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1、一、直线和平面垂直的定义：一、直线和平面垂直的定义： A平面的垂线平面的垂线直线的垂面直线的垂面垂足垂足如果一条直线和一个平面相交，并且和这如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的个平面内的任意一条直线任意一条直线都垂直，我们就都垂直，我们就说说这条直线和这个平面垂直这条直线和这个平面垂直.记作记作 Pnm(线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直)一条直线与一个平面内的一条直线与一个平面内的两条相交直线两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直都垂直，则这条直线与该平面垂直. 线不在多线不在多,重在相交重在相交二、直线和平面垂直的判定定理：二、直线和平面垂直的判定定理：(1).若一条直线与一个
2、三角形的两条边垂直，若一条直线与一个三角形的两条边垂直，则这条直线垂直于三角形所在的平面。则这条直线垂直于三角形所在的平面。( )(2).若一条直线与一个平行四边形的两条若一条直线与一个平行四边形的两条边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所边垂直，则这条直线垂直于平行四边形所在的平面。在的平面。( )(3).若一条直线与一个梯形的两腰垂直，若一条直线与一个梯形的两腰垂直，则这条直线垂直于梯形所在的平面。则这条直线垂直于梯形所在的平面。 ( ) 判断下列命题是否正确？判断下列命题是否正确？想一想想一想例例1:如图如图A为为BCD所在平面外一点，所在平面外一点，AC=AD，BC=BD，E为为CD中点
3、。中点。 求证求证:CD面面ABEABCDEBCPDAFE例例2:垂直于同一个平面的两条直线平行垂直于同一个平面的两条直线平行.三、直线和平面垂直的性质定理：三、直线和平面垂直的性质定理：ab 平面的一条斜线平面的一条斜线和它在平面上的射影和它在平面上的射影所成的锐角，叫做所成的锐角，叫做这这条直线和这个平面所条直线和这个平面所成的角成的角。简称。简称线面角线面角1、一条直线垂直与平面，它们、一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角所成的角是直角；2、一条直线和平面平行，或在平面内，它们、一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是所成的角是0 的角的角。规定：规定：二、平面的斜线和平面所成的
4、角：二、平面的斜线和平面所成的角：1、直线直线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围是：的取值范围是： 2、斜线斜线与平面所成的角与平面所成的角的取值范围是：的取值范围是：3、两异面直线两异面直线所成的角所成的角的取值范围是：的取值范围是：思思 考考 题：题：AGFEDCBHHC与平面与平面ABCD 所成的角是？所成的角是？BG和和EA与平面与平面ABCD所成的角所成的角 分别是？分别是？GBC与与EABHCDEC和和EG与平面与平面ABCD所成的角分别是？所成的角分别是？ACE练习练习:正方体正方体ABCDEFGH中中线面角的计算小结线面角的计算小结:1、找出或作出线面角找出或作出线面角;2
5、、证明（证明（1）中的角就是所求的角中的角就是所求的角;3、求出此角的大小。求出此角的大小。一一“作作”二二“证证”三三“求求”步骤步骤: : 关键关键：确定斜线在平面内的：确定斜线在平面内的射影射影.特例：四面体特例：四面体P-ABC的顶点的顶点P在平面上的射影在平面上的射影O(1)P到三顶点距离相等到三顶点距离相等 0是是 ABC的外心的外心 (3)P到三边到三边AB、BC、AC距离相等距离相等 0是是 ABC的内心的内心 (2)对棱相互垂直对棱相互垂直 0是是 ABC的垂心的垂心PA、PB、PC两两垂直两两垂直AECBDOBA AB 从一条直线出发的两个半平面所组从一条直线出发的两个半平
6、面所组成的图形叫做成的图形叫做二面角二面角。这条直线叫做这条直线叫做二面角的棱二面角的棱。这两个半平面叫做这两个半平面叫做二面角的面二面角的面。1、二面角的定义：、二面角的定义：AB lABCDABCEFD3、二面角的表示方法：、二面角的表示方法：点点1棱点棱点2二面角二面角 AB 二面角二面角 l 二面角二面角CAB D二面角二面角CAB E面面1棱面棱面2二、二面角的平面角二、二面角的平面角:1、二面角的平面角的定义：、二面角的平面角的定义： 以二面角的以二面角的棱棱上任意上任意一点为端点，在一点为端点，在两个半平两个半平面内面内分别作分别作垂直垂直于棱的两于棱的两条射线，这两条射线所成条
