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1、第一节第一节 算法与流程图算法与流程图基础梳理基础梳理1. 一般而言，对一类问题的 的、 的求解方法称为算法.2. 流程图是由一些 和 组成的，其中图框表示各种操作的 ，图框中的文字和符号表示操作的 ，流程线表示操作的 .3. 顺序结构：依次进行多个处理的结构.其结构形式为：机械统一图框流程线类型类型先后次序4. 选择结构：先根据条件作出判断，再决定执行哪一种操作的结构.其结构形式为:5. 循环结构：需要重复执行同一操作的结构.6. 如图是一种常见的循环结构：先判断所给条件p是否成立，若p成立，则执行A，再判断条件p是否成立；若p仍成立，则又执行A,如此反复，直到某一次条件p不成立时为止.这样
2、的循环结构称为当型循环.7. 直到型循环:先执行A，再判断所给条件p是否成立，若p不成立，则再执行A，如此反复，直到p成立，该循环过程结束.典例分析典例分析题型一题型一 算法的设计算法的设计【例1】已知点P（x0,y0）和直线l:Ax+By+C=0（A0），求点P(x0,y0)到直线l的距离d，写出其算法并画出流程图.分析 由公式 可知，欲求点到直线的距离，要先求Z1=Ax0+By0+C及Z2=A2+B2，代入 用顺序结构解决.解 算法如下：S1 输入点的坐标x0,y0及直线方程的系数A、B、C;S2 Z1Ax0+By0+C;S3 Z2A2+B2;S4 d ;S5输出d.学后反思 给出一个问题
3、，设计算法时应注意：（1）认真分析问题，联系解决此问题的一般数学方法；（2）综合考虑此问题中可能涉及的各种情况;(3)借助有关变量或参数对算法加以表述；（4）将解决问题的过程划分为若干个步骤；（5）用简练的语言将各个步骤表示出来.流程图:举一反三举一反三1. 写出一个将a，b，c由大到小排列的算法.解析: S1比较a与b的大小，设较大者为a,较小者为b；S2比较a与c的大小，设较大者为a,较小者为c;S3比较b与c的大小，设较大者为b，较小者为c；S4输出a，b，c.题型二题型二 算法的顺序结构算法的顺序结构【例2】如图，设计算法求底面边长为4，侧棱长为5的正四棱锥的侧面积及体积，并画出相应的
4、流程图.分析 先求体积，V= Sh,S= ,高 ，R= a,斜高 ，从而求得S侧=4 ah=2ah 解 算法如下： 流程图:S1 a4,l5;S2 R a;S3 h ,S ;S4 V Sh;S5 输出V;S6 h ;S7 S侧2ah;S8 输出S侧.学后反思 利用公式求解问题，先写出公式，看公式中的条件是否满足，若不满足，先求出需要的量，看要求的量需根据哪些条件求解.需要的条件必须先输入，或将已知条件全部输入，求出未知的量，然后将公式中涉及的量全部代入求值即可.举一反三举一反三2. 如图所示的流程图（部分）最终输出的结果是.解析： 该流程图的算法为：S1 x2;S2 -1;S3 y -1;S4
5、 输出y.所以y1=3,y= -1=8.答案： 8题型三题型三 算法的选择结构算法的选择结构 -2,x0,【例3】(2010青岛模拟）函数y= 0,x=0, 写出求该函数函数值 2,x0，则y-2; 如果x=0，则y0； 如果x0,则y2;S3 输出函数值y.学后反思 求分段函数值的算法应用到选择结构，因此在流程图的画法中需要引入判断框，要根据题目的要求确定引入判断框的个数，而判断框内的条件不同，对应的下一图框中的内容或操作就相应地进行变化.举一反三举一反三3. 下图输出的是-.解析: 由判断框可知,当S2 004时输出n，又由S=n(n+1)2可知S为1+2+n的和，所以是求S恰好大于2 0
6、04时n的值.答案： 63题型四题型四 算法的循环结构算法的循环结构【例4】(14分)设计一个计算13599的算法，画出流程图.分析 由于乘数较多，采用逐个相乘的方法程序太长，是不可取的，因此我们应采用引入变量应用循环的办法，可用当型循环和直到型循环.解 方法一：当型循环.算法为：S1 I1 ,sum1.S2 判断I99是否成立.若是，转S3； 否则，输出sum4S3 sumsumI.S4 II+2,返回S27流程图如图所示： .14方法二：直到型循环.算法为：S1 I1,sum1.S2 sumsumI.S3 II+2.4S4 判断I99是否成立.若是，执行S5；否则，转S2.S5 输出sum
7、.7流程图如图所示：.14学后反思 循环结构可细分为两类：一类是当型循环结构，如图（1）所示，它的功能是当给定的条件P1成立时，执行A框，A框执行完毕后，再判断条件P1是否成立，如果P1仍然成立，再执行A框，如此反复执行A框，直到某一次条件P1不成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构.（1）当型循环（2）直到型循环另一类是直到型循环结构，如图（2）所示，它的功能是先执行A，然后判断给定的条件P2是否成立，如果P2不成立，则继续执行A框，直到某一次给定的条件P2成立为止，此时不再执行A框，从b点离开循环结构.举一反三举一反三4. 给出以下10个数：5，9，80，43，95，73，28，1
