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1、参数方程参数方程.ppt.ppt曲线的参数方程曲线的参数方程？救援点救援点救援点救援点投放点投放点投放点投放点 一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处高处高处100m/s100m/s的速的速的速的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员
2、应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？机呢？机呢？机呢？ 即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？投放物资？投放物资？投放物资？如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。如图，建立平面直角坐标系。 因此因此因此因此, ,不易直接建立不易直接建立不易直接建立不易直接建立x,yx,y所满所满所满所满足的关系式。足的关系式。足的关系式。足的关系式。 x x表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量
3、，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，y y表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度， 由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1 1）沿）沿）沿）沿oxox作初速为作初速为作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动
4、；的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；（2 2）沿）沿）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。反方向作自由落体运动。 在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？这些变量之间有什么关系？什么关系？什么关系？什么关系？ t t时刻，水平位移为时刻，水平位移为时刻，水平位移为时刻，水平位移为x=100tx=100t，离地面高度，离地面高度，离地面高度，离地面高度y y，即：，即：，即：，即：y=500-gty=500-gt2 2
5、/2/2，物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0，得得得得x10.10mx10.10m；即即即即500-gt500-gt2 2/2=0/2=0，解得，解得，解得，解得，t10.10st10.10s， 因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投米时投米时投米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。放物资，可以使其准确落在指定位置。 参数方程的概念：参数方程的概念： 一般地，在平面
6、直角坐标系中，如果曲线上任意一一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标点的坐标 x，y 都是某个变数都是某个变数 t 的函数的函数 那么方程组就叫做这条曲线的那么方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数，联系变数 x, y 的变数的变数 t 叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。 并且对于并且对于 t 的每一个允许值，由方程组所确定的点的每一个允许值，由方程组所确定的点 M(x, y) 都在这条曲线上，都在这条曲线上， 参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数x, yx, y的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理
7、意义的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。 相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。方程叫做普通方程。例例例例1: 1: 已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是 （为参数）
8、（为参数）（为参数）（为参数） (1)(1)判断点判断点判断点判断点MM1 1(0(0，1)1)，MM2 2(5(5，4)4)与曲线与曲线与曲线与曲线C C的位置关系；的位置关系；的位置关系；的位置关系；(2)(2)已知点已知点已知点已知点MM3 3（6 6，a a）在曲线）在曲线）在曲线）在曲线C C上，求上，求上，求上，求a a的值。的值。的值。的值。 解：解：解：解：(1)(1)把点把点把点把点MM1 1的坐标的坐标的坐标的坐标(0,1)(0,1)代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所，所，所，所以以以以MM1 1在曲线上在曲线上在曲线上在曲线上
9、把点把点把点把点MM2 2的坐标的坐标的坐标的坐标(5,4)(5,4)代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点MM2 2不在曲线不在曲线不在曲线不在曲线C C上上上上(2)(2)因为点因为点因为点因为点MM3 3(6,a)(6,a)在曲线在曲线在曲线在曲线C C上，所以上，所以上，所以上，所以解得解得解得解得t=2, a=9 t=2, a=9 所以，所以，所以，所以，a=9.a=9. 练习：一架救援飞机以练习：一架救援飞机以练习：一架救援飞机以练习：一架救援飞机以100m/s100m/s的速
