关于线性代数与空间解析几何课程教学的几点思考

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1、关于线性代数与空间解析关于线性代数与空间解析几何课程教学的几点思考几何课程教学的几点思考游宏游宏哈尔滨工业大学哈尔滨工业大学（20062006年年7 7月月2222日于吉林大学）日于吉林大学）一、课程的历史沿革与现状一、课程的历史沿革与现状 二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程统称二十世纪五、六十年代，我国工科数学基础课程统称为高等数学，以微积分教学为主，线性代数在高等数学的为高等数学，以微积分教学为主，线性代数在高等数学的教学中仅占一小部分。当时仅介绍行列式与线性方程组求教学中仅占一小部分。当时仅介绍行列式与线性方程组求解；解析几何内容则相对丰富，几何向量、空间直线与平解；解析几何内容

2、则相对丰富，几何向量、空间直线与平面、极坐标、二次曲面等通常放在微积分前讲授。面、极坐标、二次曲面等通常放在微积分前讲授。 文革后，由于科学技术，特别是计算机与信息科学技文革后，由于科学技术，特别是计算机与信息科学技术的发展，我国高等数学教学的理念逐渐发生了变化。从术的发展，我国高等数学教学的理念逐渐发生了变化。从七十年代末、八十年代初开始，一些大学的工科数学教学七十年代末、八十年代初开始，一些大学的工科数学教学增添了线性代数的教学内容。但初期的做法，是把线性代增添了线性代数的教学内容。但初期的做法，是把线性代数放在数放在工程数学工程数学中讲授的。中讲授的。 大约在八十年代中后期，一些大学把线

3、性代数独立出大约在八十年代中后期，一些大学把线性代数独立出来，成为工科数学基础课的一门独立课程。来，成为工科数学基础课的一门独立课程。一、课程的历史沿革与现状一、课程的历史沿革与现状 进入二十世纪九十年代，在多数重点大学中，线性代进入二十世纪九十年代，在多数重点大学中，线性代数成为工科数学教学的三门主要课程之一。数成为工科数学教学的三门主要课程之一。 九十年代中后期，一些大学又将空间解析几何内容从九十年代中后期，一些大学又将空间解析几何内容从微积分教学中剥离出来，与线性代数融汇在一起，组成微积分教学中剥离出来，与线性代数融汇在一起，组成线性代数与空间解析几何线性代数与空间解析几何课程，目前已有

4、越来越多的课程，目前已有越来越多的大学实践这一做法。大学实践这一做法。 近三十年来，线性代数课程教学发生了两次较大的改近三十年来，线性代数课程教学发生了两次较大的改革。革。 但是，该课程的教学在各大专院校中是不平衡的，重但是，该课程的教学在各大专院校中是不平衡的，重视程度差异较大。以教学时数来看：少则视程度差异较大。以教学时数来看：少则16241624学时（不学时（不含解析几何），多则含解析几何），多则60906090学时（含解析几何），解析几学时（含解析几何），解析几何部分一般为何部分一般为14201420学时。学时。二、教学基本要求二、教学基本要求 二十世纪九十年代初，教育部高等教育司委托

5、当时的二十世纪九十年代初，教育部高等教育司委托当时的教学指导委员会对高等学校基础课程教学基本要求作了修教学指导委员会对高等学校基础课程教学基本要求作了修订，修订文件于订，修订文件于19951995下发（以下简称下发（以下简称9595年修订稿）。年修订稿）。 9595年修订稿中将线性代数作为高等学校工科数学教学年修订稿中将线性代数作为高等学校工科数学教学的主要课程，明确了该课程的基本内涵，包括六个教学主的主要课程，明确了该课程的基本内涵，包括六个教学主要内容（对多数工科专业而言）。要内容（对多数工科专业而言）。 从从20032003年开始，教学指导委员会受教育部高教司委托年开始，教学指导委员会受

6、教育部高教司委托又对又对19951995年教学基本要求的修订稿再次修订，线性代数与年教学基本要求的修订稿再次修订，线性代数与空间解析几何在此次修订中是作为一门课程写入教学基本空间解析几何在此次修订中是作为一门课程写入教学基本要求中，但并不要求所有学校都将线性代数和空间解析几要求中，但并不要求所有学校都将线性代数和空间解析几何融汇为一门课程，各校可以有自己的独立性。何融汇为一门课程，各校可以有自己的独立性。二、教学基本要求二、教学基本要求 在新的基本要求中，线性代数与空间解析几何课程由在新的基本要求中，线性代数与空间解析几何课程由八个部分组成：八个部分组成：（一）行列式，（二）矩阵，（三）几何一

