流体力学教学资料

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1、 第三章 理想不可压缩流体 动力学基础 第一节 描述流体运动的两种方法1流体运动的描述方法 通过给出物理量在不同流体质点之间的变化规律，以及它们在流体质点上随时间的变化规律来描述流动，是质点-时间描述法。a拉格朗日(Lagrange)法质点的空间位置a, b, c - t = t0 时刻质点所在的空间位置坐标， 称为拉格朗日变量，用来指定质点。t - 时间变量。 求速度与加速度较容易, 仅对时间进行一阶或二阶偏导即可。 u=x/t=u(a,b,c,t) ax= 2x/2t= u/t v=y/t=v(a,b,c,t) ay= 2y/2t= v/t w=z/t=w(a,b,c,t) az= 2z/

2、2t= w/t 通过给出物理量在流动区域的空间分布规律和它们随时间的变化规律来描述整个流动，是空间-时间描述法。b欧拉(Euler)法x=(x, y, z) -欧拉变量，指定空间位置。是一种场的描述。或2质点加速度与质点导数质点加速度 - 质点速度矢量对时间的变化率。V0V1设任意时刻，一流体质点通过空间点：局部加速度对流加速度质点的加速度包括两个部分：(1)局部加速度(时变加速度) 特定空间点上速度对时间的 变化率； (2)对流加速度 对应于质点空间位置改变所产生的 速度变化。质点导数 - 质点物理参数对时间的变化率。物理参数的物理参数的质点导数质点导数 = = 局部导数局部导数 + + 对

3、流导数对流导数例例3流动的分类定常流动 - 流动参数不随时间变化的流动。非定常流动 - 流动参数随时间变化的流动。所有物理参数的局部导数等于零定常流动时 ，但并不一定有 ,所以当时，流体质点仍可能有加速度。例例 盛在一个等角速度旋转圆柱形容器 中的流体是在做定常运动，质点速度 的局部导数为零，但对流加速度并不 为零，它就是流体质点的向心加速度。zpa例例 变截面管道中做定常流动的 流体，质点速度的局部导数 为零，但对流导数也不为零。 因为当流体质点通过面积不 同的管截面时其速度是不同 的。x一元流动： 二元流动：三元流动：一维流动河流直管道Z 方向无限长二维流动三维流动xy0(8,6)例 质点

4、沿直线以速度V=3 (m/s) 运动, 求质点在(8,6)点的加速度。 ax=u/t+uu/x+vu/y=0+3x3+3y0=9x=72m/s2ay= v/t+uv/x+vv/y=0+3y0+3y3=9y=54m/s2 解:u=Vcos=3 =3xv=3y例 试求点 (1, 2 , 3) 处流体加速度的三个分量解:ax= 0+x2y(2xy)-3y(x2)+2z2(0) = 2x3y2-3x2y = 2ay= 0+x2y(0)-3y(-3)+2z2(0) = 9y = 18az= 0+x2y(0) 3y(0) +2z2(4z) = 8z3 = 216 第二节 迹线、流线与流管1迹线、流线与脉线

5、流线 -流场空间中处处与速度 矢量相切的曲线。迹线 - 流体质点的 运动轨迹线。流线具有瞬时性，图中速度矢量V1、V2、V3就是同一个瞬间处于流场不同空间位置上的流体质点速度。在任意一个瞬间，流场中都存在着无数条流线。流线一般不相交，因为在特定时刻过一点的速度矢量只能有一个特定的方向。 图中所示的迹线就是一个特定的流体质点在t1、t2、t3、t4等不同时刻所经过的路径。由于流体是由无数个流体质点组成的，每个质点都有自己的运动轨迹，因此在一个流场中可以做出很多条迹线。 相续通过流场同一空间点的流体质点所连成的曲线又称为脉线。 在实验中经常通过在水流中的一些特定点连续注入染色液体或者在气流中的特定

