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1、第九章 压杆稳定问题压杆压杆9.1 9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆稳定的概念第第9章章 压杆稳定问题压杆稳定问题压杆压杆工程实例工程实例9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念第第9 9章章 压杆稳定问题压杆稳定问题9.1 9.1 概念概念工程实例工程实例桁架压杆桁架压杆工程实例工程实例9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念工程实例工程实例9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念压杆失稳压杆失稳失稳：失稳：对细长压杆，当作用于其上的轴向压力达到或对细长压杆，当作用于其上的轴向压力达到或超过某一极限值时，杆会突然产生侧向弯曲而失去直超过某一极限值时，杆会突然产生侧向弯曲而失去直线平
2、衡，这种现象称为线平衡，这种现象称为压杆丧失稳定性压杆丧失稳定性，简称，简称失稳失稳。9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念稳定平衡稳定平衡处于平衡形态处于平衡形态压杆受到横向干扰力作用时将变成曲线杆，但是压杆受到横向干扰力作用时将变成曲线杆，但是卸卸除除扰动扰动载荷载荷后后曲线恢复成原来的直线平衡形态曲线恢复成原来的直线平衡形态。FPFPFPFcr 临界压力：临界压力：使压杆由使压杆由直线稳定平衡直线稳定平衡过渡到过渡到不稳定平衡不稳定平衡的极限压力值。记为的极限压力值。记为F Fcrcr。9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念 失稳现象不局限于杆件，在多种结构上都会发失稳现象不局限于杆件，在多
3、种结构上都会发生，且有多种形式。生，且有多种形式。9.1 压杆稳定的概念压杆稳定的概念假定假定 F Fp p F Fcrcr , , 根据局部平衡条件：根据局部平衡条件：M (x) = -FP w (x)9.2 9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力细长杆的临界压力细长杆的临界压力1 1 两端铰支细长杆的临界压力两端铰支细长杆的临界压力两端铰支细长杆的临界压力两端铰支细长杆的临界压力第第9章章 压杆稳定问题压杆稳定问题该微分方程的通解为该微分方程的通解为w =Asinkx + Bcoskx边界条件边界条件w ( 0 ) = 0 , w( l ) = 0若若A A=0=0，则有，则有因此只有因
4、此只有9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力保持曲线平衡的压力值保持曲线平衡的压力值保持曲线平衡的压力值保持曲线平衡的压力值上式也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。上式也称为两端铰支细长压杆的欧拉公式。9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力最小临界载荷最小临界载荷失稳的挠曲线函数为失稳的挠曲线函数为这里这里A A是待定常数。是待定常数。9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力 前面在两端铰支压杆两端受压的假设下，导出前面在两端铰支压杆两端受压的假设下，导出了欧拉方程。了欧拉方程。 实际上轴向受压杆的支座形式可以有多种，支实际上轴向受压杆的支座形式可以有多种，支座的形式将极大地影响临界荷载的大
5、小。座的形式将极大地影响临界荷载的大小。 两端铰支细长杆的变形与两端非铰支细长杆的两端铰支细长杆的变形与两端非铰支细长杆的变形进行分析对比，确定两端非铰支细长杆的临界变形进行分析对比，确定两端非铰支细长杆的临界载荷。载荷。2 2 两端非铰支细长杆的临界压力两端非铰支细长杆的临界压力两端非铰支细长杆的临界压力两端非铰支细长杆的临界压力9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力两端铰支两端铰支9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力一端固定一端自由一端固定一端自由9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力两端固定两端固定9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力一端固定一端铰支一端固定一端铰支9.2 细