7、）行列式，（二）矩阵，（三）几何向量，（四）向量，（四）n n维向量与向量空间，（五）线性方程组，维向量与向量空间，（五）线性方程组，（六）矩阵的特征值与特征向量，（七）实二次型，（八）（六）矩阵的特征值与特征向量，（七）实二次型，（八）空间曲线与曲面。空间曲线与曲面。 其中，（一）、（二）、（四）、（五）、（六）、其中，（一）、（二）、（四）、（五）、（六）、（七）属于线性代数；（三）、（八）属于空间解析几何。（七）属于线性代数；（三）、（八）属于空间解析几何。 * *有关细节可见有关细节可见大学数学大学数学20042004年第一期。年第一期。 从总体上看，新的修订稿对线性代数课程的要求有所

8、从总体上看，新的修订稿对线性代数课程的要求有所提高。提高。二、教学基本要求二、教学基本要求 空间解析几何部分与空间解析几何部分与19951995年的修订稿相比，基本没有变年的修订稿相比，基本没有变动，仅增加了一条带动，仅增加了一条带“*”“*”号的条目：了解二次曲面的分号的条目：了解二次曲面的分类。类。 带带“*”“*”号的条目是为有需要或有条件的学校或专业号的条目是为有需要或有条件的学校或专业选用的。选用的。 线性代数部分变动较多一些，行列式、矩阵、线性方线性代数部分变动较多一些，行列式、矩阵、线性方程组的有关要求变动不大，只是将过去对某些知识仅要求程组的有关要求变动不大，只是将过去对某些知

9、识仅要求“ “了解了解” ”、“ “会会” ”提升为提升为“ “理解理解” ”与与“ “掌握掌握” ”。 n n维向量与向量空间部分有四处变化维向量与向量空间部分有四处变化维向量与向量空间部分有四处变化维向量与向量空间部分有四处变化： （a a）将内积概念，施密特标准正交化方法从将内积概念，施密特标准正交化方法从9595年修订稿中年修订稿中的矩阵的特征值与特征向量部分移至向量空间部分的矩阵的特征值与特征向量部分移至向量空间部分; ; （b b）增添了增添了“ “了解线性变换的概念及其矩阵表示了解线性变换的概念及其矩阵表示” ”的条目；的条目；（c c）增添了带增添了带“*”“*”号的条目号的条

10、目“ “了解基变换公式和坐标变换了解基变换公式和坐标变换公式，会求过渡矩阵公式，会求过渡矩阵” ”; ;（d d）对会求向量组的极大线性无关组及秩提出了要求。对会求向量组的极大线性无关组及秩提出了要求。 矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部矩阵的特征值与特征向量部分的改动不大，只是一部分内容移至向量空间部分。分内容移至向量空间部分。分内容移至向量空间部分。分内容移至向量空间部分。 实二次型部分，增添的内容有两处：实二次型部分，增添的内容有两处：实二次型部分，增添的内容有两处：实二次型部分，增添

11、的内容有两处： (a) (a) 了解合同变换与合同矩阵的概念；了解合同变换与合同矩阵的概念； (b) (b) 了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型了解惯性定理（对定理证明不作要求）和实二次型的规范形。的规范形。 基本要求并不是法典，仅对大学的工科数学教学起指基本要求并不是法典，仅对大学的工科数学教学起指导作用，在一定意义上讲，导作用，在一定意义上讲，“ “要求要求” ”可以说是最低要求，可以说是最低要求，基本要求不应订得过高，应具有普适性，时代性与指导性。基本要求不应订得过高，应具有普适性，时代性与指导性。三、教学内容的组合三、教学内容的组合 从国内多数大学关于工科专业从国内多数大学关

12、于工科专业线性代数与空间解析线性代数与空间解析几何几何课程的教材来看，基本内容与新修订的教学基本要课程的教材来看，基本内容与新修订的教学基本要求所列出的八个部分大体一致，只不过各部分内容讲授多求所列出的八个部分大体一致，只不过各部分内容讲授多少有所不同，章节的安排不尽相同，只有少数为特殊专业、少有所不同，章节的安排不尽相同，只有少数为特殊专业、特殊学生准备的教材，内容更多一些，更深一些。如个别特殊学生准备的教材，内容更多一些，更深一些。如个别教材增加了矩阵相似的标准型、多项式、仿射变换、射影教材增加了矩阵相似的标准型、多项式、仿射变换、射影变换、基本代数结构等内容。变换、基本代数结构等内容。

