 分块矩阵的转置分块矩阵的转置设对矩阵设对矩阵 分块后，得分块矩阵为分块后，得分块矩阵为那么那么说明说明分块矩阵的转置，把行写成同序号的列，并且每分块矩阵的转置，把行写成同序号的列

14、，并且每个子块转置个子块转置.475. 分块对角阵分块对角阵设设 为为 阶矩阵，可分块成为阶矩阵，可分块成为也就是只有在对角线上有非零子块，其余子块都也就是只有在对角线上有非零子块，其余子块都是零矩阵是零矩阵; 如果在对角线上的子块如果在对角线上的子块都是方阵，那么这样的分块矩阵称为都是方阵，那么这样的分块矩阵称为分块对角阵分块对角阵.说明说明对角阵是分块对角阵的特殊情形，因此分块对角对角阵是分块对角阵的特殊情形，因此分块对角阵有与对角阵相似的性质阵有与对角阵相似的性质.48分块对角阵的性质分块对角阵的性质分块对角阵的行列式分块对角阵的行列式分块对角阵的逆：分块对角阵的逆： 当当 ，即，即 时

15、，有时，有分块对角阵的幂：分块对角阵的幂：49特别注意特别注意例如例如 设设则则50例例9 设设求求解解分块法：分块法： 对对 做如下形式的分块后，得到分块做如下形式的分块后，得到分块对角阵对角阵:51因此因此说明说明由此例可以看出，用分块法把求由此例可以看出，用分块法把求3阶矩阵的逆阵问阶矩阵的逆阵问 题化为求题化为求2阶矩阵的逆阵问题，使计算简便多了阶矩阵的逆阵问题，使计算简便多了.此例显示出，记住此例显示出，记住2阶矩阵的逆阵，是必要的阶矩阵的逆阵，是必要的.52例例10 设设求求解解分块法：分块法： 对对 做如下形式的分块后，得到分块做如下形式的分块后，得到分块对角阵对角阵:因此因此5

16、3由此归纳可得由此归纳可得所以所以54三、几种常见的分块方法三、几种常见的分块方法 在分块矩阵的运算中，特别要注意分块矩阵的乘在分块矩阵的运算中，特别要注意分块矩阵的乘法，法， 运算的可行性取决于两个方面：运算的可行性取决于两个方面：左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；左矩阵的列组数等于右矩阵的行组数；左矩阵子块的列数等于右矩阵相应子块的行数，左矩阵子块的列数等于右矩阵相应子块的行数，在计算矩阵在计算矩阵 与与 相乘时，常相乘时，常见的分块方法有：见的分块方法有：1. 对对 按列分块，同时对按列分块，同时对 作作“最粗最粗”的分块的分块55把把 本身当作一个子块本身当作一个子块说明说明 称为矩阵

17、称为矩阵 的的列向量列向量， 称为称为 的的列列 向量组向量组；矩阵与列向量组一一对应矩阵与列向量组一一对应.应注意，若反过来，对应注意，若反过来，对 按列分块，对按列分块，对 作作“最最 粗粗”的分块，则的分块，则 是无法是无法 进行分块矩阵的乘法进行分块矩阵的乘法.下标表下标表示分块示分块矩阵的矩阵的行块数行块数和列块和列块数，以数，以下相同下相同562. 对对 按行分块，同时对按行分块，同时对 作作“最粗最粗”的分块的分块把把 本身当作一个子块本身当作一个子块57说明说明 称为矩阵称为矩阵 的的行向量行向量， 称为称为 的的 行向量组行向量组；矩阵与行向量组一一对应矩阵与行向量组一一对应