6、长杆的临界压力细长杆的临界压力不同支座条件下的欧拉方程；不同支座条件下的欧拉方程； 这里这里l 是是有效长度有效长度. 称作称作长度因数长度因数.9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力0.5l不同约束条件下细长压杆的欧拉方程不同约束条件下细长压杆的欧拉方程支座形式支座形式两端铰支两端铰支一端固定一端固定一端铰支一端铰支两端固定两端固定一端固定一端固定一端自由一端自由两端固定两端固定但可横向移动但可横向移动失稳时变失稳时变形的曲线形的曲线FpcrABlFPcr=1 0.7=0.5=2=1FPcrABlFPcrABl0.7lCCDC 挠曲挠曲线拐点线拐点C、D 挠挠曲线拐点曲线拐点0.5lFpc
7、rFPcrl2llC 挠曲线拐点挠曲线拐点9.2 细长杆的临界压力细长杆的临界压力临界应力临界应力 从前面的讨论可知从前面的讨论可知若若若若 则则 定义定义第第9章章 压杆稳定问题压杆稳定问题9.3 9.3 临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图问题问题?欧拉公式可用于计算欧拉公式可用于计算图中各杆的临界载荷图中各杆的临界载荷吗吗? ? 4根杆的材料和直径相同。根杆的材料和直径相同。所有的杆都会发生失所有的杆都会发生失稳吗稳吗? ? 9.3 临界应力总图临界应力总图回转半径或称回转半径或称惯性半径惯性半径柔度或细长比柔度或细长比根据细长比划分压杆类型根据细长比划分压杆类型9.3 临界
8、应力总图临界应力总图给出了长度、约束条件、尺寸和截面形式对临给出了长度、约束条件、尺寸和截面形式对临界载荷的综合影响。界载荷的综合影响。根据长细比将压杆分成三类根据长细比将压杆分成三类. .柔度或细长比柔度或细长比9.3 临界应力总图临界应力总图柔柔 度度影响压杆承载能力的综合指标。影响压杆承载能力的综合指标。压杆分类压杆分类压杆分类压杆分类大柔度杆大柔度杆 当当 p杆件会发生弹性失稳杆件会发生弹性失稳. . 中柔度杆中柔度杆 当当当当 s s p p杆件会发生非弹性失稳杆件会发生非弹性失稳杆件会发生非弹性失稳杆件会发生非弹性失稳。小柔度杆小柔度杆 当当 s 杆件会发生屈服现象杆件会发生屈服现
9、象. . 9.3 临界应力总图临界应力总图从弹性屈曲出发从弹性屈曲出发从弹性屈曲出发从弹性屈曲出发 p p比例极限比例极限比例极限比例极限欧拉公式的适用范围欧拉公式的适用范围9.3 临界应力总图临界应力总图得：得：取等号，得满足欧拉公式的最小柔度：取等号，得满足欧拉公式的最小柔度：取等号，得满足欧拉公式的最小柔度：取等号，得满足欧拉公式的最小柔度：对于常用的对于常用的A A3 3钢，弹性模量钢，弹性模量 比例极限比例极限 则有：则有： 用用A A3 3钢制成的压杆，只有钢制成的压杆，只有大柔度杆，可采用欧拉公式。大柔度杆，可采用欧拉公式。9.3 临界应力总图临界应力总图临界应力的经验公式临界应
10、力的经验公式为中柔度杆（也称中长杆）。为中柔度杆（也称中长杆）。中柔度杆件用经验公式：中柔度杆件用经验公式： 对于对于A A3 3钢钢 用用A A3 3钢制成的压杆，只有在钢制成的压杆，只有在 时，压杆时，压杆属于中柔度杆件，用经验公式计算。属于中柔度杆件，用经验公式计算。 对于小柔度压杆即：对于小柔度压杆即： ，属于强度问题。可由压，属于强度问题。可由压杆强度条件确定。即：杆强度条件确定。即：9.3 临界应力总图临界应力总图土木工程常采用的经验公式土木工程常采用的经验公式 ：三类压杆的临界应力公式三类压杆的临界应力公式三类压杆的临界应力公式三类压杆的临界应力公式大柔度杆大柔度杆中柔度杆中柔度
11、杆小柔度杆小柔度杆极限荷载9.3 临界应力总图临界应力总图临界应力总图临界应力总图（大柔度杆）（中柔度杆）（小柔度杆）9.3 临界应力总图临界应力总图细长杆细长杆细长杆细长杆中长杆中长杆中长杆中长杆 粗短粗短粗短粗短杆杆杆杆1 1 安全因数法安全因数法安全因数法安全因数法nw nst工作安全因数工作安全因数这里这里临界应力临界应力临界应力临界应力工作应力工作应力工作应力工作应力9.4 9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计第第9章章 压杆稳定问题压杆稳定问题在强度问题中，杆件满足强度校核的条件：在强度问题中，杆件满足强度校核的条