6、点连续施放烟气的方式来演示流场，染色液体或者烟气所形成的曲线是脉线。 在定常流动中，通过同一空间点的所有流体质点具有相同的运动轨迹，而且它们沿着流线行进，所以染色线或者烟线同时也是流线和迹线。在非定常流动中，脉线与流线和迹线都不重合，所以此时不能把染色线或烟线当成流线和迹线。 设 ds =dxi+dyj+dzk 为流线上 A 点的一微元弧长V2V1V3V4V = ui+vj+wk 为流体质点在 A 点的流速。速度矢量 V 与微元弧长 ds 相平行，所以流线方程dsVA对应分量成比例迹线 方程：或者解解 由流线是xoy平面上的一簇通过原点的直线。由第二式积分后得到： xy例例 已知流场速度为其中

7、 c 是常数，求流线方程。积分后得： 或者得例例 已知流动 u = x + t , v = -y + t , w = 0 , (1)求 t = 0 时，过点 M (-1，-1 , 0) 的流线； (2)求 t = 0 时，过点 M (-1，-1 , 0) 的迹线。解解 (1)由流线方程 得积分后得到：将 t = 0，x = -1，y = -1, z = 0 代入，得瞬时流线xy或者是一族空间曲线，也就是流线。是双曲线。在非定常流动中，流线具有瞬时性。(2)迹线方程可以写为积分后得到： 迹线表达式 将 t = 0，x = -1，y = -1, z = 0 代入，得到消去前两个方程中的时间变量 t

8、 ，最后得到：平面 z = 0 上过点 (-1, -1) 的一条直线。 xy一般情况下流线与迹线不重合。 在定常流动中(所有的物理参数均不随时间变量变化) 流体质点沿着流线运动， 流线与迹线重合。流管 - 由流线组成的管状曲面。由于流管的“管壁”是由流线构成的，因而流体质点速度总是与“管壁”相切，不会有流体质点穿过“管壁”流入或者流出流管。流管内的流体就像是在一个真实的管子里流动一样：从一端流入，从另一端流出。在非定常流动中，由于流线具有瞬时性，所以流管也同样具有瞬时性。过流断面：处处与流线垂直的横截面流管内的流体又称为流束。管道流动和渠道流动既可以被看成是一个流束，也可以被看成是若干个流束的

9、集合。在工程中也把管道流动或者渠道流动的整体称为总流流。与所有流线正交的流束横截面和总流横截面又称为过流截面流截面或者有效截面有效截面。 2流量单位时间内通过流场中特定面积的流体量称为流量。通常用体积或者质量来度量所通过的流体量，相应的就有体积流量和质量流量。体积流量质量流量重量流量VVnV与面积垂直的速度分量（法线速度）平均速度：总流的质量守恒 （质量连续）不可压缩流体（水）定常流动，有例：半径为 的圆管液体流动，过流截面的速度分布 为 解：求：管道流量和平均速度平均速度zyxo控制体 第三节 连续性方程 质量守恒方程1系统与控制体系统 - 特定流体质点组成的流体团。在流动过程中，流体系统的

10、形状和位置会随质点的运动而发生变化，但其所包含的流体质点却始终是相同的。控制体 - 流场中人为定义的空间区域。 控制体的边界面为控制面。控制体相对于参照坐标系其形状和位置都固定不变，流体可以穿过控制面流进和流出控制体。2微分形式的连续性方程物理学三大守恒定律：质量守恒、动量守恒、能量守恒质量守恒定律源于物质不灭论，其基本含义是，物质不能够凭空地产生或者消失，所以其质量是守恒的。连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体数学表达，也称为质量守恒方程。 在M(x, y, z)点领域的微控制体(微六面体)流体通过表面进、出控制体积在 x 方向质量流量：略去高阶小量后：同理，对控制面沿y方向和z方向净

11、流入控制体的质量流量分别为：如果从全部控制面净流入的质量流量不为零，则控制体内流体的密度就一定会发生改变。因为取的是微小控制体，其形心点的密度可以被作为控制体内流体的平均密度，所以单位时间内由于密度变化所引起的质量增量为 ：根据质量守恒定律，单位时间内控制体中流体质量的增量就等于通过所有控制面净流入的质量流量：对于均质不可压缩流体，其密度为常数：对于均质不可压缩流体的流动，为了满足质量守恒定律其速度矢量的散度必须等于零。3积分形式的连续性方程对控制体内的质量变化和通过控制面的质量流量用积分表达，这样就得到积分形式的连续性方程：单位时间内经控制面流出的流体质量 单位时间内流体密度变化引起的质量增