13、无论从教学基本要求的角度来看，还是从该课程的平无论从教学基本要求的角度来看，还是从该课程的平均教学水平来看，对多数院校、多数学生来讲，教学内容均教学水平来看，对多数院校、多数学生来讲，教学内容涵盖了上面提到的八个部分就可以了。但这些内容的组合涵盖了上面提到的八个部分就可以了。但这些内容的组合的确是的确是“ “仁者见仁，智者见智仁者见仁，智者见智” ”，百花齐放。，百花齐放。三、教学内容的组合三、教学内容的组合 国内外教材的比较国内外教材的比较 由于国内、国外有关的教材很多，不易作全面的比较，由于国内、国外有关的教材很多，不易作全面的比较，只能将常见的国内、外（主要是美国的）教材作一下比较。只能

14、将常见的国内、外（主要是美国的）教材作一下比较。 国内教材较多见的内容安排为：国内教材较多见的内容安排为： 行列式行列式矩阵矩阵n n维向量及向量空间维向量及向量空间线性方程组线性方程组 特征特征值与特征向量（相似、对角化值与特征向量（相似、对角化) ) 二次型二次型（1）。 如把空间解析几何内容加入的话，则在矩阵后介绍几如把空间解析几何内容加入的话，则在矩阵后介绍几何向量（包括内积、叉积、混合积、直线、平面方程等）何向量（包括内积、叉积、混合积、直线、平面方程等）二次型后讲授空间曲面。二次型后讲授空间曲面。 有的教材还含线性变换的内容，一般放在向量空间后有的教材还含线性变换的内容，一般放在向

15、量空间后或二次型后。或二次型后。 见到的一些美国教材内容安排如下：见到的一些美国教材内容安排如下： 线性方程组与矩阵线性方程组与矩阵实向量空间实向量空间n n维向量与向量空间维向量与向量空间线性变换（与矩阵）线性变换（与矩阵） 特征值与特征向量特征值与特征向量行列式行列式实二实二次型次型一些应用一些应用 （2 2） 美国的大学对一、二年级学生不分专业（通才教育）。美国的大学对一、二年级学生不分专业（通才教育）。总的讲，他们用于一、二年级大学生的线性代数教材比我总的讲，他们用于一、二年级大学生的线性代数教材比我们的要浅，线性方程组的内容中不讲们的要浅，线性方程组的内容中不讲AXAX=0=0的解空

16、间与基的解空间与基础解系，但比较注重计算，有的还提供算法，计算程序等。础解系，但比较注重计算，有的还提供算法，计算程序等。 国内目前也出现少数教材，在内容安排上先介绍一点国内目前也出现少数教材，在内容安排上先介绍一点线性方程组的解法，即：线性方程组的解法，即： 线性方程组的消元法线性方程组的消元法矩阵矩阵行列式（含矩阵的秩、逆阵行列式（含矩阵的秩、逆阵等）等） n n维向量与方程组的解的结构维向量与方程组的解的结构特征值与特征向量特征值与特征向量（相似、对角化（相似、对角化) ) 二次型二次型 （3 3）三、教学内容的组合三、教学内容的组合一点看法：一点看法： 上面列出的三种内容组合方法各有特

17、色上面列出的三种内容组合方法各有特色（1 1）是比较传统的内容安排方法）是比较传统的内容安排方法 优点：基本概念与工具预先交待，为后续内容作了铺垫，优点：基本概念与工具预先交待，为后续内容作了铺垫，如先讲了行列式，可定义矩阵的秩，介绍可逆矩阵的逆矩如先讲了行列式，可定义矩阵的秩，介绍可逆矩阵的逆矩阵的一种求法及某些性质，特殊线性方程组的解法阵的一种求法及某些性质，特殊线性方程组的解法（CramerCramer法则），为向量组线性相关性的判定提供了某些法则），为向量组线性相关性的判定提供了某些方法，有利于定义矩阵的特征多项式等。方法，有利于定义矩阵的特征多项式等。 不足：初学者对行列式定义不大好

18、理解，概念性较强，不足：初学者对行列式定义不大好理解，概念性较强，不很自然。另外，对初学者来讲，在学习的初始阶段，没不很自然。另外，对初学者来讲，在学习的初始阶段，没有接触线性代数的核心内容。有接触线性代数的核心内容。（2 2）的内容安排比较适合于一般大学）的内容安排比较适合于一般大学 优点：始终围绕线性代数的核心内容，学习比较自然，优点：始终围绕线性代数的核心内容，学习比较自然，例子、算法、应用较多，利于工科专业学生的学习。例子、算法、应用较多，利于工科专业学生的学习。 不足之处是内容浅了一点，某些部分低于教学基本要不足之处是内容浅了一点，某些部分低于教学基本要求。求。（3 3）的内容安排比

