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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版2对函数的进一步认识2.1函数概念问题引航引航1.1.用集合的用集合的观点是怎点是怎样定定义函数的函数的? ?2.2.如何用区如何用区间来表示某些集合来表示某些集合? ?1.1.函数的有关概念函数的有关概念(1)(1)定定义：非空数集非空数集任何任何一个数一个数x x唯一确定的数唯一确定的数f(x)f(x)对应关系对应关系f fAB, AB, y=f(x),xAy=f(x),xA(2)(2)相关名称：相关名称：自自变量是量是_._.函数的定函数的定义域是域是_._.函数的函数的值域是集合域是集合_._.x x集合集合A Af(x)|xAf(x)|xA定定义名
2、称名称符号符号几何表示几何表示x|axbx|axb闭区区间_x|axbx|axb开区开区间_x|axbx|axb左左闭右开区右开区间_2.2.区区间的有关概念的有关概念(1)(1)设a,ba,b是两个是两个实数数, ,而且而且ab,ab,作出作出规定：定：a,ba,b(a,b)(a,b)a,b)a,b)定定义名称名称符号符号几何表示几何表示x|axbx|aa,xb,xa,xb,xb的的实数数x x的集合分的集合分别可用区可用区间表示表示为_,(a,+), _,(-,b)._,(a,+), _,(-,b).a,+)a,+)(-,b(-,b1.1.判一判：判一判：( (正确的打正确的打“”, ,错
3、误的打的打“”) )(1)(1)在函数定在函数定义中集合中集合A A中一个元素可以有两个中一个元素可以有两个B B中元素与之中元素与之对应.(.() )(2)(2)函数的定函数的定义域和域和值域一定是无限集域一定是无限集.(.() )(3)f(a)(3)f(a)表示当表示当x=ax=a时, ,函数函数f(x)f(x)的的值, ,是一个常量是一个常量.(.() )2.2.做一做：做一做：( (请把正确的答案写在横把正确的答案写在横线上上) )(1)(1)集合集合x|5x6x|5x6可用区可用区间表示表示为. .(2)(2)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2的定的定义域域为, ,值域域为. .
4、(3)(3)已知函数已知函数f(x)=x-1,f(x)=x-1,则f(1)=f(1)=. .【解析解析】1.(1)1.(1)错误错误. .对于对于A A中任何一个元素只对应中任何一个元素只对应B B中一个元素中一个元素. .(2)(2)错误错误. .函数的定义域和值域可以是有限集函数的定义域和值域可以是有限集, ,也可以是无限集也可以是无限集. .(3)(3)正确正确.f(a).f(a)表示当表示当x=ax=a时时, ,函数函数f(x)f(x)的值的值, ,是一个确定的值是一个确定的值, ,是是常量常量. .答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)2.(1)2.(1)结合区间的概念知结
5、合区间的概念知, ,该集合可用区间表示为该集合可用区间表示为5,6).5,6).答案：答案：5,6)5,6)(2)(2)函数函数f(x)=xf(x)=x2 2为二次函数为二次函数, ,其定义域为其定义域为R,R,值域为值域为0,+).0,+).答案：答案：R R0,+)0,+)(3)(3)因为因为f(x)=x-1,f(x)=x-1,所以所以f(1)=1-1=0.f(1)=1-1=0.答案：答案：0 0【要点探究要点探究】知知识点点1 1 函数和区函数和区间的有关概念的有关概念1.1.对函数概念函数概念(f(f：AB)AB)的四点的四点说明明(1)A,B(1)A,B必必须是非空数集是非空数集.