12、件： 。用安全系数的方法，即用安全系数的方法，即: :n nns，满足杆件的强度条件。，满足杆件的强度条件。对于压杆的稳定性，则：对于压杆的稳定性，则：从相关的工程规范、手册中可以找到。从相关的工程规范、手册中可以找到。2 折减因数法折减因数法 称为折减因数。称为折减因数。使用该公式校核和设计压杆的使用该公式校核和设计压杆的方法称为方法称为折减因数法折减因数法。9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计为了计算上的方便，将临界应力的容许值写成下列形式：为了计算上的方便，将临界应力的容许值写成下列形式： 决定于决定于crcr与与n nstst。由于临界应力。由于临界应力crcr值随
13、压杆的长细值随压杆的长细比而改变；而不同长细比的压杆一般又规定不同的稳比而改变；而不同长细比的压杆一般又规定不同的稳定安全因数，所以折减系数定安全因数，所以折减系数 是长细比是长细比的函数。的函数。 此方法又称为实用计算方法。此方法又称为实用计算方法。 压杆稳定计算压杆稳定计算压杆稳定计算压杆稳定计算举例举例例例1 1 两端铰支压杆的长度两端铰支压杆的长度l=1.2m=1.2m ，材料为，材料为，材料为，材料为 A A A A3 3 3 3钢，其钢，其钢，其钢，其弹性模量弹性模量弹性模量弹性模量E=200Gpa E=200Gpa E=200Gpa E=200Gpa ，已知截面的面积，已知截面的
14、面积，已知截面的面积，已知截面的面积 A=900mmA=900mmA=900mmA=900mm。若截。若截。若截。若截面的形状分别为正方形、圆形、面的形状分别为正方形、圆形、面的形状分别为正方形、圆形、面的形状分别为正方形、圆形、h=2b=42mmh=2b=42mmh=2b=42mmh=2b=42mm的矩形和的矩形和的矩形和的矩形和 d/D=0.7d/D=0.7d/D=0.7d/D=0.7的空心圆管，试分别计算各杆的临界力。的空心圆管，试分别计算各杆的临界力。的空心圆管，试分别计算各杆的临界力。的空心圆管，试分别计算各杆的临界力。 解：解： 9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理
15、设计举例举例例例1 1解：解： 大柔度杆大柔度杆 中柔度杆中柔度杆 9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计压杆稳定计算压杆稳定计算压杆稳定计算压杆稳定计算举例举例例例1 1解：解： 9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计 例例例例2 2 2 2 图示结构中图示结构中ACAC与与CDCD杆均用杆均用3 3号钢制成，号钢制成，C C、D D两处两处均为球铰。巳知均为球铰。巳知d d20mm20mm，b b100mm100mm，h h180mm180mm，E E200GPa200GPa，s s235MPa235MPa，b b400MPa400MPa，强度安全系数，
16、强度安全系数n n2.02.0，稳定安全系数，稳定安全系数n nstst3.03.0。试确定该结构的。试确定该结构的最大许可荷载。最大许可荷载。 解：解：受弯杆受弯杆 举例举例9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计 例例例例2 2 2 2解：解：受压杆受压杆 大柔度杆大柔度杆 比较，最后得：比较，最后得： 举例举例9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计例例9-3 9-3 图示结构由两个圆截面杆图示结构由两个圆截面杆组成，已知二杆的直径组成，已知二杆的直径d d及所用材及所用材料均相同，且二杆均为大柔度杆，料均相同，且二杆均为大柔度杆，问：当问：当F F( (
17、其方向垂直向下其方向垂直向下) )从零开从零开始增加时，哪根杆首先失稳？始增加时，哪根杆首先失稳？ 解：由平衡条件解：由平衡条件 解得：解得：由由由由ABABABAB杆的稳定性：杆的稳定性：杆的稳定性：杆的稳定性：举例举例9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计解：由平衡条件解：由平衡条件 由由由由ABABABAB杆的稳定性：杆的稳定性：杆的稳定性：杆的稳定性：由由由由BCBCBCBC杆的稳定性：杆的稳定性：杆的稳定性：杆的稳定性：BCBCBCBC杆先失稳杆先失稳杆先失稳杆先失稳举例举例9.4 压杆的稳定计算及合理设计压杆的稳定计算及合理设计 我们将杆件分成三类，分别是细长杆、