19、较好一些）的内容安排比较好一些 线性代数中许多概念的引入都与线性方程组有关，如线性代数中许多概念的引入都与线性方程组有关，如初等变换的背景是线性方程的消元法，因而先介绍一点有初等变换的背景是线性方程的消元法，因而先介绍一点有关线性方程组的知识有利于矩阵、向量组的相关性、及行关线性方程组的知识有利于矩阵、向量组的相关性、及行列式概念的引入与理解。而矩阵的概念、运算及一些性质列式概念的引入与理解。而矩阵的概念、运算及一些性质在行列式前讲授，可较好地反映出行列式是在行列式前讲授，可较好地反映出行列式是n n阶方阵集合阶方阵集合到其所在数域上的映射的本质。到其所在数域上的映射的本质。 当然上述这些内容

20、都是互相交错的，我中有你，你中当然上述这些内容都是互相交错的，我中有你，你中有我，很难说清哪一种组合方式最好，可依据情况而定。有我，很难说清哪一种组合方式最好，可依据情况而定。四、线性代数的主线与核心四、线性代数的主线与核心 线性代数起源之一是解线性方程组。线性方程组几线性代数起源之一是解线性方程组。线性方程组几乎是作为一条主线贯穿于线性代数，即使是解析几何，乎是作为一条主线贯穿于线性代数，即使是解析几何，直线、平面方程都是线性的，平面位置关系的确定也与直线、平面方程都是线性的，平面位置关系的确定也与线性方程组解的结构理论相关。至于代数，几乎所有内线性方程组解的结构理论相关。至于代数，几乎所有

21、内容都与线性方程组相关，如：容都与线性方程组相关，如：（1 1）向量组的线性相关性向量组的线性相关性 从解线性方程组的角度看，背从解线性方程组的角度看，背景是去掉多余的方程。景是去掉多余的方程。（2 2）矩阵矩阵 抽去方程组中的未知量与运算符号，即为矩阵。抽去方程组中的未知量与运算符号，即为矩阵。线性方程组的矩阵表达式：线性方程组的矩阵表达式： ，其中，其中， ， 为系数矩阵，为系数矩阵， 为常数项矩阵。为常数项矩阵。 （3 3）行列式行列式 CramerCramer法则，用于解特殊的线性方程组及用于法则，用于解特殊的线性方程组及用于研究线性方程组的解的结构。研究线性方程组的解的结构。（4 4

22、）特征值与特征向量特征值与特征向量 求属于某一特征值的特征向量。求属于某一特征值的特征向量。（5 5）二次型二次型 用于证明惯性定理。用于证明惯性定理。 不一一列举不一一列举 线性代数的核心在于矩阵的对角化（可理解的广一些，线性代数的核心在于矩阵的对角化（可理解的广一些，包括上三角化），主要手段：初等变换。包括上三角化），主要手段：初等变换。 行列式计算，解线性方程组，求矩阵的秩等都是用初行列式计算，解线性方程组，求矩阵的秩等都是用初等变换将行列式或矩阵化为对角形或上三角形（含阶梯等变换将行列式或矩阵化为对角形或上三角形（含阶梯型）。矩阵相似的标准形，实对称阵正交相似或合同于型）。矩阵相似的标

23、准形，实对称阵正交相似或合同于对角阵，化二次型为标准形，二次曲面的主轴化等都离对角阵，化二次型为标准形，二次曲面的主轴化等都离不开不开“ “对角化对角化” ”。五、讲授中的注意事项五、讲授中的注意事项1 1、行列式、行列式 行列式的定义行列式的定义 注意注意, , 行列式本质上是一个数，行列式本质上是一个数， 中各项符号的确定，中各项符号的确定，n4n4阶阶的行列式不能依通常的的行列式不能依通常的“ “对角线对角线” ”法则展开（初学者有法则展开（初学者有时犯这个错误）。时犯这个错误）。 行列式的性质行列式的性质 行列式的性质中如下三个是基本的：行列式的性质中如下三个是基本的： (a) (a)

