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1、微分方程基本概念、可分离变微分方程基本概念、可分离变量微分方程量微分方程上页下页铃结束返回首页一、一、 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 在在许许多多问问题题中中 往往往往不不能能直直接接找找出出所所需需要要的的函函数数关关系系 但但是是根根据据问问题题所所提提供供的的情情况况 有有时时可可以以列列出出含含有有要要找找的的函函数数及及其其导导数数的的关关系系式式 这这种种关关系系式式就就是是所所谓谓微微分分方方程程 微微分分方方程程建建立立以以后后 对对它它进进行行研研究究 找出未知函数来找出未知函数来 这就是解微分方程这就是解微分方程 本本节节通通过过几几个个具具体体的的例例题题来来说说
2、明明微微分分方方程程的的基基本概念本概念 上页下页铃结束返回首页2上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页初始条件初始条件 用于确定通解中任意常数的条件用于确定通解中任意常数的条件 称为初始条件称为初始条件 说明说明 说明说明 求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题 初值问题初值问题 微分方程的解的图形是一条曲线微分方程的解的图形是一条曲线 叫做微分方程的积分叫做微分方程的积分曲线曲线 积分曲线积分曲线 9上页下页铃结束返回首页 例
3、例4 验证验证 函数函数 x C1cos kt C2sin kt是微分方程是微分方程 的解的解 求所给函数的导数求所给函数的导数 解解 k2(C1cos kt C2sin kt) k2(C1cos kt C2sin kt) 0 这这表表明明函函数数x C1cos kt C2sin kt 满满足足所所给给方方程程 因因此此所所给给函函数数是所给方程的解是所给方程的解 13上页下页铃结束返回首页 例例5 已知函数已知函数 x C1cos kt C2sin kt(k 0)是微分方程是微分方程 的通解的通解 求满足初始条件求满足初始条件 x|t 0 A x |t 0 0的特解的特解 将条件将条件x|t
4、 0 A代入代入x C1cos kt C2sin kt 得得 解解 C1 A 将条件将条件x |t 0 0代入代入x (t)kC1sin kt kC2cos kt 得得 把把C1、C2的值代入的值代入x C1cos kt C2sin kt中中 就就得所求的特解得所求的特解为为x Acos kt C2 0 14上页下页铃结束返回首页 解解 y 0 也为例也为例5中微分方程的解中微分方程的解 例例6 验证函数验证函数 是以下微分方程的解是以下微分方程的解: 注注: 通解不一定包含所有解通解不一定包含所有解 15上页下页铃结束返回首页二、可分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程一阶微分方程有时也
5、写成如下对称形式一阶微分方程有时也写成如下对称形式 P(x y)dx Q(x y)dy 0在这种方程中在这种方程中 变量变量x与与y是对称的是对称的 如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx (或写成或写成y (x) (y) 的形式的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程那么原方程就称为可分离变量的微分方程 v可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程17上页下页铃结束返回首页讨论讨论 是是不是不是不是不是是是是是是是y 1dy 2xdxdy (3x2 5x)dxy (1 x)(1 y2)10 ydy 10xdx18上页下页铃结束返回首页v可分离变量的微
6、分方程的解法可分离变量的微分方程的解法两端积分两端积分 方方程程G(y) F(x) C y y(x)或或x x(y)都都是是方方程程的的通通解解 其中其中G(y) F(x) C称为称为隐式隐式(通通)解解 求显式解求显式解 求方程由求方程由G(y) F(x) C所确定的隐函数所确定的隐函数 y y(x)或或x x(y) 如果一个一阶微分方程能写成如果一个一阶微分方程能写成g(y)dy f(x)dx (或写成或写成y (x) (y) 的形式的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程那么原方程就称为可分离变量的微分方程 v可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程分离变量分离变量 将方程写成将方程