6、.(2)(2)对应关系必关系必须是确定的是确定的. .(3)(3)数集数集A A中每个元素均有中每个元素均有对应. .(4)(4)数集数集B B中元素可以没有中元素可以没有对应. .2.2.函数的三要素函数的三要素构成一个函数要有三要素：定构成一个函数要有三要素：定义域、域、对应关系和关系和值域域, ,其中定其中定义域和域和对应关系决定关系决定值域域. .写定写定义域和域和值域域时, ,要用集合或区要用集合或区间的形式的形式, ,不能只用不等式表示不能只用不等式表示. .3.3.对于于对应关系关系“f f”的三点的三点说明明(1)(1)“y=f(x)y=f(x)”是函数符号是函数符号, ,可以
7、用任意字母表示可以用任意字母表示, ,如如“y=g(x)y=g(x)”. .(2)(2)“f f”是是对应关系关系, ,它可以是一个或几个解析式它可以是一个或几个解析式, ,可以是可以是图像、像、表格表格, ,也可以是文字描述也可以是文字描述. .(3)(3)函数符号函数符号“y=f(x)y=f(x)”中的中的“f(x)f(x)”表示与表示与x x对应的函数的函数值, ,不表示不表示f f与与x x的乘的乘积. .4.f(x)4.f(x)与与f(a)f(a)的区的区别与与联系系(1)(1)区区别：f(a)f(a)表示当表示当x=ax=a时, ,函数函数f(x)f(x)的一个的一个值, ,而而f
8、(x)f(x)表示关表示关于自于自变量量x x的函数的函数, ,它是一个它是一个变量量. .(2)(2)联系：系：f(a)f(a)是是f(x)f(x)中的一个特殊中的一个特殊值. .5.5.区区间的有关概念的有关概念(1)(1)对区区间的理解：的理解：区区间是集合的另一种表达方式是集合的另一种表达方式, ,表示某些数集比集合更方便表示某些数集比集合更方便; ;区区间的左端点必的左端点必须小于右端点小于右端点; ;用数用数轴表示区表示区间时, ,用用实心点表示包括在区心点表示包括在区间内的端点内的端点, ,用空用空心点表示不包括在区心点表示不包括在区间内的端点内的端点; ;用区用区间表示集合表示
9、集合时, ,开和开和闭不能混淆不能混淆; ;以以“”作作为区区间的端点的端点时, ,要用开区要用开区间符号符号. .(2)(2)区区间与数集的与数集的联系与区系与区别：【知识拓展知识拓展】初高中函数定义的区别与联系初高中函数定义的区别与联系(1)(1)实质相同：即它们的定义域和值域的意义完全相同实质相同：即它们的定义域和值域的意义完全相同, ,对应关对应关系本质上一样系本质上一样. .(2)(2)出发点不同：初中给出的定义是从运动变化的观点出发出发点不同：初中给出的定义是从运动变化的观点出发, ,其其中的对应关系是将自变量中的对应关系是将自变量x x的每一取值与唯一确定的函数值的每一取值与唯一
10、确定的函数值y y对对应起来应起来; ;高中给出的定义是从集合、对应的观点出发高中给出的定义是从集合、对应的观点出发, ,其中的对其中的对应关系是将集合应关系是将集合A A中的任一元素与集合中的任一元素与集合B B中的唯一确定的元素对中的唯一确定的元素对应起来应起来. .【微思考微思考】(1)(1)函数函数值域中的每一个数都有定域中的每一个数都有定义域中的数与之域中的数与之对应吗? ?提示：提示：是是. .函数值域中的每一个数都是定义域中的数在对应关函数值域中的每一个数都是定义域中的数在对应关系下的结果系下的结果, ,所以函数值域中的每一个数都有定义域中的数与所以函数值域中的每一个数都有定义域
11、中的数与之对应之对应. .(2)(2)若函数的定若函数的定义域中只有一个元素域中只有一个元素, ,则值域中也只有一个元素域中也只有一个元素吗? ?提示：提示：是是. .若函数的定义域中只有一个元素若函数的定义域中只有一个元素, ,则在对应关系之下则在对应关系之下, ,有唯一的函数值与之对应有唯一的函数值与之对应, ,所以值域中也只有一个元素所以值域中也只有一个元素. .【即时练即时练】 1.1.下列下列对应能表示能表示y y是是x x的函数的是的函数的是( (填序号填序号).).(1)y=|x|. (2)|y|=x. (3)y=x(1)y=|x|. (2)|y|=x. (3)y=x2 2. .