12、量积分形式的质量守恒方程 对于定常流动：对于定常的管道流动，如果取上游截面A1、下游截面A2以及两截面之间的管壁为控制面，因为在管壁上Vn=0，所以：如果采用上、下游截面的平均速度V1和V2，和平均密度1和2来表示这个关系：对于不可压缩流体的管道流动，密度是常数：d2d12121例 管道中水的质量流量为Qm=300kg/s, 若d1=300mm, d2=200mm, 求流量和过流断面 1-1, 2-2 的平均流速解:例：三通管道平均速度为：求：解：定常水流 第四节 欧拉运动方程 理想流体的动量方程1微分形式的动量方程动量定律可以被表达为：其中m是物体的质量，V是速度矢量，F是作用于物体的外力。

13、 由于流体系统的质量是不变的，所以上式又可表示为：等式左边是系统运动的加速度。该式就是牛顿第二运动定律。 在M(x, y, z)点领域的微控制体(微六面体)在 x 方向作用于系统的压强合力为：沿x方向作用于系统的总质量力为：根据牛顿第二运动定律，沿x方向有：同理在y和z方向有：等式左边是x方向的质点加速度 ，把它表示成局部加速度和对流加速度之和 ：运动微分方程微分形式的动量守恒方程由于在建立方程的过程中并未考虑流体的粘性应力，所以它们只适用于理想流体的运动。 单位质量流体动量对时间的变化率 作用在控制体上的外力之和 粘性不可压缩流体运动微分方程 Navier-Stokes方程1积分形式的动量方

14、程动量定律可以被表达为：连续性方程控制面净流出控制体的质量流量 控制面净流出控制体的x方向的动量 在流场中取一任意有限大小的控制体 ，控制面为A。在t时刻系统与控制体重合，其体积同为 ，把上式对 积分就得到t时刻流体系统在x方向的动量关系式： 运用高斯公式，把上式的体积积分改写为封闭曲面A上的面积分： 面积A的外法线与x、y和z轴之间的夹角 外法向速度。同理在y和z方向有：是面积A的外法向单位矢量。 控制体内动量对时间的变化率 单位时间通过控制面流出的动量 作用在控制体上的外力之和 由于压强p的作用方向与外法向单位矢量n的方向相反，所以作用在系统边界面上的压强合力项中有一负号。 对于定常流动：

15、控制体内的动量不变，系统的动量变化量就是通过控制面净流出去的动量。 第五节 理想流体定常运动的伯努利方程1理想流体定常运动的伯努利方程理想不可压缩流体的运动方程：理想不可压缩流体在流线方向的运动方程：速度大小理想不可压缩流体在流线方向定常流动时的运动方程：把方程沿曲线坐标轴s积分后就得到：伯努利方程 对于同一流线上的任意两点(点1和点2) ：伯努利方程成立的条件：定常流动 理想流体 均质不可压缩流体 重力是唯一的质量力 沿着流线积分 2伯努利方程的意义伯努利方程是运动方程的一次积分，它描述的是流体在重力（是有势力）场作用下并且无（粘性产生的）机械能损失时机械能的守恒规律。单位重流体的重力势能

16、位置水头 单位重流体的压强势能 压强水头总机械能 总水头 物理意义 水力学意义单位重流体的动能 速度水头s基准面总水头线 第六节 压强沿流线法向的变化理想不可压缩流体在重力作用下的定常流动：rSug沿流线法向取坐标轴r，设该轴与z轴之间的夹角为 ，r轴的零点位于流线的曲率中心。设流体质点在法向的加速度为ar：其中R是流线的曲率半径，fr是r方向的质量力分量。当流线的曲率半径很大时，沿着流线的法向，压强的变化规律与静止流体中的压强变化相同。（缓变流） 通常把总流或者流束划分为缓变流流区域和急急变流流区域。 管流可以被当成一个总流，在等截面的直管段，管流的流线曲率很小，并且相互平行，这样的流动称为