18、.列向量（列矩阵）常用小写黑体字母列向量（列矩阵）常用小写黑体字母 表示，或用希腊字母表示，或用希腊字母 表示表示.行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示行向量（行矩阵）则用列向量的转置表示. 如如583. 对对 按列分块，同时对按列分块，同时对 作作“最细最细”的分块的分块当当 是对角阵时是对角阵时,常用这样的分块常用这样的分块. 做做“最细最细”的的分分块块,即为把每个元素作为一个子块即为把每个元素作为一个子块.说明说明此结论表明，以对角阵右乘此结论表明，以对角阵右乘 的结果是的结果是 的每一的每一列乘以对角阵中与该列对应的对角元列乘以对角阵中与该列对应的对角元.594. 对对 按行分块，同

19、时对按行分块，同时对 作作“最细最细”的分块的分块说明说明此结论表明，以对角阵左乘此结论表明，以对角阵左乘 的结果是的结果是 的每一的每一行乘以对角阵中与该行对应的对角元行乘以对角阵中与该行对应的对角元.当当 是对角阵时是对角阵时,常用这样的分块常用这样的分块. 605. 对对 按行分块，同时对按行分块，同时对 按列分块按列分块 是一个是一个数数说明说明 此结果进一步表明了矩阵相乘的定义此结果进一步表明了矩阵相乘的定义.61证证把把 用列向量表示为用列向量表示为 ，则则因为因为所以所以例例11 设设证明证明62特别地，有特别地，有而而由由和和 为实数，得为实数，得因此因此此题此题的结的结论对论

20、对于复于复矩阵矩阵不成不成立立63例例12 线性方程组线性方程组记记则则 称为称为系数矩阵系数矩阵， 称为称为未知数向量未知数向量， 称为称为常数项向量常数项向量， 称为称为增广矩阵增广矩阵.或者或者64利用矩阵乘法，有利用矩阵乘法，有对对 按列分块，对按列分块，对 作作“最细最细”的分块，有的分块，有对对 按行分块，对按行分块，对 作作“最粗最粗”的分块，有的分块，有65此式相当于把方程组中此式相当于把方程组中每个方程写成每个方程写成66说明说明(2)、(3)、(4)是线性方程组是线性方程组(1)的各种变形，的各种变形， (2)是是 以向量以向量 为未知元的方程，为未知元的方程，(2)的解称

21、为的解称为(1)的解向的解向 量量. 今后，我们将把它们混同使用，并都称为线性今后，我们将把它们混同使用，并都称为线性 方程组或线性方程，而且解与解向量亦不加区分方程组或线性方程，而且解与解向量亦不加区分.67四、小结四、小结v矩阵分块法是矩阵运算的一种技巧矩阵分块法是矩阵运算的一种技巧.其好处有其好处有3点；点；把大矩阵的运算化为小矩阵的运算把大矩阵的运算化为小矩阵的运算.能突出该矩阵的结构，从而可利用它的特殊结能突出该矩阵的结构，从而可利用它的特殊结 构，使运算简化构，使运算简化.可为某些命题的证明提供方法可为某些命题的证明提供方法.v分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则类似；分块矩阵的

22、运算规则与普通矩阵的运算规则类似；v常见的分块法有：按列分块、按行分块、作常见的分块法有：按列分块、按行分块、作“最最 粗粗”分块、作分块、作“最细最细”分块；分块；v分块法求矩阵的逆阵，常用的几个公式为：分块法求矩阵的逆阵，常用的几个公式为：68 证明证明69P54 11.(1)(3)(4) 12.(2)(4)P55 14. 15. 16. 20. 24. 28. 30.作业：作业：70证明证明因为因为 都可逆，所以可以作分块矩阵都可逆，所以可以作分块矩阵于是于是设设根据左矩阵的分块情况，对根据左矩阵的分块情况，对 作相应的分块，作相应的分块，71则有，则有，所以所以72逆矩阵唯一性的证明逆矩阵唯一性的证明证证假设矩阵假设矩阵 可逆，可逆， 都是它的逆矩阵都是它的逆矩阵,则则因此，因此，所以所以 的逆阵是唯一的的逆阵是唯一的.73证明证明 若若则则证证故故因而因而 存在，于是存在，于是74