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1、第第八八讲讲 向向量量组组的的线线性性关关系系 主要内容主要内容v 维向量、向量组的概念维向量、向量组的概念v线性组合与线性表示；线性组合与线性表示；v线性相关与线性无关；线性相关与线性无关；v向量组线性相关性的重要结论向量组线性相关性的重要结论. 基本要求基本要求v理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能理解向量组的线性组合的概念，理解一个向量能 由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与由一个向量组线性表示的概念并熟悉这一概念与 线性方程组的联系；线性方程组的联系；v理解理解 维向量的概念，理解向量组的概念及向量维向量的概念，理解向量组的概念及向量 组与矩阵的对应；组与矩阵的对应；1v理
2、解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩理解向量组能由向量组线性表示的概念及其矩 阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系阵表示式，知道这一概念与矩阵方程的联系. 知道两个向量组等价的概念；知道两个向量组等价的概念；v理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟理解向量组线性相关、线性无关的概念，并熟 悉这一概念与齐次线性方程组的联系悉这一概念与齐次线性方程组的联系.2一、一、 维向量维向量第第一一节节 向向量量组组及及其其线线性性组组合合定义定义 个有次序的数个有次序的数 所组成的数组所组成的数组称为称为 维向量维向量， 这这 个数称为该向量的个数称为该向量的 个个分量分量，第，第 个数个数 称为称
3、为第第 个分量个分量.说明说明向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量向量分为实向量和复向量，分量全为实数的向量 称为称为实向量实向量，分量全为复数的向量称为，分量全为复数的向量称为复向量复向量. 个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成个数组成的有序数组可以写一行，也可以写成 一列，写成一行称为一列，写成一行称为行向量行向量，写成一列称为，写成一列称为列向列向 量量，也就是行矩阵和列矩阵，也就是行矩阵和列矩阵. 规定行向量和列向量规定行向量和列向量都按矩阵的运算规则进行运算都按矩阵的运算规则进行运算.3分量对应相同的列向量和行向量分量对应相同的列向量和行向量按定义是同一个向量，但是总看作是
4、两个不同按定义是同一个向量，但是总看作是两个不同的向量的向量.列向量常用小写黑体字母列向量常用小写黑体字母 表示，或用表示，或用 希腊字母希腊字母 表示表示. 行向量则用列向量行向量则用列向量 的转置表示的转置表示. 如如4“向量向量”几何术语，可以说，本章是介绍线性代几何术语，可以说，本章是介绍线性代数的几何理论数的几何理论. 把线性方程组的理论、矩阵理论把线性方程组的理论、矩阵理论“翻翻译译”成几何语言成几何语言.可以把有向线段作为可以把有向线段作为 维向量的几何形象，维向量的几何形象，但是当但是当 时，时， 维向量就不再有这种几何形象了维向量就不再有这种几何形象了.点的集合通常称为点的集
5、合通常称为“空间空间”，引入坐标系后，点的，引入坐标系后，点的坐标与向量之间有一一对应关系，因此坐标与向量之间有一一对应关系，因此,某些向量某些向量的集合称为的集合称为向量空间向量空间，沿用几何术语，如，沿用几何术语，如3维空间维空间3维向量空间维向量空间53维空间中的一个平面维空间中的一个平面3维向量空间中的一个平面维向量空间中的一个平面 维向量空间维向量空间 维向量空间中的一个超平面维向量空间中的一个超平面6二、向量组二、向量组1.定义定义 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做所组成的集合叫做向量组向量组.例如例如一个一个 矩阵的