12、(4)y(4)y2 2=x.=x.(5)y(5)y2 2+x+x2 2=1.=1. (6)y(6)y2 2-x-x2 2=1.=1.2.2.用区用区间表达下列集合表达下列集合. .(1)x|x-1x|-5x2=(1)x|x-1x|-5x2=. .(2)x|x-9x|-9x20=(2)x|x-9x|-9x0,(3)xR|x0,且且x2=_.x2=_.(4)xR|x(4)xR|x3,3,且且x7=_.x7=_.【解解析析】1.(1)1.(1)能能. .对对于于x x的的每每一一个个值值，y y都都有有唯唯一一确确定定的的值值与与之之对应，所以对应，所以y y是是x x的函数的函数. .(2)(2)
13、不不能能. .当当x0x0时时，对对于于x x可可取取的的每每一一个个值值，y y都都有有两两个个值值与与之之对应，所以对应，所以y y不是不是x x的函数的函数. .(3)(3)能能. .对对于于x x的的每每一一个个值值，y y都都有有唯唯一一确确定定的的值值与与之之对对应应，所所以以y y是是x x的函数的函数. .(4)(4)不不能能. .当当x0x0时时，对对于于x x可可取取的的每每一一个个值值，y y都都有有两两个个值值与与之之对应，所以对应，所以y y不是不是x x的函数的函数. .(5)(5)不不能能. .对对于于x x可可取取的的每每一一个个值值，y y不不是是都都有有唯唯
14、一一确确定定的的值值与与之之对应，所以对应，所以y y不是不是x x的函数的函数. .(6)(6)不不能能. .对对于于x x可可取取的的每每一一个个值值，y y不不是是都都有有唯唯一一确确定定的的值值与与之之对应，所以对应，所以y y不是不是x x的函数的函数. .答案：答案：(1)(3)(1)(3)2.2.根据区间的定义可知，根据区间的定义可知，(1)(1)可以用区间表示为可以用区间表示为(-,-1(-,-1-5,2)=-5,2)=-5,-1-5,-1,(2),(2)可以用区间表示为可以用区间表示为(-,-9)(-9,20),(-,-9)(-9,20),(3)(3)可以用区间表示为可以用区
15、间表示为(0(0，2)(22)(2，+),(4)+),(4)可以用区间表示可以用区间表示为为(-,-3)(-3,7)(7,+).(-,-3)(-3,7)(7,+).答案：答案：(1)(1)-5,-1-5,-1(2)(2)(, ,9)(9)(9,20)9,20)(3)(0,2)(2,+)(3)(0,2)(2,+)(4)(4)(, ,3)(3)(3,7)(7,+)3,7)(7,+)知知识点点2 2 函数的定函数的定义域和域和值域域1.1.对函数定函数定义域的两点域的两点说明明(1)(1)函数的定函数的定义域是自域是自变量量x x的取的取值范范围, ,在没有在没有标明函数定明函数定义域的情况下域的情
16、况下, ,通常通常认为是使函数解析式有意是使函数解析式有意义的且使的且使实际问题有意有意义的的x x的取的取值范范围, ,即在即在实际问题中既要考中既要考虑函数解析式有函数解析式有意意义, ,又要符合又要符合实际意意义. .例如例如, ,函数函数y= y= 的定的定义域域为x|x0,x|x0,圆半径半径r r与面与面积S S的函数关系的函数关系S=rS=r2 2的定的定义域是域是r|r0.r|r0.(2)(2)若函数若函数y=f(x)y=f(x)是由几个部分的数学式子构成是由几个部分的数学式子构成, ,那么函数的定那么函数的定义域是使各部分都有意域是使各部分都有意义的的x x的集合的集合. .
