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1、第三章第三章 两组资料均数的比较两组资料均数的比较Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024两组资料均数的比较两组资料均数的比较第一节第一节 均数的抽样误差均数的抽样误差第二节第二节 t t分布与可信区间分布与可信区间第三节第三节 t t检验检验第四节第四节 假设检验的步骤假设检验的步骤 及其有关概念及其有关概念Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 2
2、5, 2024July 25, 2024总体总体样本样本抽取部分观察单位抽取部分观察单位 统计量统计量统计量统计量 参参参参 数数数数 统计推断统计推断统计推断统计推断 statistical inferencestatistical inference如：样本均数如：样本均数 样本标准差样本标准差S 样本率样本率 P如：总体均数如：总体均数 总体标准差总体标准差 总体率总体率内容：内容：1.参数估计参数估计(estimation of parameters)2. 包括：点估包括：点估计与区间估计计与区间估计3.2. 假设检验假设检验（test of hypothesis)Thursday,
3、Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024总体总体样本样本抽取部分观察单位抽取部分观察单位 统计量统计量统计量统计量 参参参参 数数数数 统计推断统计推断第一节第一节 均数的抽样误差均数的抽样误差如：如：样本均数样本均数 样本标准差样本标准差S 样本率样本率 P如：如：总体均数总体均数 总体标准差总体标准差 总体率总体率 抽样误差抽样误差 （sampling sampling error) error) ：由由于个体差异导于个体差异导致的致的样本样本统计统计量与量与总体总体
4、参数参数间的差别。间的差别。Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024一、抽样试验一、抽样试验 从正态分布总体从正态分布总体N N（5.00,0.505.00,0.502 2）中，每中，每次随机抽取样本含量次随机抽取样本含量n n5 5，并计算其均数与并计算其均数与标准差；重复抽取标准差；重复抽取10001000次，获得次，获得10001000份样本；份样本；计算计算10001000份样本的均数与标准差，并对份样本的均数与标准差，并对10001000份样
5、本的均数作直方图。份样本的均数作直方图。 按上述方法再做样本含量按上述方法再做样本含量n n1010、样本含样本含量量n n3030的抽样实验；比较计算结果。的抽样实验；比较计算结果。Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024抽样试验（抽样试验（n n=5=5）Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024抽样试验（抽
6、样试验（n n=10=10）Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024抽样试验（抽样试验（n n=30=30）Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 202410001000份样本抽样计算结果份样本抽样计算结果总体的总体的均数均数总体标总体标准差准差s s均数的均数的均数均数均数标准差均数标准差n n=5=55.005.
7、000.500.504.994.990.22120.22120.22360.2236n n=10=105.005.000.500.505.005.000.15800.15800.15810.1581n n=30=305.005.000.500.505.005.000.09200.09200.09130.0913Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 20243 3个抽样实验结果图示个抽样实验结果图示Thursday, Thursday, Thursday, T
8、hursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024抽样实验小结抽样实验小结 均数的均数均数的均数围绕总体均数上下波动。围绕总体均数上下波动。 均数的标准差均数的标准差即即标准误标准误 与总体标与总体标准差准差 相差一个常数的倍数，即相差一个常数的倍数，即 样本样本均数的标准误（均数的标准误（Standard Error)Standard Error)= =样本标准差样本标准差/ / 从正态总体从正态总体N N( (m m, ,s s2 2) )中抽取样本，获得中抽取样本，获得均数的分布仍近似呈均数的分布仍近似呈正态分布正态
9、分布N(m m,s s2/n) 。Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024二、中心极限定理二、中心极限定理 central limit theoremcentral limit theorem即使从即使从非正态总体非正态总体中抽取样本，所得均数分布仍近似呈中抽取样本，所得均数分布仍近似呈正态正态。随着样本量的增大随着样本量的增大, , 样本均数的样本均数的变异变异范围也逐渐变窄。范围也逐渐变窄。Thursday, Thursday, Thursday,
10、 Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024第二节第二节 t t分布与可信区间分布与可信区间一、一、t t分布（分布（t t distribution distribution）二、总体均数的估计二、总体均数的估计 1. 1. 总体均数的点估计（总体均数的点估计（point estimationpoint estimation）与区间估计与区间估计 2. 2. 总体均数的可信区间（总体均数的可信区间（confidence intervalconfidence interval，CICI） 3. 3. 总体均数总体