10、度作水平直线飞的速度作水平直线飞的速度作水平直线飞的速度作水平直线飞行行行行. .在离灾区指定目标在离灾区指定目标在离灾区指定目标在离灾区指定目标1000m1000m时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气阻力阻力阻力阻力, ,重力加速重力加速重力加速重力加速 g=10m/s g=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多少？（精确到少？（精确到少？（精确到少？（精确到1m1m）x=100t=1000,x=100t=1000,t=10,t=10,y=gty=g
11、t2 2/2=1010/2=10102 2/2=500m./2=500m.练习练习练习练习 1 1、曲线、曲线、曲线、曲线与与与与x x轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是( )( )B BA(1A(1，4)4)； B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0) B (25/16, 0) C(1, -3) D(25/16, 0)2 2、方程、方程、方程、方程所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是( )( )D DA(2A(2，7)7)； B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(
12、1 B(1/3, 2/3) C(1/2, 1/2) D(1，0)0)3 3 已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线C C的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是 点点点点M(5,4)M(5,4)该曲线上该曲线上该曲线上该曲线上. .(1)(1)求常数求常数求常数求常数a; a; （2 2）求曲线）求曲线）求曲线）求曲线C C的普通方程的普通方程的普通方程的普通方程 (1)(1)由题意可知由题意可知由题意可知由题意可知: 1+2t=5: 1+2t=5，atat2 2=4=4；a=1a=1，t=2t=2； 代入第二个方程得代入第二个方程得代入第二个方程得代入第二个方程得: y=(x-1): y=
13、(x-1)2 2/4 /4 4 4 动点动点动点动点MM作等速直线运动作等速直线运动作等速直线运动作等速直线运动, , 它在它在它在它在x x轴和轴和轴和轴和y y轴方向的速度轴方向的速度轴方向的速度轴方向的速度分别为分别为分别为分别为5 5和和和和12 , 12 , 运动开始时位于点运动开始时位于点运动开始时位于点运动开始时位于点P(1,2), P(1,2), 求点求点求点求点MM的轨迹参的轨迹参的轨迹参的轨迹参数方程数方程数方程数方程. . 解：设动点解：设动点解：设动点解：设动点M (x,y) M (x,y) 运动时间为运动时间为运动时间为运动时间为t t，依题意，得，依题意，得，依题意
14、，得，依题意，得A A 一个定点一个定点一个定点一个定点 B B 一个椭圆一个椭圆一个椭圆一个椭圆 C C 一条抛物线一条抛物线一条抛物线一条抛物线 D D 一条直线一条直线一条直线一条直线DA A B B C C D D5 5下列在曲线下列在曲线下列在曲线下列在曲线上的点是上的点是上的点是上的点是 ( ) ( )B（4 4）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程. .参数方程求法参数方程求法参数方程求法参数方程求法: : （1 1）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐
15、标系）建立直角坐标系, , 设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点P P坐标为坐标为坐标为坐标为; ;（2 2）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数; ; （3 3）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质, , 物理意义物理意义物理意义物理意义, , 建建建建立点立点立点立点P P坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式; ;圆的参数方程圆的参数方程y yx xo or rM(x, y)M(x, y) 圆周运动中，当物圆周运动中，当物圆周运
16、动中，当物圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点时，物体上的各个点时，物体上的各个点时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动， 怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点的位置呢？的位置呢？的位置呢？的位置呢？那么那么那么那么=t. =t. 设设设设|OM|=r|OM|=r，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有如果在时刻如果在时刻如果在时刻如果在时刻t t，点，点，点，点MM转过的角度是转过的角度是转
17、过的角度是转过的角度是 ，坐标是，坐标是，坐标是，坐标是M(x, y)M(x, y)，即即即即这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为，半径为，半径为，半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程参数参数参数参数 t t 有物理意义有物理意义有物理意义有物理意义( (质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻) )考虑到考虑到考虑到考虑到=t=t，也可以取，也可以取，也可以取，也可以取 为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为