24、 将行列式的某行（列）所有元素等同乘以数将行列式的某行（列）所有元素等同乘以数k k，等于等于用数用数 k k 乘以行列式；乘以行列式； (b) (b) 若行列式的某一行若行列式的某一行( (列）的元素都是两数之和，则此列）的元素都是两数之和，则此行列式等于两个行列式之和。行列式等于两个行列式之和。 以上两个性质称为以上两个性质称为行列式对行（列）的线性性行列式对行（列）的线性性。 (c) (c) 将行列式的任意两行（列）互换，行列式变号。将行列式的任意两行（列）互换，行列式变号。 上述性质称为行列式的上述性质称为行列式的“ “交错交错” ”性。性。 若再定义若再定义 ，那么行列式上述三个性质

25、与此，那么行列式上述三个性质与此定义就等价于我们教材中的一般的行列式定义。定义就等价于我们教材中的一般的行列式定义。 对行列式的行（列）作对行列式的行（列）作“ “消法变换不改变行列式消法变换不改变行列式” ”及及“ “依行（列）展开依行（列）展开” ”都是前三个性质的推论。不过这两都是前三个性质的推论。不过这两个性质在行列式计算中最常使用。个性质在行列式计算中最常使用。 作为教师应了解行列式定义与其性质间的本质关系。作为教师应了解行列式定义与其性质间的本质关系。 行列式计算行列式计算 行列式计算技巧性较强，可以归纳出很多方法，如简行列式计算技巧性较强，可以归纳出很多方法，如简化、变形、降阶、

26、递归、公式法、辅助函数法等，但核化、变形、降阶、递归、公式法、辅助函数法等，但核心是运用行列式的性质将行列式向上（下）三角形行列心是运用行列式的性质将行列式向上（下）三角形行列式转化。对于非数学专业的学生，不必追求技巧性较高式转化。对于非数学专业的学生，不必追求技巧性较高的行列式的计算，掌握一般的行列式计算方法即可。的行列式的计算，掌握一般的行列式计算方法即可。 2 2、矩阵、矩阵 矩阵的运算矩阵的运算 矩阵运算的难点在矩阵乘法，应加大练习使学生熟练掌矩阵运算的难点在矩阵乘法，应加大练习使学生熟练掌握乘法运算律。另外，矩阵乘法不满足交换律，即握乘法运算律。另外，矩阵乘法不满足交换律，即ABAB

27、未必未必等于等于BABA。消去律一般不成立，即消去律一般不成立，即ABAB= =ACAC, ,未必有未必有B B= =C C。 可逆矩阵可逆矩阵 定义可逆矩阵时，不能只要求定义可逆矩阵时，不能只要求 而不要求而不要求 因矩阵乘法不满足交换律，但判断方阵因矩阵乘法不满足交换律，但判断方阵AA是否可逆时，只是否可逆时，只要有方阵要有方阵B B使得使得 即可，但这应在证明了可逆矩阵的即可，但这应在证明了可逆矩阵的唯一性即可逆阵的行列式不为唯一性即可逆阵的行列式不为0 0之后方可这样做。之后方可这样做。 方阵方阵ABAB BABA，但可有但可有 矩阵的等价矩阵的等价 若若mm n n矩阵矩阵AA可经有

28、限次初等变换化为可经有限次初等变换化为B B，则称则称B B与与AA等价。等价。每一每一mm n n矩阵矩阵AA等价于等价于 （等价标准形），这里（等价标准形），这里r=rank(r=rank(AA) )。AA的等价标准形中的等价标准形中 r r 的大小由的大小由AA本身所唯一确定。本身所唯一确定。 一般说一般说, , 证明矩阵证明矩阵AA的等价标准形的唯一性需要用到的等价标准形的唯一性需要用到矩阵秩的概念。初学者有时会犯这样的错误，想当然地认矩阵秩的概念。初学者有时会犯这样的错误，想当然地认为矩阵标准形自然是唯一的。两个为矩阵标准形自然是唯一的。两个mm n n矩阵矩阵AA、B B，只要只要

29、等价标准形相同就等价，与秩没有关系。他们忽略了一点，等价标准形相同就等价，与秩没有关系。他们忽略了一点，等价标准形中对角线上等价标准形中对角线上1 1的个数是由秩确定的，否则无法的个数是由秩确定的，否则无法保证不同的初等变换程序所得的标准形相同。保证不同的初等变换程序所得的标准形相同。 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 用伴随阵可求逆矩阵，但这一方法太繁，故多用初等用伴随阵可求逆矩阵，但这一方法太繁，故多用初等变换法变换法 ，AA为为n n n n可逆阵。可逆阵。 为什么？首先，可逆矩阵等价于为什么？首先，可逆矩阵等价于 ，即，即 ， 为初等阵，则为初等阵，则 当对矩阵当对矩阵 作行初等变换将作行初等