17、2.2.对函数函数值域的两点域的两点说明明(1)(1)决定因素：定决定因素：定义域和域和对应关系关系这两个因素决定着函数的两个因素决定着函数的值域域, ,即当一个函数的定即当一个函数的定义域和域和对应关系确定后关系确定后, ,其其值域随之得到域随之得到确定确定, ,所以两个函数当且所以两个函数当且仅当定当定义域和域和对应关系都相同关系都相同时, ,才才为同一函数同一函数. .(2)(2)表示形式：函数的表示形式：函数的值域可以是一个域可以是一个连续的区的区间, ,如函数如函数y=xy=x2 2-1,x-1,x-1,2-1,2的的值域是域是-1,3;-1,3;也可以是也可以是单元素或有限个元素元
18、素或有限个元素组成的成的集合集合, ,如定如定义xx为不大于不大于x x的最大整数的最大整数, ,则函数函数f(x)=x,x(-f(x)=x,x(-1,1)1,1)的的值域是域是-1,0,-1,0,其其值域中只有两个元素域中只有两个元素. .【微思考微思考】(1)(1)函数定函数定义中的集合中的集合B B与函数的与函数的值域相同域相同吗? ?提示：提示：不一定相同不一定相同. .函数的值域是函数定义中的集合函数的值域是函数定义中的集合B B的子集的子集, ,即函数的值域可能与函数定义中的集合即函数的值域可能与函数定义中的集合B B相等相等, ,也可能是集合也可能是集合B B的真子集的真子集.
19、.(2)(2)只要函数的定义域和值域相同，两函数就是同一函数吗？只要函数的定义域和值域相同，两函数就是同一函数吗？提示：提示：不一定不一定. .例如，函数例如，函数y=|x|,x(0,1)y=|x|,x(0,1)和函数和函数 x(0,1)x(0,1)定义域和值域都相同，但两函数不是同一函数定义域和值域都相同，但两函数不是同一函数. .【即时练即时练】1.1.函数函数 的定义域为的定义域为_._.2.2.函数函数y=xy=x2 2-1-1的值域为的值域为_._.3.3.小华到商店去买圆珠笔，每支小华到商店去买圆珠笔，每支1.51.5元，则小华买的支数元，则小华买的支数x x与花与花钱的总额钱的总
20、额y y的函数关系为的函数关系为_，定义域为，定义域为_._.【解析解析】1.1.由被开方数非负知，函数由被开方数非负知，函数 的定义域为的定义域为1,+).1,+).答案：答案：1 1，+)+)2.2.由由x x2 2-1-1,-1-1,可得函数可得函数y=xy=x2 2-1-1的值域为的值域为-1-1，+).+).答案：答案：-1-1，+)+)3.3.小华买的支数小华买的支数x x与花钱的总额与花钱的总额y y的函数关系为的函数关系为y=1.5x,y=1.5x,定义域定义域为为N.N.答案：答案：y=1.5x Ny=1.5x N【题型示范型示范】类型一型一 对函数概念的理解及同一函数的判断
21、函数概念的理解及同一函数的判断【典例典例1 1】(1)(1)下列下列说法中正确的有法中正确的有( () )y=f(x)y=f(x)与与y=f(t)y=f(t)表示同一个函数表示同一个函数; ;y=f(x)y=f(x)与与y=f(x+1)y=f(x+1)不可能是同一个函数不可能是同一个函数; ;f(x)=1f(x)=1与与g(x)=xg(x)=x0 0是同一函数是同一函数; ;定定义域和域和对应关系都相同的两个函数是同一个函数关系都相同的两个函数是同一个函数. .A.1A.1个个 B.2B.2个个 C.3C.3个个 D.4D.4个个(2)(2)下列各组函数是同一函数的是下列各组函数是同一函数的是
22、( )( )【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中两函数是否为同一函数与表示自变量中两函数是否为同一函数与表示自变量的字母有关吗？的字母有关吗？2.2.题题(2)(2)中判断两函数是否为同一函数的依据是什么？中判断两函数是否为同一函数的依据是什么？【探究提示探究提示】1.1.两函数是否为同一函数与表示自变量的字母无两函数是否为同一函数与表示自变量的字母无关关. .2.2.两函数为同一函数的依据是定义域和对应关系相同两函数为同一函数的依据是定义域和对应关系相同. .【自主解答自主解答】(1)(1)选选B.B.中当中当y=f(x)y=f(x)与与y=f(x+1)y=f(x+1)定义域和对应