6、全体列向量就是一个含矩阵的全体列向量就是一个含 个个 维维 列向量的向量组；列向量的向量组；一个一个 矩阵的全体行向量就是一个含矩阵的全体行向量就是一个含 个个 维维 行向量的向量组；行向量的向量组；方程方程 的全体解是一个的全体解是一个 维列向量组成维列向量组成 的向量组的向量组.注意注意 向量组可以是含有有限个向量，也可以是含向量组可以是含有有限个向量，也可以是含 有无限个向量有无限个向量.72.含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系含有限个向量的有序向量组与矩阵的联系 矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个矩阵的列向量组和行向量组都是只含有限个向量的向量组；反之，一个含有有限个向量的向量的
7、向量组；反之，一个含有有限个向量的向量组总可以构成一个矩阵向量组总可以构成一个矩阵.列向量组列向量组行向量组行向量组所以，所以， 含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应.8三、向量组的线性组合三、向量组的线性组合定义定义 给定向量组给定向量组 ，对于任何一组，对于任何一组实数实数 ，表达式，表达式称为向量组称为向量组 的一个的一个线性组合线性组合， 称为这称为这个个线性组合的系数线性组合的系数.说明说明向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式向量组的线性组合就是向量的线性运算的表达式.线性组合的系数可以是任意实数线性组合的系数可以是任意实数.9四、线性表
8、示的概念四、线性表示的概念定义定义 给定向量组给定向量组 和向量和向量 ，如果如果存在一组数存在一组数 ，使得，使得即即 是向量组是向量组 的线性组合，则称向量的线性组合，则称向量 能由向量能由向量组组 线性表示线性表示.定义定义 设有两个向量组设有两个向量组 和和 ， 如果向量组如果向量组 中的每个向量都能由向量组中的每个向量都能由向量组线性表示，则称线性表示，则称向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示.如果向量组如果向量组 与向量组与向量组 能互相线性表示，则称这能互相线性表示，则称这两个两个向量组等价向量组等价.10说明说明向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示，就是存线
9、性表示，就是存 在在 ，使，使也就是线性方程也就是线性方程 有解有解. 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性线性 表示，就是存在表示，就是存在 组数组数使得使得11记作记作其中矩阵其中矩阵 称为这一线性表示的称为这一线性表示的系数矩阵系数矩阵.即向量组即向量组 能由向量组能由向量组 线线性表示，就是存在矩阵性表示，就是存在矩阵 ，使得，使得也就是矩阵方程也就是矩阵方程 有解有解. 这就是向量组这就是向量组 由向由向量组量组 线性表示的线性表示的矩阵表示式矩阵表示式.12若若 ， 则矩阵则矩阵 的列向量组能由的列向量组能由矩阵矩阵 的列向量组线性表示，的列向量组线性表示， 为这一表示的系为这
10、一表示的系数矩阵：数矩阵：同样地，矩阵同样地，矩阵 的行向量组能由矩阵的行向量组能由矩阵 的行向量组的行向量组线性表示，线性表示， 为这一表示的系数矩阵：为这一表示的系数矩阵：13若矩阵若矩阵 与矩阵与矩阵 行等价，则行等价，则 的行向量组与的行向量组与 的行向量组等价；的行向量组等价； 若矩阵若矩阵 与矩阵与矩阵 列等价，则列等价，则 的列向量组与的列向量组与 的列向量组等价的列向量组等价.证证矩阵矩阵 与矩阵与矩阵 行等价行等价存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ，使得，使得 的行向量组能由的行向量组能由 的行向量组线性表示；的行向量组线性表示；矩阵矩阵 与矩阵与矩阵 行等价行等价存在可逆矩阵存在可