30、变换将AA化为化为 时，时， 变变为为 3 3、向量组的线性相关性、向量组的线性相关性 如何引入如何引入n n维向量组的线性相关性维向量组的线性相关性 n n维向量组的线性相关性有些抽象，初学者不大好理解，维向量组的线性相关性有些抽象，初学者不大好理解，原因之一是缺少背景材料。原因之一是缺少背景材料。“ “平面（平面（2 2维空间）上两个向维空间）上两个向量线性相关当且仅当它们成比例量线性相关当且仅当它们成比例” ”可能是初学者仅有的实可能是初学者仅有的实感，将解析几何融入进来，有利于提供更多的实例。感，将解析几何融入进来，有利于提供更多的实例。（）3 3维空间中三个向量维空间中三个向量 共面

31、的充要条件是存在不共面的充要条件是存在不全为零的实数全为零的实数 k k、l l、m m ，使得使得 ，这一结论，这一结论用几何图解即可证明。用几何图解即可证明。 若若 是是3 3维空间中不共面的三个向量，则对任维空间中不共面的三个向量，则对任一向量一向量 ，存在唯一的一组实数，存在唯一的一组实数 k k、l l、m m ，使得：使得： 。这一结论用平行六面体图解即可证明。这一结论用平行六面体图解即可证明。 （）若先介绍线性方程组及）若先介绍线性方程组及GuassGuass消元法，被消去的多余的消元法，被消去的多余的方程的系数组成的向量与未被消去的方程的系数组成的向方程的系数组成的向量与未被消

32、去的方程的系数组成的向量组线性相关。量组线性相关。 教学中应注意学生在理解向量组线性相关性时易出现的教学中应注意学生在理解向量组线性相关性时易出现的一些错误，如：一些错误，如：（）若）若 可由可由 线性表示，则存在不全为零的数线性表示，则存在不全为零的数 使使 （）若）若 线性相关且数线性相关且数 满足满足 则则 不全为零，等等。不全为零，等等。 纠正这样错误时，应举一些反例，同时引导学生自己纠正这样错误时，应举一些反例，同时引导学生自己举反例。举反例。 向量组等价与矩阵等价向量组等价与矩阵等价。由于矩阵的秩等于其行（列）。由于矩阵的秩等于其行（列）向量组的秩，因而初学者常误认为判断两个向量组

33、是否等向量组的秩，因而初学者常误认为判断两个向量组是否等价可通过由这两组向量分别组成的矩阵是否等价来实现，价可通过由这两组向量分别组成的矩阵是否等价来实现，这是错误的，如：这是错误的，如： ， ， 与与 不等价，不等价，但矩阵但矩阵 与与 等价。等价。 4 4、线性方程组、线性方程组线性方程组的不同形式的表达式线性方程组的不同形式的表达式 （* *） 可写成可写成 , , 其中其中AA为（为（* *）的系数矩阵，）的系数矩阵， 即矩阵表达式。也可写成即矩阵表达式。也可写成 , , 其中其中 为为AA的第的第 i i 列，即方程组的向量表达式。列，即方程组的向量表达式。 矩阵表达式因用途广，教学

34、中都会讲清，但向量表达式矩阵表达式因用途广，教学中都会讲清，但向量表达式 常被忽略或较少提及。不过，向量表达式常可将向量组问题常被忽略或较少提及。不过，向量表达式常可将向量组问题与线性方程组问题相互转化，如：与线性方程组问题相互转化，如：例例1 1：已知：已知4 4阶方阵阶方阵 , ,其中其中 线性无关，线性无关， ，如，如 ，求非齐次线性方程组，求非齐次线性方程组 之通解。之通解。 解：线性方程组解：线性方程组 的向量表达式为的向量表达式为 （） 由由 知知 为为 的一个特解。的一个特解。 （）的导出组为：）的导出组为： ，由，由 知知 为导出组的一非零解。由于为导出组的一非零解。由于 ，故