7、射线，这两条射线所成的的角角叫做叫做二面角的平面角二面角的平面角。B。OAB1。O1A1定义一：定义一：2、二面角的平面角的大小：、二面角的平面角的大小：二面角的大小可以用它的二面角的大小可以用它的平面角平面角来度量来度量即二面角的平面角是多少度，就说这个即二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度二面角是多少度 二面角的两个面重合：二面角的两个面重合： 0o 二面角的两个面合成一个平面：二面角的两个面合成一个平面：180o二面角的平面角的范围：二面角的平面角的范围： 平面角是直角的二面角叫直二面角平面角是直角的二面角叫直二面角方法方法1如图，点如图，点A在二面角在二面角-l-的半平面的半
8、平面上一上一点，过点点，过点A如何作出二面角如何作出二面角-l-的平面的平面角？角？-“定义法定义法”OB lA3、二面角的平面角的求法、二面角的平面角的求法:由定义知：过由定义知：过A作作 交交l于于O,在面在面内作内作 则则AOB为所求的角。为所求的角。 如图，点如图，点A在二面角在二面角-l-的半平面的半平面上一上一点，过点点，过点A如何作出二面角如何作出二面角-l-的平面的平面角？角？-“垂面法垂面法”3、二面角的平面角的求法、二面角的平面角的求法:方法方法2 lABO过过A作平面作平面 分别分别交交 于于OA,OB,则则AOB为所求的角。为所求的角。 如图，点如图，点A在二面角在二面
9、角-l-的半平面的半平面上一上一点，过点点，过点A如何作出二面角如何作出二面角-l-的平面的平面角？角？-“垂线法垂线法”3、二面角的平面角的求法、二面角的平面角的求法:方法方法3 lABO过过A作作 交于交于B,再过再过A作作 交于交于O连结连结OB,则则AOB为所求的角。为所求的角。 例例1:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，找出中，找出下列二面角的平面角：下列二面角的平面角：(1)二面角二面角D-AB-D和和A-AB-D；(2)二面角二面角C-BD-C和和C-BD-A.BACDABCD例例1:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，找出中，找出下列二面角的平面角：下列二面角的平面角：(
10、1)二面角二面角D-AB-D和和A-AB-D；(2)二面角二面角C-BD-C和和C-BD-A.BACDABCD例例1:在正方体在正方体ABCD-ABCD中，找出中，找出下列二面角的平面角：下列二面角的平面角：(1)二面角二面角D-AB-D和和A-AB-D；(2)二面角二面角C-BD-C和和C-BD-A.BACDABCDO一、两个平面垂直的定义一、两个平面垂直的定义:如果两个平面所成的二面角是直角如果两个平面所成的二面角是直角(即成直二面角即成直二面角)，就说这两个平面，就说这两个平面互相垂直互相垂直线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直如果一个平面经过了另一个平面的一如果一个平面经过
11、了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直条垂线，那么这两个平面互相垂直.lA线面垂直，则面面垂直线面垂直，则面面垂直符号符号: :二、两个平面垂直的判定定理二、两个平面垂直的判定定理: E、F分别是分别是AB、BC的中点，的中点， 求证求证: 平面平面A1C1FE平面平面B1D例例1:在正方体在正方体ABCDA1B1C1D1中中, 求证求证:平面平面A1C平面平面B1D ACDA1C1D1E FB1G是是BB1的中点的中点求证求证:平面平面A1C1G平面平面B1D GGGG三、两个平面垂直的性质定理三、两个平面垂直的性质定理:1.如果两个平面垂直，则在一个平面如果两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面一个平面.为作辅助线提为作辅助线提供了理论依据供了理论依据例例2:已知已知PA平面平面ABC,平面平面PAB平面平面PBC，求证：，求证：BC平面平面PABPABCE证明：过点证明：过点A作作AEPB，垂足，垂足为为E，平面平面PAB平面平面PBC， 平面平面PAB平面平面PBC=PB，AE平面平面PBCBC 平面平面PBC AEBCPA平面平面ABC，BC 平面平面ABCPABCPAAE=A，BC平面平面PAB