11、逆矩阵 ，使得，使得 的行向量组能由的行向量组能由 的行向量组线性表示的行向量组线性表示.14五、线性表示与方程的联系五、线性表示与方程的联系根据以上说明，线性表示与方程的联系为：根据以上说明，线性表示与方程的联系为：向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示线性方程线性方程 有解有解.向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示矩阵方程矩阵方程 有解有解.向量组向量组 与向量组与向量组 等价等价矩阵方程矩阵方程 有解有解,而且矩阵方程而且矩阵方程 也有解也有解.15六、线性表示的判定六、线性表示的判定定理定理1 向量向量 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示的充分必要条件是矩
12、阵的充分必要条件是矩阵 的秩等的秩等于矩阵于矩阵 的秩的秩.定理定理2 向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示的充分必要条件是矩阵线性表示的充分必要条件是矩阵 的秩等于矩阵的秩等于矩阵 的秩，的秩，即即推论推论 向量组向量组 与向量组与向量组 等价等价的充分必要条件是的充分必要条件是其中其中 和和 分别时向量组分别时向量组 和和 所构成的矩阵所构成的矩阵.根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得根据线性表示与方程的联系和方程组的理论，得证明证明（上章定理（上章定理5）（上章定理（上章定理7）16例例1 设设证明向量证明向量 能由向量组能由向量组 线性表示，并求线性表示，并求出表示式出表
13、示式.解解 析：此题的目的是运用定理析：此题的目的是运用定理1证明向量能否由一证明向量能否由一个向量组线性表示，另外，此题涉及个向量组线性表示，另外，此题涉及线性表示式线性表示式的的求法求法. 由定义知，向量由定义知，向量 能由向量组能由向量组 线性线性表示表示 方程方程 有解，即有解，即 有解，有解， 这表明这表明 由向量组由向量组 线性表示的表线性表示的表示式与方程示式与方程 的解是一一对应的的解是一一对应的.例例题题讲讲解解17记记可见可见因此，向量因此，向量 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示.例例题题讲讲解解18由上述行最简形，可得方由上述行最简形，可得方程程 的的通解为通解为因
14、而，所求的表示式为因而，所求的表示式为例例题题讲讲解解19证明向量组证明向量组 与向量组与向量组 等价等价.例例2 设设证证例例题题讲讲解解析：此题的目的是运用定理析：此题的目的是运用定理2的推论来证明两的推论来证明两向量组等价向量组等价.记记20例例题题讲讲解解而且而且由以上可见由以上可见因此，向量组因此，向量组 与向量组与向量组 等价等价.21说明说明定理定理2的有力、简洁之处在于它把下述两个问题的有力、简洁之处在于它把下述两个问题等价起来：等价起来：向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示前者是抽象的前者是抽象的 维向量空间维向量空间 中的问题，而后者中的问题，而后者则是具体
15、的，可程式化计算的问题则是具体的，可程式化计算的问题.关系式关系式 仅给出向量组仅给出向量组 与向量组与向量组 等价的信息，如果要解决它们是如何等价的信息，如果要解决它们是如何相互线性表示的，即要求出相互线性表示的，即要求出 组与组与 组相互表示组相互表示的系数矩阵，亦即要求矩阵方程的系数矩阵，亦即要求矩阵方程 与与 ，需进一步求矩阵，需进一步求矩阵 或或 的行的行最简形最简形.22例例题题讲讲解解例例3 （定理（定理3） 设向量组设向量组 能由向量能由向量组组 线性表示，则线性表示，则证证记记能由向量组能由向量组 线性表示线性表示（由定理（由定理2）（由矩阵的秩的性质）（由矩阵的秩的性质）说
16、明说明此定理可上章定理此定理可上章定理8对应对应.存在存在 ，使得，使得 ，从而由上章定理，从而由上章定理8，有有23定理定理1与上章定理与上章定理5对应、定理对应、定理2与上章定理与上章定理7对应、定理对应、定理3与上章定理与上章定理8对应，这些对应关系，对应，这些对应关系，是以向量组与矩阵的对应关系为基础的，反映出是以向量组与矩阵的对应关系为基础的，反映出方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间可以转方程语言、矩阵语言、几何语言三者之间可以转换，例如：换，例如：可作如下的解释可作如下的解释:矩阵语言：矩阵语言：方程语言：方程语言： 是是 与与 的乘积矩阵；的乘积矩阵； 是矩阵方程是矩阵方程 的