35、，故 的基础解系可由的基础解系可由 组成，而组成，而 的通解为的通解为非齐次线性方程组的解的结构非齐次线性方程组的解的结构 非齐次线性方程组的解的集合构不成向量空间，但其通解非齐次线性方程组的解的集合构不成向量空间，但其通解也可通过它的一组线性无关的解向量表达出来。令也可通过它的一组线性无关的解向量表达出来。令 为任意含为任意含n n个未知量的非齐线性方程组，个未知量的非齐线性方程组， 为其一特解，为其一特解，设设 为其导出组为其导出组 的一个基础解系，则的一个基础解系，则 线性无关，且线性无关，且 的任一通解的任一通解 可写成可写成 ，且，且 线性方程组的应用线性方程组的应用 应用线性方程组

36、的解的结构理论可研究一些几何问题，如：应用线性方程组的解的结构理论可研究一些几何问题，如：例例2 2：平面上：平面上n n个点个点 , , 位于一条直线上的位于一条直线上的 充要条件是什么充要条件是什么 ？ 解：点解：点 ，位于同一条直线，位于同一条直线 存在常数存在常数k k、b b 使使 ，满足直线方程，满足直线方程 , , 即即 关于关于k k、b b的线性方程组的线性方程组 有解有解例例3 3：平面上：平面上n n条直线条直线 交于一点的充交于一点的充 要条件是什么？要条件是什么？ 解：解： 直线直线 ，交于一点，交于一点 线性方程组线性方程组 有唯一解有唯一解5 5、线性变换、线性变

37、换线性变换的矩阵表示线性变换的矩阵表示 非数学专业的线性代数对线性变换一般只引入概念、非数学专业的线性代数对线性变换一般只引入概念、运算、性质及矩阵表示，要注意的是：运算、性质及矩阵表示，要注意的是： 固定固定n n维向量空间的一个基底，任一线性变换有唯一的维向量空间的一个基底，任一线性变换有唯一的矩阵表示。换言之，对固定的基底而言，线性变换与矩阵表示。换言之，对固定的基底而言，线性变换与n n阶阶方阵方阵1111对应。但基底不同，矩阵表示可能不同。若在对应。但基底不同，矩阵表示可能不同。若在 中取定两个基底：中取定两个基底： , ,设设 上的上的线性变换线性变换 在这两个基底上的表示矩阵分列

38、为在这两个基底上的表示矩阵分列为AA与与B B，则则 ，其中，其中T T为基底为基底 到到 的过渡阵。的过渡阵。 也就是说同一线性变换在不同基底上的表示矩阵是相也就是说同一线性变换在不同基底上的表示矩阵是相似的，因而，似的，因而， 上的线性变换与上的线性变换与n n阶方阵的一个相似类阶方阵的一个相似类1111对应。对应。6 6、特征值与特征向量、特征值与特征向量特征值、特征向量的引入特征值、特征向量的引入 初学者对线性变换（或初学者对线性变换（或n n阶方阵）的特征值、特征向量的阶方阵）的特征值、特征向量的概念常感到茫然，不知道这些概念的背景。概念常感到茫然，不知道这些概念的背景。 说说A A

39、是是 的线性变换，的线性变换， 是是F F中的一个数，如果在中的一个数，如果在 中存在非零向量中存在非零向量 ，使得，使得 ，则称，则称 为为A A的一个特的一个特征值，称征值，称 为为A A的属于的属于 的特征向量。的特征向量。 此定义中向量此定义中向量 的要求必不可少，否则，对任意的要求必不可少，否则，对任意 总有总有 ，“ “特征特征” ”二字无从谈起。二字无从谈起。 研究一个线性变换，我们希望找到它的一些不变量，这研究一个线性变换，我们希望找到它的一些不变量，这有利于对它的刻划。有利于对它的刻划。A A的一个特征向量就是它的几乎不变量。的一个特征向量就是它的几乎不变量。事实上由事实上由

40、 张成的张成的1 1维子空间就是维子空间就是A A的不变子空间。在的不变子空间。在3 3维空维空间中，间中，A A的特征向量就是这样一些非零向量的特征向量就是这样一些非零向量 ， 与与 平行。平行。 一些实际问题的例子一些实际问题的例子一些实际问题的例子一些实际问题的例子：令：令 是实域是实域R R上的可微函数，上的可微函数，DD为求导变换，为求导变换， ，即，即 是许是许多生物现象，物理现象，经济规律都满足的方程。多生物现象，物理现象，经济规律都满足的方程。特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 （）AA为为n n阶方阵，阶方阵， 与与 有相同的特征值，但特征向量未有相同的特征值，但特