23、定义域和对应关系相同时是同一个函数；关系相同时是同一个函数；中中f(x)=1f(x)=1的定义域是的定义域是R R，而，而g(x)=g(x)=x x0 0的定义域是的定义域是xRx0xRx0，所以不是同一函数，只有，所以不是同一函数，只有正确正确. .故选故选B.B.(2)(2)选选D. D. 故排除故排除A A； 与与y=1y=1定定义域与对应关系均不同，故排除义域与对应关系均不同，故排除B B；y y|x|x1|1|与与y=x-1y=x-1对应关对应关系不同，排除系不同，排除C C； 且定义域也相同且定义域也相同. .故选故选D.D.【方法技巧方法技巧】判断函数是否为同一函数的两个步骤判断
24、函数是否为同一函数的两个步骤【变式训练变式训练】下列各组函数表示同一函数的是下列各组函数表示同一函数的是( )( )【解析解析】选选D.AD.A中两函数定义域不同；中两函数定义域不同；B B中两函数对应关系不同；中两函数对应关系不同；C C中两函数定义域不同；中两函数定义域不同；D D中两函数定义域和对应关系都相同，中两函数定义域和对应关系都相同，是同一函数是同一函数. .【补偿训练】图中中(1)(2)(3)(4)(1)(2)(3)(4)四个四个图像各表示两个像各表示两个变量量x,yx,y的的对应关系关系, ,其中表示其中表示y y是是x x的函数关系的有的函数关系的有. .【解析解析】由函数
25、的定义可知由函数的定义可知, ,任意作一条直线任意作一条直线x=a,x=a,则与函数的则与函数的图像至多有一个交点图像至多有一个交点, ,对于本题而言对于本题而言, ,当当-1a1-1a1时时, ,直线直线x=ax=a与与函数的图像仅有一个交点函数的图像仅有一个交点, ,当当a1a1或或a-1a020，即，即 故所求函数的故所求函数的定义域为定义域为要使函数有意义，必须要使函数有意义，必须即即xx1 1且且x2.x2.故所求函数的定义域为故所求函数的定义域为 1,2)(2,+).1,2)(2,+).要使函数有意义，必须要使函数有意义，必须 即即x0x0且且xx4 4，故所求函数的定义域为故所求
26、函数的定义域为( (，4)(4)(4,0).4,0).【延伸探究延伸探究】题题(2)(2)中的中的f(x)f(x)的分母变为的分母变为 即即f(x)=f(x)= 则函数的定义域如何求？则函数的定义域如何求？【解析解析】要使函数有意义，必须要使函数有意义，必须 即即x x0 0且且xx4 4，故所求函数的定义域为故所求函数的定义域为( (，4)(4)(4,0).4,0).【方法技巧方法技巧】1.1.求函数定义域的一般步骤求函数定义域的一般步骤(1)(1)列出关于自变量列出关于自变量x x的不等关系式的不等关系式. .(2)(2)解关于解关于x x的不等关系式的不等关系式. .(3)(3)下结论，
27、点明函数的定义域下结论，点明函数的定义域. .2.2.求函数定义域的关注点求函数定义域的关注点(1)(1)列关于自变量列关于自变量x x的不等关系的依据：的不等关系的依据：如果如果f(x)f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集是整式，那么函数的定义域是实数集R R；如果如果f(x)f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；数的集合；如果如果f(x)f(x)是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；的式子不小于零的实数的集合；如果如果f(x)f(x)是由几个部分的数学式
28、子构成的，那么函数的定义是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合域是使各部分式子都有意义的实数的集合( (即是使每个部分式即是使每个部分式子有意义的实数的集合的交集子有意义的实数的集合的交集).).(2)(2)解解x x的不等关系的过程其本质就是集合运算的过程的不等关系的过程其本质就是集合运算的过程. .(3)(3)最后定义域一定要写成区间或集合的形式最后定义域一定要写成区间或集合的形式. .【变式训练变式训练】已知函数已知函数(1)(1)求函数的定义域求函数的定义域. .(2)(2)求求f(-3)f(-3)，f(12)f(12)的值的值. .【解题指南