8、7，60，36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的流程图.解析： 流程图如图所示.易错警示易错警示【例】设计一个流程图，求S=12+32+52+992的值.错解 （如图甲、乙）错解分析 图甲的错误在于II+1，步长为1，计算的是S=12+22+32+992.图乙的错误在于先执行II+2而后执行SS+I2，计算的是S=32+52+72+992.正解考点演练考点演练10. 运行如图的算法流程，求输出y的值为4时x的值.解析： 由框图知，该程序框图对应函数为 f(x)= (x+17),-17x1.由f(x)=4,可知x=2.11.在国家法定工作日内，每周满工作量的时间为40小时，若每周工
9、作时间不超过40小时，则每小时工资8元；如因需要加班，超过40小时的每小时工资为10元.某公务员在一周内工作时间为x小时，但他须交纳个人住房公积金和失业保险（这两项费用为每周总收入的10%）.试分析算法步骤并画出其净得工资y元的算法的流程图.(注：满工作量外的工作时间为加班）解析: 算法如下：S1 输入工作时间x小时;S2 若x40，则y8x(1-10%)；否则， y408(1-10%)+(x-40)10(1-10%);S3 输出y值.流程图：12. 阅读下面某一问题的算法的程序框图，写出此框图反映的算法功能.解析： 输入x，则 x,x0, -x,x0,所以其功能是计算任意实数x的绝对值|x|
10、.第六节第六节 椭圆椭圆基础梳理基础梳理1. 椭圆的定义（1）平面内的动点的轨迹是椭圆必须满足的两个条件:到两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a;2a F1F2.(2)上述椭圆的焦点是 ，椭圆的焦距是F1F2.2. 椭圆的标准方程和几何性质F1、F2标准方程 图形性质 范围 xa yb xb ya对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点A1 ,A2B1 ,B2 A1 ,A2B1 ,B2 轴 长轴A1A2的长为 短轴B1B2的长为 .焦距 F1F2=离心率 e= a,b,c的关系 c2=-a-a-b-b(-a,0)(0,-b)(a,0)(0,b)(0,-a)(-b,0)(0,a)(b,0
11、)2a2b2c(0,1)a2-b2典例分析典例分析题型一题型一 椭圆的定义及其标准方程椭圆的定义及其标准方程【例1】已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为 和 ，过P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程.分析 方法一：用待定系数法，设出椭圆方程的两种形式后，代入求解.方法二：先由椭圆定义，确定半长轴a的大小，再在直角三角形中，利用勾股定理求c,然后求b.解 方法一：设椭圆的标准方程 或 ,两个焦点分别为F1、F2，则由题意知2a=PF1+PF2= , a= .在方程 中,令x=c,得y= ；在方程 中,令y=c,得x= .依题意知 = ,b2= .即椭圆的方程
12、为方法二：设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,则PF1= ,PF2= .由椭圆的定义,知2a=PF1+PF2= ,即a= .由PF1PF2知，PF2垂直于长轴.故在RtPF2F1中，4c2=PF12-PF22= ,c2=53，于是b2=a2-c2= .又所求椭圆的焦点可以在x轴上，也可以在y轴上，故所求的椭圆方程为学后反思 (1)用待定系数法求椭圆方程时，当题目的条件不能确定椭圆的焦点位置时，应注意分两种情况来设方程，分别计算；有时也可以直接设成（2）过椭圆焦点与长轴垂直的直线截椭圆的弦通常叫做通径，其长度为 .举一反三举一反三1. 已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，且
13、过点P(3,2),求椭圆的方程.解析: （1）当焦点在x轴上时，设椭圆方程为 (ab0),则 解得 此时所求的椭圆方程为 (2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为 (ab0)，则 解得 此时所求的椭圆方程为 综上，所求的椭圆方程为 或 题型二题型二 椭圆的几何性质椭圆的几何性质【例2】已知P是椭圆 (ab0)上一点，F1、F2分别是左、右两个焦点.（1）若 (0)，求证:F1PF2的面积为 (2)若存在点P,使 ，求椭圆离心率的取值范围.分析 （1） 为焦点三角形，设 , ,则m+n=2a,而 只要将mn用m+n表示出来即可.（2）若求离心率e的取值范围，则必须依据条件，得到关于e的不等式求解.解
14、 (1)证明：如图所示，设 , , 的面积为S，则 . 在 中， m+n=2a,1+cos 0, .由、得 (2)当 时，由(1)得 又 (当且仅当m=n时取等号), e , e的取值范围为 ,1).学后反思 本题涉及到椭圆的顶点，长轴、短轴、离心率等几何性质，解题时应理清它们之间的关系，结合图形挖掘它们之间的数量联系，从而使问题得到解决.举一反三举一反三2. (2009北京)椭圆 的焦点为 , ,点P在椭圆上，若|P |=4,求|P |及 的大小.解析: , , ,又|P |=4,且|P |+|P |=2a=6,|P |=2,又由余弦定理，得 题型三题型三 直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位