7、写成g(y)dy f(x)dx的形式的形式 19上页下页铃结束返回首页注注 分离变量得分离变量得 解解 这是一个可分离变量的微分方程这是一个可分离变量的微分方程 两边积分得两边积分得 即即 ln|y| x2 C1 ln|y| x2 ln|C| 加常数的另一方法加常数的另一方法 20上页下页铃结束返回首页提示提示 降落伞所受外力为降落伞所受外力为F mg kv(k为比例系数为比例系数) 牛顿第二运动定律牛顿第二运动定律F ma 设降落伞下落速度为设降落伞下落速度为v(t) 解解 例例11 设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落后后 所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度成成正正比比 并并设设降降
8、落落伞伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度为为零零 求求降降落落伞伞下下落落速度与时间的函数关系速度与时间的函数关系 根据题意得初值问题根据题意得初值问题 22上页下页铃结束返回首页将方程分离变量得将方程分离变量得 两边积分得两边积分得 将初始条件将初始条件v|t 0 0代入上式得代入上式得于于是是降降落落伞伞下下落落速速度度与与时时间间的的函数关系为函数关系为 例例11 设设降降落落伞伞从从跳跳伞伞塔塔下下落落后后 所所受受空空气气阻阻力力与与速速度度成成正正比比 并并设设降降落落伞伞离离开开跳跳伞伞塔塔时时速速度度为为零零 求求降降落落伞伞下下落落速度与时间的函数关系速度与时间的函数关系 设
9、降落伞下落速度为设降落伞下落速度为v(t) 解解 根据题意得初值问题根据题意得初值问题 23上页下页铃结束返回首页 例例12 当当一一次次谋谋杀杀发发生生后后, 尸尸体体的的温温度度从从原原来来的的 370C 按按照照牛牛顿顿冷冷却却定定律律开开始始下下降降. 假假设设两两小小时时后后尸尸体体温温度度变变为为 350C, 并并且且假假定定周周围围空空气气的的温温度度保保持持 200C 不不变变, 试试求求尸尸体体温温度度 H 随随时时间间 t 的的变变化化规规律律. 又又如如果果尸尸体体被被发发现现时时的的温温度度是是 300C, 时时间间是下午是下午 4 点整点整, 那么谋杀是何时发生的？那
10、么谋杀是何时发生的？牛顿冷却定律牛顿冷却定律 一一个个物物体体的的温温度度变变化化速速度度与与该该物物体体的的温温度度和和其其所所在在介介质质的温度的差值成正比的温度的差值成正比. 解解 由题设得微分方程由题设得微分方程分离变量得分离变量得 24上页下页铃结束返回首页两边积分得两边积分得 例例12 当当一一次次谋谋杀杀发发生生后后, 尸尸体体的的温温度度从从原原来来的的 370C 按按照照牛牛顿顿冷冷却却定定律律开开始始下下降降. 假假设设两两小小时时后后尸尸体体温温度度变变为为 350C, 并并且且假假定定周周围围空空气气的的温温度度保保持持 200C 不不变变, 试试求求尸尸体体温温度度
11、H 随随时时间间 t 的的变变化化规规律律. 又又如如果果尸尸体体被被发发现现时时的的温温度度是是 300C, 时时间间是下午是下午 4 点整点整, 那么谋杀是何时发生的？那么谋杀是何时发生的？ 解解由由 t 0, H 37, 得得 C 17, 求得求得由由 t 2, H 35, 得得 当当 H 30 时时, 得得 谋杀是在上午谋杀是在上午7点点36分发生的分发生的.由题设得微分方程由题设得微分方程分离变量得分离变量得 25上页下页铃结束返回首页 例例13 在某池塘内养鱼在某池塘内养鱼, 该池塘最多能养鱼该池塘最多能养鱼1000尾尾. 在时刻在时刻t, 鱼数鱼数 y 是时间是时间 t 的函数的函数 y(t), 其变化率与鱼数其变化率与鱼数 y 及及1000 y 成成正比正比. 已知在池塘内放养鱼已知在池塘内放养鱼100尾尾, 3个月后池塘内有鱼个月后池塘内有鱼 250尾尾, 求放养求放养 t 月后池塘内鱼数月后池塘内鱼数 y(t) 的公式的公式. 解解由由得得 由由得得 鱼数鱼数 y(t) 的公式为的公式为由题设得微分方程由题设得微分方程分离变量得分离变量得 两边积分得两边积分得 26上页下页铃结束返回首页课后练习课后练习 P298 1、2、3、4、5、6； P304 1、2、3、4.27结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！28
