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1、向量：向量： 既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：模长为模长为1 1的向量的向量. .零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .| |向量的模：向量的模： 向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念一、向量的概念或或或或或或自由向量：自由向量：不考虑起点位置的向量不考虑起点位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .负向量：负向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .向径：向径：空间直角坐标系中任一点空间直角坐标系中任一点 与原点与原点构成的向量构成的向量. . 平行向量：
2、平行向量：平行于同一直线的两个平行于同一直线的两个(或多个或多个)向向量量(同向或反向同向或反向). 记为记为共面向量：共面向量： 平行于同一平面的三个平行于同一平面的三个(或多个或多个)向向量量. 而两个向量必定共面而两个向量必定共面.1 加法：加法：(i). 两向量相加两向量相加: 如图示如图示, 称为平行四边形法称为平行四边形法则则, 或称三角形法则或称三角形法则.二、向量的加减法二、向量的加减法(ii). 多个向量相加多个向量相加: 如图示如图示, 称为多边形称为多边形法则法则.向量的加法符合下列运算规律：向量的加法符合下列运算规律：（1 1）交换律：）交换律：（2 2）结合律：）结合
3、律：（3）2 减法减法三角不等式三角不等式：三、向量与数的乘法三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律：数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：（2 2）分配律：）分配律：两个向量的平行关系两个向量的平行关系按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定，例例1 1 化简化简解解例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形的四边形必是平行四边形.证证与与 平行且相等平行且相等,结论得证结论得证.空间两向量的夹角的概念：空间两向量的夹角的概念：类似地，可定义类似地，可定义向量与一轴向量与一轴或或空间两轴空间两轴
4、的夹角的夹角.四、向量在轴上的投影与投影定理四、向量在轴上的投影与投影定理空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（1 1）定理定理1 1的说明：的说明：投影为正；投影为正；投影为负；投影为负；投影为零；投影为零；(4) 相等向量在同一轴上投影相等；相等向量在同一轴上投影相等；关于向量的关于向量的投影定理（投影定理（2 2）（可推广到有限多个）（可推广到有限多个）五、向量的坐标表示五、向量的坐标表示设设其中各分量为相应向量在其中各分量为相应向量在三坐标轴上的投影三坐标轴上的投影. 向量的加减法、向量与数的乘法运算
5、的坐向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式标表达式通常也表示通常也表示解解 设设为直线上的点，为直线上的点，由题意知：由题意知：非零向量非零向量 的的方向角方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角向角. .六、向量的模与方向余弦的坐标表示式六、向量的模与方向余弦的坐标表示式由图分析可知由图分析可知向向量量的的方方向向余余弦弦方向余弦通常用来表示向量的方向方向余弦通常用来表示向量的方向. .向量模长的坐标表示式向量模长的坐标表示式当当 时，时，向量方向余弦的坐标表示式向量方向余弦的坐标表示式方向余弦的特征方向余弦的特征特殊地：单位向量的方向余弦为特殊地：单位向量的方向余弦为解解 所求向量有两个，一个与所求向量有两个，一个与 同向，一个反向同向，一个反向还有还有解解解解思考题思考题思考题解答思考题解答对角线的长为对角线的长为