41、征向量未必相同，如必相同，如 （） 为为n n阶可逆方阵阶可逆方阵AA的特征值，则的特征值，则 ， 为为 的特的特征值，征值， 为为 的特征值，且属于的特征值，且属于 的的AA的特征向量的特征向量 也分也分别是别是 的属于的属于 的特征向量和的特征向量和 的属于的属于 的特征向的特征向量。量。 （） 是是n n阶方阵阶方阵AA的特征值，则对任意多项式的特征值，则对任意多项式 ， 是是 的特征值。的特征值。 （） 为可逆方阵为可逆方阵AA的属于的属于 的特征向量，则的特征向量，则 为为 的的属于属于 的特征向量。的特征向量。方阵对角化（相似）的条件方阵对角化（相似）的条件 判断一判断一 n n阶

42、方阵能否相似于对角阵的条件较多，如阶方阵能否相似于对角阵的条件较多，如“ “一一 n n阶方阵阶方阵AA有有n n个互异的特征值。则个互异的特征值。则AA可相似于对角阵可相似于对角阵” ”等。等。但最基本的判定准则是但最基本的判定准则是“ “n n阶方阵阶方阵AA有有n n个线性无关的特征个线性无关的特征向量向量” ”（* *），其他的判定法则都是从这一准则推出来的。），其他的判定法则都是从这一准则推出来的。即使是即使是“ “AA可相似对角化当且仅当可相似对角化当且仅当AA的每一特征值的每一特征值 的几何重数与代数重数相同的几何重数与代数重数相同” ”也是基于（也是基于（* *）得到的。因）得

43、到的。因而在教学中应将（而在教学中应将（* *）作为最基本的内容讲授。）作为最基本的内容讲授。n n阶方阵非零特征值的个数与秩阶方阵非零特征值的个数与秩 n n阶方阵非零特征值的个数与秩一般并不相同，如阶方阵非零特征值的个数与秩一般并不相同，如 的非零特征值的个数为的非零特征值的个数为0 0，而秩为，而秩为1 1。 对于可相似于对角阵的对于可相似于对角阵的n n阶方阵，非零特征值的个数阶方阵，非零特征值的个数( (重重根按重数计算根按重数计算) )等于其秩。等于其秩。 二次型二次型标准形的唯一性问题二次型标准形的唯一性问题 一个一个n n元实二次型元实二次型 经不同的可逆线经不同的可逆线性变换

44、可得到不同的标准形，因而标准形一般不唯一，这性变换可得到不同的标准形，因而标准形一般不唯一，这才需要才需要“ “惯性定理惯性定理” ”来描述来描述 在可逆线性变换在可逆线性变换下的不变量。但下的不变量。但n n元实二次型经正交变换得到的标准形，元实二次型经正交变换得到的标准形，其平方项的系数必为矩阵其平方项的系数必为矩阵AA（实对称阵）的特征值，因而实对称阵）的特征值，因而在不计变量的顺序时，该标准形唯一，但前提是所用的变在不计变量的顺序时，该标准形唯一，但前提是所用的变换为正交变换。换为正交变换。化二次型为标准形的方法化二次型为标准形的方法 化二次型为标准形（也为实对称阵合同为对角阵）的方化

45、二次型为标准形（也为实对称阵合同为对角阵）的方法，一般有三种：配平方法，正交变换法，成对初等变换法，一般有三种：配平方法，正交变换法，成对初等变换法。过去的工科数学教材中对第三种方法不大介绍，主要法。过去的工科数学教材中对第三种方法不大介绍，主要强调正交变换的方法。强调正交变换的方法。 正交变换的方法当然优点很多：正交变换的方法当然优点很多：（1 1）若）若 , , 当当T T为正交阵时，为正交阵时，B B与与AA相似且合同；（相似且合同；（2 2）便于应用于）便于应用于二次曲面的分类。但二次曲面的分类。但“ “成对初等变换法成对初等变换法” ”也有实用、方也有实用、方便的优点（求实对称阵的特征值及正交的特征向量都非便的优点（求实对称阵的特征值及正交的特征向量都非易事），而且当把易事），而且当把AA化为对角阵化为对角阵D D时，时，P P也同时求出也同时求出 。 设设 ，这里，这里 为初等阵。构造一个为初等阵。构造一个n n 2n2n的矩的矩阵阵 ，对，对AA施以初等行变换时，对施以初等行变换时，对 也施以同样也施以同样的初等行变换，而对的初等行变换，而对AA施以同样的初等列变换时，不涉施以同样的初等列变换时，不涉及及 。此时，我们有。此时，我们有 当当AA变为变为D D时，时， 变为变为 ，将，将 转置得到可逆阵转置得到可逆阵P P. .