18、原点半径为圆心为原点半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程. . 其中参数其中参数其中参数其中参数 的几何意义是的几何意义是的几何意义是的几何意义是OMOM0 0绕点绕点绕点绕点OO逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到逆时针旋转到OMOM的位置时，的位置时，的位置时，的位置时，OMOM0 0转过的角度转过的角度转过的角度转过的角度 圆心为圆心为圆心为圆心为 ，半径为半径为半径为半径为r r 的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选
19、取不同的变数为参数，一般地，同一条曲线，可以选取不同的变数为参数，另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。另外，要注明参数及参数的取值范围。解：解：解：解： x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0+2x-6y+9=0化为标准方程化为标准方程化为标准方程化为标准方程, (x+1), (x+1)2 2+(y-3)+(y-3)2 2=1=1 参数方程为参数方程为参数方程为参数方程为(为参数为参数为参数为参数) )例例例例1 1 已知圆方程已知圆方程已知圆方程已知圆方程x x2 2+y+y2 2+2x-6y+9=0,+2x-6y+9
20、=0,将它化为参数方程。将它化为参数方程。将它化为参数方程。将它化为参数方程。练习：练习：练习：练习： 例例2 如图如图,圆圆O的半径为的半径为2，P是圆上的动点，是圆上的动点，Q(6,0)是是x轴上的定点，轴上的定点，M是是PQ的中点，当点的中点，当点P绕绕O作匀速圆周作匀速圆周运动时，求点运动时，求点M的轨迹的参数方程。的轨迹的参数方程。yoxPMQ解：设点解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y),(x, y),则点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(2cos(2cos ,2sin,2sin ). ).由中点坐标公式可得由中点坐标公式可得由中
21、点坐标公式可得由中点坐标公式可得因此，点因此，点因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是例例例例3 3 已知已知已知已知x x、y y满足满足满足满足, ,求求求求的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值的最大值和最小值解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为解：由已知圆的参数方程为2 2 点点点点P(x, y)P(x, y)是曲线是曲线是曲线是曲线为参数为参数为参数为参数) )上任意一点，则上任意一点，则上任意一点，则上任意一点，则的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为( )( )A 1 B 2 C
22、 DA 1 B 2 C D练习练习练习练习1 P(x, y)1 P(x, y)是曲线是曲线是曲线是曲线(为参数为参数为参数为参数) )上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点, ,则则则则的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为( )( )A AA A36 B36 B6 C6 C26 D26 D2525D D3 3 圆圆圆圆的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是的圆心的轨迹是( )( ) A A圆圆圆圆 B B直线直线直线直线 C C椭圆椭圆椭圆椭圆 D D双曲线双曲线双曲线双曲线A A( ( 为参数为参数为参数为参数) )上任意一点上任意一点上任意一点上任意一点, ,则则则则4 4 点点
23、点点P(x, y)P(x, y)是曲线是曲线是曲线是曲线的最大值为的最大值为的最大值为的最大值为 . . .5 5 已知点已知点已知点已知点P P是圆是圆是圆是圆 上一个动点上一个动点上一个动点上一个动点, ,定点定点定点定点A(12, 0)A(12, 0)， 点点点点MM在线段在线段在线段在线段PAPA上，且上，且上，且上，且2|PM|=|MA|2|PM|=|MA|，当点，当点，当点，当点P P在圆上运动在圆上运动在圆上运动在圆上运动 时，求点时，求点时，求点时，求点MM的轨迹的轨迹的轨迹的轨迹解：设点解：设点解：设点解：设点MM的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(x, y),(x, y),则
24、点则点则点则点P P的坐标是的坐标是的坐标是的坐标是(4cos(4cos ,4sin,4sin ). ).2|PM|=|MA|, 2|PM|=|MA|, 由题设由题设由题设由题设(x-12, y)=(x-12, y)= 因此，点因此，点因此，点因此，点MM的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是的轨迹的参数方程是 例例例例4 (1)4 (1)点点点点P(m,n)P(m,n)在圆在圆在圆在圆x x2 2+y+y2 2=1=1上运动上运动上运动上运动, ,求点求点求点求点Q(m+n, Q(m+n, 2mn)2mn)的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程的轨迹方程; ; (2) (2)方程方程