17、缓变流；在变截面管段（如粗、细管的接口附近）、弯管段、半开阀门附近等，管流的流线发生弯曲而且也不平行，此类区域的流动则称为急变流。 第七节 总流的伯努利方程总流是无数个连续微流管(流束)的总和。每个微流管满足流线的伯努利方程。所有微流管积分，得到：为缓变流截面，微流管截面一一对应因为A1和A2是缓变流截面，在截面上 等于常数。总流的伯努利方程动能修正系数：一般情况下，表示截面速度的不均匀程度 截面 1，2 为缓变流截面总流伯努利方程成立的条件：定常流动 理想流体 均质不可压缩流体 重力是唯一的质量力 两截面必须是缓变流截面 第八节 伯努利方程应用举例1小孔定常出流开口水箱侧壁上开一小孔，孔口中

18、心与水面高差为h。假设水箱的横截面积远大于孔口面积，出流过程中水面的高度变化可以忽略。求小孔的出流速度 V。h01papa因为H保持不变，所以小孔出流是定常的。以孔口中心线所在水平面为基准面，对0-0截面和1-1截面列出伯努利方程： 2皮托(Pitot)管测速原理 速度在0点滞止为零(驻点) ；0点与1点之间的高度差可忽略。沿流线 0-1 运用伯努利方程： 驻点驻点待测流速待测流速由于在点1球头部对流动引起的扰动已基本上消失，流速和压强已恢复到与来流的速度 u1 和压强 p1基本相同，所以：假设测压管中工作液体密度为 ，则压强差为：代入方程： 驻点压强p0常被称为总压，p1又称为静静压，与它们

19、相对应的测压管也分别被称为总压管管和静静压管管。3文丘里(Venturie)流量计 设 V1、V2 为 1、2 截面平均速度。对截面形心点写出伯努利方程： hA1A2V1V2p1p2压差与测压管液面高度差的关系为： hA1A2V1V2p1p2流量为： - 流量修正系数( 0.95 0.98 ) 第九节 叶轮机械内流体相对运动的伯努利方程 流体由内向外流动，叶轮以等角速度 旋转，固定在内轮 r = R1 和外轮 r = R2 之间。在转动坐标系里，流体沿叶片通道由内向外做定常流动。取一条流线s(虚线)，沿流线流体定常运动方程为： 采用与叶轮一起旋转的动坐标系 fs是流线切向的单位质量力，它是重力

20、在s切向的投影：沿流线切向的加速度as就是流体随叶轮一起旋转的向心加速度在s方向的投影：在流道的内径R1，外径R2处有:设叶轮内、外边缘处单位重量流体总机械能为E1和E2，则： 离心泵 ：流动从内向外， 电能 机械能水轮机：流动从外向内， 机械能 电能 叶轮外边缘的流体能量 叶轮内边缘的流体能量 第十节 动量方程和动量矩方程应用举例理想流体的定常流动，积分形式的动量方程为：动量矩方程为：作用在控制体上的外力力矩之和 单位时间通过控制面流出的动量矩其中矢量r是流体质点相对于坐标系原点的位置矢量。n1n2A1A2取1-1和2-2截面之间的空间体积为控制体。设1-1截面上流体流入的平均速度为V1，体

21、积流量为Q1，2-2截面上流体流出的平均速度为V2，体积流量为Q2。 对于定常流动，连续性条件：V V连续性方程 下标“out”表示出口截面，“in”表示进口截面。 1水流对弯管的作用力取坐标和控制体如图。管内水流压强 p 和管外大气压强 pa 联合作用在管壁上的合力：2作用在控制面 上的表面力：注意到 ：作用在流体上的力只与表压强 p1-pa 和 p2-pa 有关对控制体列出动量方程 分量形式 例例 已知 Q = 0.08 m3/s， d1 = 0.3 m，d2 = 0.2 m， = 30，截面A1中心点表压强 p1-pa = 12 kN/m2， 求 和 。 流体对管壁的作用力2水流对于喷嘴