17、一个解；的一个解；几何语言：几何语言：向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示，线性表示，是这一表示的系数矩阵是这一表示的系数矩阵.24例例题题讲讲解解例例4 设设 维向量组维向量组 构成构成 矩阵矩阵 ， 阶单位矩阵阶单位矩阵 的列向量组叫做的列向量组叫做 维维单位坐标向量组单位坐标向量组. 证明证明 维单维单位坐标向量组位坐标向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示的充要条件是的充要条件是证证能由向量组能由向量组 线性表示线性表示（由定理（由定理2）而而且且所以所以因此因此25说明说明本例有两方面的意义：本例有两方面的意义： 中任一向量组中任一向量组 都能由都能由 组线性表示，反
18、过组线性表示，反过来，如果来，如果 组能由向量组组能由向量组 线性表示，那么线性表示，那么 组组应满足是么条件呢，本例给出了它的充要条件应满足是么条件呢，本例给出了它的充要条件.当当 为为 阶方阵时，矩阵方程阶方阵时，矩阵方程 有解的有解的充要条件是充要条件是 可逆，即可逆，即 为满秩矩阵为满秩矩阵 ，且其唯一解：且其唯一解：本例本例“翻译翻译”成其它语言为：成其它语言为：方程语言：方程语言：方程方程 有解的充要条件为有解的充要条件为即即 的秩等于的秩等于 的行数（称为的行数（称为行满秩矩阵行满秩矩阵）.26矩阵语言：矩阵语言：存在矩阵存在矩阵 使使 的充要条件的充要条件是是 ；存在矩阵存在矩
19、阵 使使 的充要条件的充要条件是是 .显然，当显然，当 时，时， 就是就是 的逆阵，因此，的逆阵，因此，上述的结论可以看作逆阵概念的推广上述的结论可以看作逆阵概念的推广.27七、小结七、小结v掌握几何语言，即掌握本章中的概念（定义）是掌握几何语言，即掌握本章中的概念（定义）是 学好本章的关键学好本章的关键.v方程组理论是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建方程组理论是在矩阵运算和矩阵的秩的基础上建 立起来的，几何的基本元素是向量，而向量组可立起来的，几何的基本元素是向量，而向量组可 等同于矩阵，因此，矩阵是连结方程组理论与几等同于矩阵，因此，矩阵是连结方程组理论与几 何理论的纽带，又是解决问题是最常
20、用的方法何理论的纽带，又是解决问题是最常用的方法.v两个矩阵等价与两个向量组等价的区别和联系：两个矩阵等价与两个向量组等价的区别和联系：区别：区别：两个同型矩阵两个同型矩阵 与与 等价是指等价是指 可经过有可经过有限次初等变换变成限次初等变换变成 ，两个不同型矩阵是无所谓，两个不同型矩阵是无所谓等价的；两个向量组等价是指它们能够相互线性等价的；两个向量组等价是指它们能够相互线性表示，它们各自所含向量的个数可以不一样表示，它们各自所含向量的个数可以不一样.28联系：联系：若若 与与 行等价，则行等价，则 与与 的行向量组等的行向量组等价；若价；若 与与 列等价，则列等价，则 与与 的列向量等价；
21、的列向量等价；若若 与与 等价但非行等价也非列等价，则等价但非行等价也非列等价，则 与与 的行向量组与列向量组都不等价的行向量组与列向量组都不等价.反过来，设两个向量组等价，若它们所含向量个反过来，设两个向量组等价，若它们所含向量个数不相同，则它们对应的两个矩阵不同型，显然数不相同，则它们对应的两个矩阵不同型，显然不等价；若它们所含个数相同，则它们对应的两不等价；若它们所含个数相同，则它们对应的两个矩阵列等价，但不一定行等价个矩阵列等价，但不一定行等价.29一、线性相关与线性无关的概念一、线性相关与线性无关的概念第第二二节节 向向量量组组的的线线性性相相关关性性定义定义 给定向量组给定向量组
22、，如果，如果存在存在不全不全为零的数为零的数 ，使，使则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无关.说明说明说向量组说向量组 线性相关，通常是指线性相关，通常是指 的情形，但上述定义也适用的情形，但上述定义也适用 的情形：的情形：当当 时，向量组只含一个向量时，向量组只含一个向量. 向量组向量组 ，当，当 时是线性相关的，当时是线性相关的，当 时是线性无关的时是线性无关的.向量组向量组 线性无关，就是线性无关，就是不存在不存在不全不全 为零的数为零的数 ，使，使30换句话说：若向量组换句话说：若向量组 线性无关，且线性无关，且则则零向量可以是任何向量组的线