25、方程方程x x2 2+y+y2 2-2(m+3)x+2(1-4m-2(m+3)x+2(1-4m2 2)y+16m)y+16m4 4+9=0.+9=0.若该方若该方若该方若该方程表示一个圆程表示一个圆程表示一个圆程表示一个圆, , 求求求求mm的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程的取值范围和圆心的轨迹方程. . 已知已知已知已知P(x, y)P(x, y)圆圆圆圆C C：x x2 2+y+y2 26x6x4y+12=04y+12=0上的点。上的点。上的点。上的点。 (1)(1)求求求求 的最小值与最大值的最小值与最大值的最小值与最大值的最小值与最大值(2
26、)(2)求求求求x xy y的最大值与最小值的最大值与最小值的最大值与最小值的最大值与最小值例例例例5 5 最值问题最值问题最值问题最值问题例例例例6 6 参数法求轨迹参数法求轨迹参数法求轨迹参数法求轨迹 已知点已知点已知点已知点A(2, 0),PA(2, 0),P是是是是x x2 2+y+y2 2=1=1上任一点上任一点上任一点上任一点, , 的平分的平分的平分的平分线交线交线交线交PAPA于于于于QQ点点点点, ,求求求求QQ点的轨迹点的轨迹点的轨迹点的轨迹. .AQ:QP=2:1 例例例例7 7 已知已知已知已知A A（11，0 0）、）、）、）、B B（1 1，0 0）,P,P为圆为圆
27、为圆为圆上的一点上的一点上的一点上的一点, ,求求求求 的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应的最大值和最小值以及对应P P点点点点的坐标的坐标的坐标的坐标. . 参数方程和普通方程的互化参数方程和普通方程的互化 把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有把它化为我们熟悉的普通方程，有 cos=x-3, sin=y; cos=x-3, sin=y; 于是于是于是于是(x-3)(x-3)2 2+y+y2 2=1=1，轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了轨迹是什么就很清楚了 在例在例在例在例1
28、 1中，由参数方程中，由参数方程中，由参数方程中，由参数方程直接判断点直接判断点直接判断点直接判断点MM的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便，的轨迹是什么并不方便， 一般地一般地一般地一般地, , 可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程；方程；方程；方程； 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. . 在参数方程与普通方程
29、的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的取的取的取的取值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的值范围保持一致，否则，互化就是不等价的. .把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程：把参数方程化为普通方程： 例例例例1 1、把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线？各表示
30、什么曲线？各表示什么曲线？各表示什么曲线？解解解解: : (1)(1)由由由由得得得得代入代入代入代入得到得到得到得到这是以（这是以（这是以（这是以（1 1，1 1）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；）为端点的一条射线；所以所以所以所以把把把把得到得到得到得到(1)(2)(3)x=t+1/tx=t+1/ty=ty=t2 2+1/t+1/t2 2(1) (x-2)2+y2=9(2) y=1- 2x(2) y=1- 2x2 2（- 1x1- 1x1）(3) x2- y=2（x2或或x- 2）练习、练习、将下列参数方程化为普通方程：将下列参数方程化为普通方程：步骤：步骤：（1
31、）消参；）消参； （2）求定义域。）求定义域。练习练习练习练习 将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程将下列参数方程化为普通方程(2)(2)B B例例例例2 2 求参数方程求参数方程求参数方程求参数方程表示（表示（表示（表示（ ）（A A）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/21, 1/2）; ;（B B）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/21, 1/2）; ;（C C）双曲线的一支）双曲线的一
32、支）双曲线的一支）双曲线的一支, , 这支过点（这支过点（这支过点（这支过点（1, 1/2);1, 1/2);（D D）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分）抛物线的一部分, , 这部分过（这部分过（这部分过（这部分过（1, 1/2).1, 1/2). 参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种：法有三种：法有三种：法有三种：1. 1.代入法：代入法：代入法：代入法： 利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数利用解方程的技巧求出参数利用
33、解方程的技巧求出参数t, t,然后代入消去参数然后代入消去参数然后代入消去参数然后代入消去参数2. 2.三角法：三角法：三角法：三角法： 利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数利用三角恒等式消去参数3. 3.整体消元法：整体消元法：整体消元法：整体消元法： 根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征根据参数方程本身的结构特征, , 整体上消去整体上消去整体上消去整体上消去 化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为化参数方程为普通方程为F(x,y)=0F(x,y)=0：在消参过程中：在消参过程中：在消参过程