18、中长杆和我们将杆件分成三类，分别是细长杆、中长杆和短粗杆，三者之中细长杆是最容易失稳的。短粗杆，三者之中细长杆是最容易失稳的。细长杆的临界载荷公式为细长杆的临界载荷公式为它与有效长度、约束条件、截面几何形式和材它与有效长度、约束条件、截面几何形式和材料有关。料有关。因此如果想提高压杆的稳定性，应该关注这些因素。因此如果想提高压杆的稳定性，应该关注这些因素。3 3 压杆的合理设计压杆的合理设计压杆的合理设计压杆的合理设计9.4 压杆的稳定实用计算及合理设计压杆的稳定实用计算及合理设计1.1.减小压杆的长度：减小压杆的长度： 从柔度的计算式从柔度的计算式 知，杆长与柔度成正比知，杆长与柔度成正比。
19、杆长越小杆的柔度也越小，杆件的稳定性也越杆长越小杆的柔度也越小，杆件的稳定性也越好。好。若客观条件的限制，杆长不能减小，杆件的稳定性若客观条件的限制，杆长不能减小，杆件的稳定性又达不到要求，则可考虑在杆件中部增加支座，这又达不到要求，则可考虑在杆件中部增加支座，这就把一根杆变成了两根杆，相当于减小了杆长，提就把一根杆变成了两根杆，相当于减小了杆长，提高了压杆的稳定性。高了压杆的稳定性。 2. 2. 强化压杆的约束形式强化压杆的约束形式 从上式可知，根据稳定性，固定端优于固定铰，固从上式可知，根据稳定性，固定端优于固定铰，固定铰优于可动铰，可动铰优于自由端。定铰优于可动铰，可动铰优于自由端。 9
20、.4 压杆的稳定实用计算及合理设计压杆的稳定实用计算及合理设计提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施提高压杆稳定性的措施3. 3. 选择合理的横截面形状选择合理的横截面形状 临界压力临界压力F Fcrcr于截面的惯性矩于截面的惯性矩I I成正比成正比，同截面上同截面上的临界压力则由的临界压力则由I I值小的一侧决定。故选同面积下值小的一侧决定。故选同面积下I I较较大，且截面各方向大，且截面各方向I I值接近的截面形状较为合理。值接近的截面形状较为合理。9.4 压杆的稳定实用计算及合理设计压杆的稳定实用计算及合理设计压杆的合理设计：压杆的合理设计：（1 1）合理选择截面形
21、状。）合理选择截面形状。（2 2）合理选择约束和杆长。）合理选择约束和杆长。（3 3）合理选择材料。）合理选择材料。9.4 压杆的稳定实用计算及合理设计压杆的稳定实用计算及合理设计减小长度、增强约束减小长度、增强约束9.4 压杆的稳定实用计算及合理设计压杆的稳定实用计算及合理设计第第9 9章章 压杆稳定压杆稳定 结论与讨论结论与讨论第第9 9章章 压杆稳定压杆稳定结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 关于临界应力公式关于临界应力公式 稳定与强度、刚度问题的比较稳定与强度、刚度问题的比较 影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素第第9 9章章 压杆稳定压杆稳定结论与讨论结论与讨论结论与讨
22、论结论与讨论 关于关于欧拉欧拉临界力公式临界力公式( l)22EIFP cr = =I 如何确定如何确定 ？第第9 9章章 压杆稳定压杆稳定结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 关于关于欧拉欧拉临界力公式临界力公式( l)22EIFP cr = =I 如何确定如何确定 ？第第9 9章章 压杆稳定压杆稳定结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 分析小孔对分析小孔对图示压杆的强度图示压杆的强度和稳定临界力的和稳定临界力的影响影响 稳定与强度、刚度问题的比较稳定与强度、刚度问题的比较第第9 9章章 压杆稳定性压杆稳定性结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素第第9 9章章 压杆稳定性压杆稳定性结论与讨论结论与讨论结论与讨论结论与讨论 影响压杆承载能力的因素影响压杆承载能力的因素分析有几种失稳可能；分析有几种失稳可能；每种情形下的欧拉每种情形下的欧拉临临界力如何计算？界力如何计算？本章完本章完