23、性组合：零向量可以是任何向量组的线性组合：如果组合系数可以不全为零，则如果组合系数可以不全为零，则 线性线性相关；如果组合系数必须全为零，则相关；如果组合系数必须全为零，则线性无关线性无关.若向量组若向量组 线性相关，则存在不全为线性相关，则存在不全为 零的数零的数 ，使，使不妨设不妨设 ，则有，则有31所以，所以，若向量组若向量组 线性相关，则线性相关，则 中至少有一个向量能由其余中至少有一个向量能由其余 个向量线性个向量线性表示表示. 此结论反之也成立：此结论反之也成立：若向量组若向量组 中某个向量能有其余中某个向量能有其余 个个向量线性表示，则向量组向量线性表示，则向量组 线性相关线性相
24、关.存在不全为零的数存在不全为零的数 ，使，使就是方程组就是方程组 有非零解有非零解.证明证明32二、线性相关与齐次方程组的联系二、线性相关与齐次方程组的联系v 向量组向量组 线性相关线性相关齐次线性方程组齐次线性方程组有非零解有非零解.v 向量组向量组 线性无关线性无关齐次线性方程组齐次线性方程组只有零解只有零解.33三、线性相关与线性无关的判定三、线性相关与线性无关的判定定理定理4 向量组向量组 线性相关线性相关的充要条件的充要条件是它所构成的矩阵是它所构成的矩阵 的秩的秩小于小于向向量个数量个数 ，即，即 ；向量组；向量组 线线性无关性无关的充要条件是它所构成的矩阵的秩的充要条件是它所构
25、成的矩阵的秩等于等于向量向量个数个数 ，即，即 .34例例题题讲讲解解例例5 试讨论试讨论 维单位坐标向量组的线性相关性维单位坐标向量组的线性相关性.解解 析：此例题的目的是运用定理析：此例题的目的是运用定理4，给出单位，给出单位坐标向量组的线性相关性坐标向量组的线性相关性.维单位坐标向量组维单位坐标向量组它所构成的矩阵是它所构成的矩阵是 阶单位矩阵阶单位矩阵由由知知所以所以维单位坐标向量组线性无关维单位坐标向量组线性无关.35例例6 已知已知 试讨论向量组试讨论向量组 及向量组及向量组 的线性相关性的线性相关性.证证析：此题是一个具体问题，根据定理析：此题是一个具体问题，根据定理4，需，需要
26、计算要计算 和和 .由此可见由此可见所以所以线性相关；线性相关；线性无关线性无关.例例题题讲讲解解36例例题题讲讲解解注意：注意：可见可见所以所以向量组向量组 线性相关；线性相关； 向量组向量组 线性无关线性无关.37例例7 已知向量组已知向量组 线性无关，线性无关， 试证向量组试证向量组 线线性无关性无关.证证 析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无析：此例具有典型意义，它讨论在给定线性无关的向量组关的向量组 的条件下，由它们的若干个线性组合的条件下，由它们的若干个线性组合所构成的向量组所构成的向量组 的线性相关性的线性相关性. 对于这一类未给出分量数值对于这一类未给出分量数值的向量组的线
27、性相关性下面给出三种方法，都具有的向量组的线性相关性下面给出三种方法，都具有一般意义一般意义. 因因 组向量没有组向量没有具体给出它们的分量，故不能具体计算出具体给出它们的分量，故不能具体计算出 组向量，组向量，也就无从通过初等行变换等方法求也就无从通过初等行变换等方法求 组的秩，进而组的秩，进而判定它是否线性相关判定它是否线性相关. 例例题题讲讲解解38证一证一 设有设有 使使 即即亦即亦即因因 线性无关，故有线性无关，故有由于此方程组的系数行列式由于此方程组的系数行列式例例题题讲讲解解39故方程组只有零解故方程组只有零解 ，所以向量组，所以向量组 线性无关线性无关.例例题题讲讲解解证二证二
28、设设即有即有 因为矩阵因为矩阵 的列向量的列向量组线性无关，所以可推知组线性无关，所以可推知又因又因 知方程组知方程组 只有零解只有零解所以矩阵所以矩阵 的列向量组的列向量组 线性无关线性无关.40例例题题讲讲解解证三证三因为因为可知可知 可逆，可逆， 因此因此 与与 列等价，列等价，从而有从而有又矩阵又矩阵 的列向量组线性无关，的列向量组线性无关，所以所以因而因而所以矩阵所以矩阵 的列向量组的列向量组 线性无关线性无关.（由定理（由定理4）（由定理（由定理4）41说明说明证二与证三更多地使用矩阵语言，是两种最基本证二与证三更多地使用矩阵语言，是两种最基本 而奏效的方法而奏效的方法.证一是把证