22、的作用力例例 消防水龙喷嘴横截面积由 A1收缩至 A2，高速水流 由管道经喷嘴以速度V2射入大气，求水流喷射时 作用给喷嘴的力 F 。解解 取控制体如图。因为只涉及到一个方向的运动和受 力，对速度和力都采用标量表示。设截面 A1上的表 压强为 p1-pa 。对控制体内流体列出动量方程 在出口截面压强为大气压，故 p2 = pa 由于没考虑流体粘性的影响，所以当 A1= A2 时 F = 0 。 由连续性方程和伯努利方程求 p1和V1例例：求管道（高速射流）喷嘴的拉力 F理想、不可压流体已知：控制体喷嘴解：利用伯努利方程 0-2，利用连续方程，求得利用伯努利方程 0-1截面：控制体喷嘴喷嘴流体动

23、量方程 x 方向：喷嘴受水流拉力为：1713 N （牛顿）（喷嘴作用水流的力）如：救火水龙头反冲力控制体喷嘴3水流对溢流坝的作用力例例 求水流对溢流坝坝体的作用力。 解解 1-1截面上压强合力：2-2截面的压强合力：对控制体内流体列出动量方程 连续性方程伯努利方程消去 V1, V2 后得到4射流对物面的作用力例例 求射流对斜置平板(单位厚度) 的作用力F。 设：流量为 Q，速度为V，来 流方向与板的夹角为 。 解解 取控制体如图。因射流处于 大气之中，射流中压强都近 似等于大气压。又由伯努利 方程知: V1 = V2 = V。 x 方向动量方程： y 方向动量方程： 当 V 和 Q 已知，可以

24、由 y 方向的动量方程计算 F 。由连续性条件 Q = Q1 + Q2 和 x 方向的动量方程还可以解出yV0FxFyxA0V0例例 已知：射流速度为V0， 射流截面积为A0，叶片 折角为。求叶片对流 体的作用力为Fx，Fy 。y方向动量方程x方向动量方程yFxFyxA0V0V0 -uuV0 -u采用固结于叶片上的运动坐标系, 则在此动坐标系上观察到的流动是定常的。取控制体如图, 此控制体进出口截面上的速度应为相对速度 (V0 u), 过流截面为A0 , 应用动量方程有射流对叶片作的功率例例 已知：射流速度为V0，射流 截面积为A0，叶片折角为， 叶片速度为u。求叶片对流 体的作用力为Fx，F

25、y 。5洒水器的转速VRRV例例 图示为一 洒水器, 流量为2Q 的水由转轴流入转臂，喷嘴 与圆周切线的夹角为，喷 嘴面积为A。不计损失, 转臂 所受外力矩为零，试求洒水 器的旋转角速度 解解 取半径为R的圆周为控制面， 则：hcF0FcHR00xccz0例例 已知矩形平板闸下出流 B=6m，H=5m，hc=1m， Q=30m3/s（不计水头损失）求：水流对闸门推力解解: 利用连续性方程,有设闸门对水流作用力为 R ，则X方向的动量方程为：hcF0FcHR00xccz0代入数据, 得水流对闸门的作用力, 利用牛顿第三定律, 有： 方向向右建筑物风阻力连续方程低速气流，不可压缩，不计体积力流线流线建筑物风阻力动量方程流线流线例例 求叶轮机功率。 流体由内向外流动，叶轮以等角速度 旋转，体积流量 Q ，进口 r = R1 处和出口 r = R2 处绝对速度分别为 V1 和 V2 ，绝对速度在两处与圆周切线的角为1和2。 解解 取内轮与外轮之间的环 形空间为控制体。 运用动量矩方程可以写出叶片对流体所作用的力矩 叶轮对流体做功的功率为 对于水泵、风机等，叶片对流体做功，P 0 ；对于水轮机、气轮机等，流体对叶片做功 ，P 0 .