29、解题指南】(1)(1)求函数的定义域即找到使函数有意义的求函数的定义域即找到使函数有意义的x x的取的取值集合值集合.(2).(2)求函数值即令求函数值即令x=x=3 3和和x=12x=12时代入函数解析式求值时代入函数解析式求值. .【解析解析】(1)(1)要使函数有意义，必须要使函数有意义，必须 解得解得所以函数的定义域为所以函数的定义域为x|x-6x|x-6且且xx1 1且且x3.x3.(2)f(-3)=(9-1)(2)f(-3)=(9-1)0 0+ +f(12)=(12f(12)=(122 2-1)-1)0 0+ +【补偿训练补偿训练】求下列函数的定义域求下列函数的定义域. .【解析解
30、析】(1)(1)要使函数有意义，只需要使函数有意义，只需1-3x1-3x0 0，所以，所以所以函数的定义域为所以函数的定义域为(2)(2)要使函数有意义，只需要使函数有意义，只需 所以所以 且且x1.x1.所以函数的定义域为所以函数的定义域为(3)(3)要使函数有意义，只需要使函数有意义，只需 所以所以x-1x-1且且x0.x0.所以函数的定义域为所以函数的定义域为x|x-1x|x-1且且x0.x0.(4)(4)要使函数有意义，只需要使函数有意义，只需 所以所以-1x3.-1x3.又又xZxZ，所以，所以x=-1,0,1,2,3.x=-1,0,1,2,3.所以函数的定义域为所以函数的定义域为-
31、1-1，0 0，1 1，2 2，3.3.类型三类型三 求函数的值求函数的值( (值域值域) )【典例典例3 3】(1)(1)已知函数已知函数 则则 =_.=_.(2)(2)求下列函数的值域求下列函数的值域y=xy=x2 2+4x+3(-3x1);+4x+3(-3x1);【解题探究解题探究】1.1.题题(1)(1)中求函数的值的实质是什么？中求函数的值的实质是什么？2.2.题题(2)(2)中的函数可否画出图像？中的函数可否画出图像？中的函数需先作如何处中的函数需先作如何处理？理？中的函数中的函数 的取值范围如何？的取值范围如何？【探究提示探究提示】1.1.求函数值的实质是把自变量的值代入解析式求
32、求函数值的实质是把自变量的值代入解析式求出其结果出其结果. .2.2.中是二次函数的一部分，可以画出其图像中是二次函数的一部分，可以画出其图像.需先作换元需先作换元处理处理.中的函数中的函数【自主解答自主解答】(1)(1)方法一：逐个求值，再求和方法一：逐个求值，再求和. .f(-2)= f(-2)= 所以原式所以原式方法二：寻找规律求值方法二：寻找规律求值. .因为因为 所以所以所以所以f(x)+f(-x)=0f(x)+f(-x)=0，所以，所以f(-2)+f(2)=0f(-2)+f(2)=0，f(-1)+f(1)=0f(-1)+f(1)=0，又又所以原式所以原式= =f(-2)+f(2)f
33、(-2)+f(2)+ +f(-1)+f(1)f(-1)+f(1)+ +答案：答案：(2)(2)方法一：画出方法一：画出y=xy=x2 2+4x+3(-3x1)+4x+3(-3x1)的图像，如图所示：的图像，如图所示：当当xx-3-3，1 1时，得时，得yy-1-1，8 8，故函数故函数y=xy=x2 2+4x+3(-3x1)+4x+3(-3x1)的值域为的值域为-1-1，8 8. .方法二方法二：配方法：配方法y=xy=x2 2+4x+3=(x+2)+4x+3=(x+2)2 21 1，因为，因为3x13x1，所以当所以当x=x=2 2时，时，y yminmin= =1 1；当；当x=1x=1时
34、，时，y ymaxmax=8=8，故函数故函数y=xy=x2 2+4x+3(+4x+3(3x1)3x1)的值域为的值域为 1,8.1,8.换元法：设换元法：设 则则u0,u0,且且于是于是 即即故函数故函数 的值域为的值域为因为因为 所以所以y-1y-1，故函数故函数 的值域为的值域为y|y-1.y|y-1.【方法技巧方法技巧】求函数值域的常用方法求函数值域的常用方法(1)(1)观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图像的函数的值域，或利用函数图像的“最高点最高点”和和“最低点最低点”，观，观察求得函数的值域，