29、明向量组证一是把证明向量组 线性无关转化为证明齐次线性无关转化为证明齐次 方程组方程组 只有零解，这是讨论只有零解，这是讨论 向量组线性相关性时常用的向量组线性相关性时常用的“标准程序标准程序”.然后完全然后完全 用方程的语言证得结论用方程的语言证得结论.证二是先写出证二是先写出 组由组由 组线性表示的矩阵表示式，组线性表示的矩阵表示式， 或或然后把证一的步骤全用矩阵语言来表述然后把证一的步骤全用矩阵语言来表述.证三是利用定理证三是利用定理4，实现向量组线性无关与矩阵，实现向量组线性无关与矩阵 的秩的直接转换（不用方程作过渡）的秩的直接转换（不用方程作过渡）.42四、向量组线性相关性的其它重要
30、结论四、向量组线性相关性的其它重要结论1.向量组向量组 线性相关的充要条线性相关的充要条2.件是存在某个向量件是存在某个向量 ，使，使 能由能由其余其余3. 个向量线性表示个向量线性表示.2. （定理（定理5）（）若向量组）若向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 组组 也线性相关也线性相关.（） 个个 维向量组成的向量组，当维向量组成的向量组，当 时时一定线性相关一定线性相关.（）设向量组）设向量组 线性无关，而向线性无关，而向量组量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 必能由必能由向量组向量组 线性表示，且表示式是唯一的线性表示，且表示式是唯一的.证明证明证明证明证明证明43说明说明定理
31、定理5（）表明，线性相关的向量组添加向量）表明，线性相关的向量组添加向量 后，仍然是线性相关的后，仍然是线性相关的. 特别地，含有零向量的特别地，含有零向量的 向量组线性相关向量组线性相关. 反之，线性无关的向量组减少反之，线性无关的向量组减少 向量后，仍然是线性无关的向量后，仍然是线性无关的.结论结论1表明线性相关的向量组中的向量不是表明线性相关的向量组中的向量不是“独独 立立”的的. 相应地，向量组相应地，向量组 线性无关的充要条件线性无关的充要条件是是 中任意一个向量均不能由其余向量线性表中任意一个向量均不能由其余向量线性表示示. 这形象地表明，线性无关的向量组中的向量这形象地表明，线性
32、无关的向量组中的向量“谁也表示不了谁谁也表示不了谁”.定理定理5（）表明，向量个数超过向量维数向量）表明，向量个数超过向量维数向量 组线性相关组线性相关. 特别地，在平面中找不到三个线性特别地，在平面中找不到三个线性 无关的向量，在无关的向量，在 维超平面中找不到维超平面中找不到 个线性个线性 无关的向量无关的向量.44例例题题讲讲解解例例8 设向量组设向量组 线性相关，向量组线性相关，向量组线性无关，证明线性无关，证明（1） 能由能由 线性表示；线性表示；（2） 不能由不能由 线性表示线性表示.证证（1）因为）因为 线性无关，则线性无关，则 线性无关，线性无关，又又 线性相关，线性相关， 因
33、此因此 能由能由 线性表示线性表示.（2） 用反证法用反证法 假设假设 能由能由 线性表示，即线性表示，即存在存在 ，使，使又由（又由（1）知存在）知存在 ，使，使从而有从而有这与这与 线性无关矛盾线性无关矛盾.45（2）方法二）方法二线性相关线性相关线性无关线性无关而而从而有从而有由此可知，方程组由此可知，方程组 无解，无解，即即 不能由不能由 线性表示线性表示.46例例题题讲讲解解例例9 设向量组设向量组 ，向量组，向量组 ，其中，其中(1)证明向量组证明向量组 与与 等价；等价；(2)求向量组求向量组 向量向量组组 的相互线性表示的表示式的相互线性表示的表示式.解解 析：先解析：先解(2
34、)，若，若(2)已解出，已解出，(1)自然成立自然成立.47于是于是因此因此 与与 同解，同解，也就是也就是 与与 有相同的线性关系，有相同的线性关系，由最后的行最简形，易知由最后的行最简形，易知例例题题讲讲解解48因而，向量组因而，向量组 能由向量组能由向量组 线性表示为线性表示为其中，矩阵其中，矩阵因此因此即即12由由 、 知，知，12向量组向量组 与与 等价等价.例例题题讲讲解解49五、小结五、小结v向量组线性相关、线性无关的几何解释，先以向量组线性相关、线性无关的几何解释，先以 3维向量维向量 为例：为例：情形情形1： 向量向量 在同一条直线上在同一条直线上共线共线 （由定义）（由定义