11、均数差差的可信区间的可信区间 4. 4. 大样本大样本总体均数的可信区间总体均数的可信区间三、可信区间的解释三、可信区间的解释Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024一、一、t t分布分布随机变量随机变量X XN N（m m，s s2 2）标准正态分布标准正态分布N N（0 0，1 12 2）u变换均数均数标准正态分布标准正态分布N N（0 0，1 12 2）Student Student t t分布分布自由度：自由度：n n-1-1Thursday,
12、 Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024t t分布的概率密度函数分布的概率密度函数式中式中 为伽玛函数；为伽玛函数； 圆周率（圆周率（ExcelExcel函数为函数为PIPI( )( )） 为自由度（为自由度（degree of freedomdegree of freedom），），是是t t分布分布的唯一参数；的唯一参数；t t为随机变量。为随机变量。 以以t t为横轴，为横轴，f f( (t t) )为纵轴为纵轴, ,可绘制可绘制t t分布曲线。分布曲线。Thur
13、sday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024t t分布曲线分布曲线 t t 分布分布有如下性质：有如下性质：单峰分布，曲线在单峰分布，曲线在t t0 0 处最高，并以处最高，并以t t0 0为中心为中心左右对称左右对称与正态分布相比，曲线与正态分布相比，曲线最高处较矮，两最高处较矮，两尾部翘得尾部翘得高高（见绿线）（见绿线） 随自由度增大，曲线逐随自由度增大，曲线逐渐接近正态分布；分布的渐接近正态分布；分布的极限为标准正态分布。极限为标准正态分布。Thursday
14、, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024t t分布曲线下面积（附表分布曲线下面积（附表2 2）双侧双侧t t0.05/20.05/2，9 92.2622.262 单侧单侧t t0.0250.025，9 9单侧单侧t t0.050.05，9 91.8331.833双侧双侧t t0.01/20.01/2，9 93.2503.250 单侧单侧t t0.0050.005，9 9单侧单侧t t0.010.01，9 92.8212.821双侧双侧t t0.05/20.05/2，1
15、.961.96 单侧单侧t t0.0250.025，单侧单侧t t0.050.05， 1.641.64Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024二、二、总体均数的估计总体均数的估计 1. 1. 总体均数的点估计（总体均数的点估计（point estimationpoint estimation）与区间估计与区间估计参数的估计参数的估计点估计点估计：由样本统计量：由样本统计量 直接估计直接估计 总体参数总体参数区间估计区间估计：在一定：在一定可信度可信度（
16、Confidence level） 下，下，同时考虑抽样误差同时考虑抽样误差Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024可信度与可信区间可信度与可信区间 区间的区间的可信度可信度（如（如9595或或9999）是重复抽是重复抽样（如样（如10001000次）时，样本（如次）时，样本（如n n=5=5）区间包含区间包含总体参数总体参数( (m m) )的百分数。常用的百分数。常用100(1-100(1-)%)%或或(1-(1-) )表示，表示， 值一般取值一般
17、取0.050.05或或0.010.01。Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024可信度实验可信度实验 Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 20242. 总体均数的可信区间总体均数的可信区间 Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2
18、024July 25, 2024July 25, 20243. 两两总体均数总体均数差差的可信区间的可信区间 Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 20244. 大样本总体均数的可信区间（大样本总体均数的可信区间（1） Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 20244. 大样本总体均数的可信区间（大样本总体均数的可信区间（
19、2） Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024三、可信区间的解释三、可信区间的解释 9595可信区间可信区间：从总体中作随机抽样，作：从总体中作随机抽样，作100100次抽样，每个样本可算得一个可信区间，次抽样，每个样本可算得一个可信区间，得得100100个可信区间，平均有个可信区间，平均有9595个可信区间包个可信区间包括括( (估计正确估计正确) )，只有，只有5 5个可信区间不包括个可信区间不包括( (估计错误估计错误) )。 9595可信区间可信区间 9999可信区间可信区间 公式公式 区间范围区间范围 窄窄 宽宽 估计错误的概率估计错误的概率 大（大（0.050.05） 小（小（0.010.01）Thursday, Thursday, Thursday, Thursday, July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024July 25, 2024