35、这就是观察法察求得函数的值域，这就是观察法. .(2)(2)配方法：对二次函数的解析式可先进行配方，在充分注意配方法：对二次函数的解析式可先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数值域的方法求函到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数值域的方法求函数的值域，这就是配方法数的值域，这就是配方法. .(3)(3)换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的换元法：通过对函数的解析式进行适当换元，可将复杂的函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数化归为几个简单的函数，从而利用基本函数的取值范围求函数的值域函数的值域. .【变式训练变式训练】求下列函数的值域
36、：求下列函数的值域：(1)y=x+1.(1)y=x+1.(2)y=x(2)y=x2 2-2x+3,x-2x+3,x0,3).0,3).(3)(3)【解析解析】(1)(1)(观察法观察法) )因为因为xR,xR,所以所以x+1R,x+1R,即函数值域是即函数值域是R.R.(2)(2)(配方法配方法)y=x)y=x2 2-2x+3=(x-1)-2x+3=(x-1)2 2+2,+2,由由xx0,3),0,3),再结合函数的再结合函数的图像，可得函数的值域为图像，可得函数的值域为2 2，6).6).(3)(3)(换元法换元法) )设设 则则t0t0且且x=tx=t2 2+1,+1,所以所以y=2(ty
37、=2(t2 2+1)-t=+1)-t= 由由t0,t0,再结合函数的图像，可得函数的值域为再结合函数的图像，可得函数的值域为【补偿训练补偿训练】(2014(2014武汉高一检测武汉高一检测) )已知集合已知集合A=1,2,3,A=1,2,3,B=4,5,6,fB=4,5,6,f：ABAB是从集合是从集合A A到集合到集合B B的一个函数，那么该函的一个函数，那么该函数的值域数的值域C C的不同情况有的不同情况有( )( )A.6A.6种种 B.7B.7种种 C.8C.8种种 D.9D.9种种【解题指南解题指南】依据函数的定义来判断函数可能的值域依据函数的定义来判断函数可能的值域. .【解析解析
38、】选选B.B.结合函数定义，可知其值域有结合函数定义，可知其值域有7 7种不同情况种不同情况. .即值域为即值域为4,5,6,4,5,4,6,5,6,4,5,6.4,5,6,4,5,4,6,5,6,4,5,6.【易错误区易错误区】求函数定义域时因考虑不全而致误求函数定义域时因考虑不全而致误【典例典例】函数函数 的定义域为的定义域为_._.【解析解析】要使函数有意义，必须要使函数有意义，必须解得解得即即 且且x1,x1,故函数的定义域是故函数的定义域是(0,1)(0,1)答案：答案：(0,1)(0,1)【常见误区常见误区】错解错解错因剖析错因剖析忽略忽略处处x-10x-10的限制的限制忽略忽略处处x+|x|0x+|x|0的限制的限制【防范措施防范措施】 把握求函数定义域的基本原则把握求函数定义域的基本原则若函数若函数y yf(x)f(x)的解析式是由几部分数学式子组成，则函数的的解析式是由几部分数学式子组成，则函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合，即是使各部分有意定义域是指使解析式有意义的实数的集合，即是使各部分有意义的集合的交集，如本例中是使义的集合的交集，如本例中是使 和和 有意义的有意义的集合的交集集合的交集. .【类题试解类题试解】函数函数 的定义域是的定义域是_._.【解析解析】由由 得得所以所以x1x1且且x x 即函数定义域为即函数定义域为答案：答案：