34、中：在消参过程中注意注意注意注意变量变量变量变量x x、y y取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性取值范围的一致性，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值，必须根据参数的取值范围，确定范围，确定范围，确定范围，确定f(t)f(t)和和和和g(t)g(t)值域得值域得值域得值域得x x、y y的取值范围。的取值范围。的取值范围。的取值范围。小小小小 结结结结普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程需要引入参数：普通方程化为参数方程
35、需要引入参数：如：直线如：直线如：直线如：直线 l l 的普通方程是的普通方程是的普通方程是的普通方程是 2x-y+2=0 2x-y+2=0，可以化为参数方程，可以化为参数方程，可以化为参数方程，可以化为参数方程: : 一般地一般地一般地一般地, , 如果知道变量如果知道变量如果知道变量如果知道变量x, yx, y中的一个与参数中的一个与参数中的一个与参数中的一个与参数t t的关系的关系的关系的关系, ,例如例如例如例如x=f(t)x=f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变量与参数，把它代入普通方程，求出另一个变
36、量与参数t t的关的关的关的关系系系系y=g(t)y=g(t)，那么，那么，那么，那么: :就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。就是曲线的参数方程。 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x, yx, y的取的取的取的取值范围保持一致值范围保持一致值范围保持一致值范围保持一致例例例例3 3 求椭圆求椭圆求椭圆求椭圆的参数方程：的参数方程：的参数方程：的参数方程：(1)(1)设设设设为参数；为参数；为参数；为参数；(2)(2)设设设设为参数为参数为参数为参数. .为什
37、么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？为什么两个参数方程合起来才是椭圆的参数方程？在在在在y=xy=x2 2中中中中，x xR, y0R, y0，因而与因而与因而与因而与 y=x y=x2 2不等价；不等价；不等价；不等价；练习练习练习练习: :曲线曲线曲线曲线y=xy=x2 2的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（的一种参数方程是（ ）. .在在在在A A、B B、C C中，中，中，中，x, yx, y的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，的范围都发生了变化，而在而
38、在而在而在D D中，中，中，中， x, y x, y范围与范围与范围与范围与y=xy=x2 2中中中中x, yx, y的范围相同，的范围相同，的范围相同，的范围相同，代入代入代入代入y=xy=x2 2后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，后满足该方程，从而从而从而从而D D是曲线是曲线是曲线是曲线y=xy=x2 2的一种参数方程的一种参数方程的一种参数方程的一种参数方程. . 在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使在参数方程与普通方程的互化中，必须使x x，y y的的的的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保
39、持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的. .解：解：解：解： (1) (1)，设，设，设，设，t t为参数；为参数；为参数；为参数；(2)(2)，设，设，设，设， 为参数。为参数。为参数。为参数。练习练习练习练习 把下列普通方程化为参数方程：把下列普通方程化为参数方程：把下列普通方程化为参数方程：把下列普通方程化为参数方程：练习练习练习练习 把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程把下列参数方程化为普通方程(3)(3)(t (t是参数是参数是参数是参数) ) 练习练习练习练习 P P是
40、双曲线是双曲线是双曲线是双曲线 (t (t是参数是参数是参数是参数) )上任一点，上任一点，上任一点，上任一点，F F1 1, F, F2 2是该焦点：求是该焦点：求是该焦点：求是该焦点：求F F1 1F F2 2的重心的重心的重心的重心GG的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。的轨迹的普通方程。进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市
41、上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三五成群，聚在大树，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑了，快来我给你扇扇强子，别跑了，快来我给你扇扇”。孩。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时
42、子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你看热的，跑什么？你看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长也走过了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅长的时间隧道，袅结束