35、）存在实数存在实数 ，使，使 ，即两向量分量，即两向量分量对应成比例对应成比例 （几何事实）（几何事实）存在不全为零的数存在不全为零的数 ，使，使向量组向量组 线性相关线性相关 （线性相关的定义）（线性相关的定义）因此，形象地看，因此，形象地看， 线性相关线性相关共线共线.50情形情形2：向量向量 不在同一条直线上不在同一条直线上向量向量 确定了唯一的一张通过原点确定了唯一的一张通过原点的平面的平面（几何事实）（几何事实）对任意不全为零的实数对任意不全为零的实数 ，总有，总有（向量和的三角形法则）（向量和的三角形法则）若有成立若有成立 ，则必有，则必有 向量组线性无关向量组线性无关. （线性无
36、关的定义）（线性无关的定义）因此，形象地看，因此，形象地看， 线性无关线性无关不共线不共线.51类似地，有类似地，有3维向量维向量 线性相关线性相关 共面；共面；3维向量维向量 线性无关线性无关 不共面；不共面； 维向量维向量 线性相关线性相关 共一个共一个 维超平面维超平面. 维向量维向量 线性无关线性无关 不在同一不在同一 维超平面维超平面.52v矩阵的初等行变换对矩阵的行量组和列向量组矩阵的初等行变换对矩阵的行量组和列向量组 的作用：的作用：设矩阵设矩阵 经初等行变换变成经初等行变换变成 矩阵矩阵 与与 的的行向量组行向量组等价，即它们能相互线等价，即它们能相互线 性表示，所以齐次方程性
37、表示，所以齐次方程 与与 同解，同解， 这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础这是用初等行变换求解线性方程组的理论基础.矩阵矩阵 与与 的的列向量组列向量组有相同的线性关系，这有相同的线性关系，这 是用初等行变换求向量组的最大无关组，并将是用初等行变换求向量组的最大无关组，并将 其余向量用最大无关组线性表示的理论基础其余向量用最大无关组线性表示的理论基础.53v向量组向量组 与向量组与向量组 有相同的线性关系是指有相同的线性关系是指 与与 一一对应；一一对应； 的任一部分组的任一部分组 具有某种线性具有某种线性关系，对应的关系，对应的 的部分组的部分组 也有相同也有相同的线性关系的线性关系.
38、54作业：作业： P108 1. 3. 4. 5. 7. 11. 12. 55定理定理2推论的证明推论的证明证证向量组向量组 与向量组与向量组 等价等价向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性线性表示表示向量组向量组 与向量组与向量组 等价等价向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性线性表示表示又因为又因为因此因此 证毕证毕（由定理（由定理2）（由定理（由定理2）56若向量组若向量组 中某个向量能有其余中某个向量能有其余 个个向量线性表示，则向量组向量线性表示，则向量组 线性相关线性相关.证证向量线性表示，向量线性表示，向量组向量组 中某个向量能有其余中某个向量能有其余 个个 不妨设不妨设 能
39、由能由 线线性表示，性表示，即存在即存在 使使于是于是向量组向量组 线性相关线性相关.证毕证毕显然显然 个数个数 不全为零，所以不全为零，所以57证证向量组向量组 线性相关，线性相关，则存在不全为零的则存在不全为零的 个数个数 ，使，使则有则有显然显然 不全为令，不全为令， 所以所以向量组向量组 线性相关线性相关.（由定义）（由定义）若向量组若向量组 线性相关，则向量组线性相关，则向量组 也线性相关也线性相关.58向量组向量组 线性相关线性相关.向量组向量组 线性相关线性相关.证毕证毕59 个个 维向量组成的向量组，维向量组成的向量组，当当 时一定线性相关时一定线性相关.证证 设有设有 个个 维向量维向量记记当当 时，则有时，则有因此因此线性相关线性相关.证毕证毕60设向量组设向量组 线性无关，而向量组线性无关，而向量组 线性相关，则向量线性相关，则向量 必能由向必能由向量组量组 线性表示，且表示式是唯一的线性表示，且表示式是唯一的.证证 记记因为因为 线性无关，所以线性无关，所以因为因为 线性无关，所以线性无关，所以又又故有故有因此因此因而方程组因而方程组 有唯一解，即有有唯一解，即有 能由向量组能由向量组 线性表示，且表示式是唯一的线性表示，且表示式是唯一的.证毕证毕61