15、置关系【例3】(14分)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l:y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点.求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标.分析 (1)由a+c=3,a-c=1,可求a、c.（2）直线方程与椭圆方程联立后得到交点A、B的坐标关系，再根据以AB为直径的圆过椭圆的右顶点可得到两直线垂直，从而求得交点A、B的坐标关系，联立后可求k、m的关系.解 （1）据题意设椭圆的标准方程为 ,由已知得a+c=3,a-c=1, .2a=2,c=1,b
16、2=a2-c2=3,椭圆的标准方程为x24+y23=1. .4(2)证明：设A(x1,y1),B(x2,y2),联立 y=kx+m， x24+y23=1，得（3+4k2）x2+8mkx+4(m2-3)=0, .6则由题意得=64m2k2-16(3+4k2)(m2-3)0,即3+4k2-m20.又x1+x2= ，x1x2= ，y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 8以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2,0),kADkBD=-1,即 ,y1y2+x1x2-2(x1+x2)+4=0, ,即7m2+16mk+4k2=0.解得m1=-2k,m2= ,且均满足3
17、+4k2-m2012当m1=-2k时,l的方程为y=k(x-2),直线过定点（2，0）,与已知矛盾；当m2=- k时,l的方程为y=k(x- ),直线过定点( ,0).所以直线l过定点，定点坐标为( ,0). 14学后反思 (1)直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆相交、相切或相离的情况.（2）消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础.举一反三举一反三3. 若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C： 于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线l的方程.解析：
18、设A,B的坐标分别为（x1,y1）,(x2,y2).已知圆的方程为（x+2）2+(y-1)2=5,所以圆心M的坐标为（-2，1）显然直线l的斜率存在,从而可设直线l的方程为y=k(x+2)+1,代入椭圆C的方程，得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k-27=0.因为A,B关于点M对称，所以 ,解得k= .所以直线l的方程为y= (x+2)+1,即8x-9y+25=0.【例4】如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r,短半轴长为r.计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上，记CD=2x,梯形面积为S.求面积S以x为自变量的函数式，
19、并写出其定义域. 题型四题型四 椭圆的实际应用椭圆的实际应用分析 建立坐标系后写出椭圆方程，求出y与x的关系式，从而求出S与x的函数式.解 依题意，以AB的中点O为原点建立直角坐标系xOy(如下图），则半椭圆方程为 (y0),解得 (0xr).S= (2x+2r) = (x+r),由S0和C与D不重合，得其定义域为x0xAB=2,由椭圆的定义知，点C的轨迹是以A、B为焦点，长轴长2a=4,焦距2c=2的椭圆.以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴，建立直角坐标系，则点C的轨迹方程为 易知点D也在此椭圆上，要使平行四边形ABCD面积最大，则以C、D为此椭圆短轴的两端点，此时面积S= km2
20、.易错警示易错警示【例】若椭圆 的离心率 ,则k的值为 .错解 由已知 , ,又 ,解得k=4.错解分析 忽视了椭圆的焦点位置不确定，即焦点也有可能在y轴上的情况.正解 （1）若焦点在x轴上，即k+89时， , ,解得k=4;(2)若焦点在y轴上，即0k+8b0).c= , 由 ,消去y,得 设直线与椭圆相交于 , 两点，则 , 是上述方程的根，且有0,即 恒成立. 即 , .故所求椭圆方程为 12. (2008北京）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆 上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当ABC=60时，求菱形ABCD面积的最大值.解析：（1）由题意，得直线BD的方程y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.由 ,得 因为A、C在椭圆上,所以 ，解得 设A，C两点坐标分别为 ， 则 , 又 , ，所以 所以AC的中点坐标为 由四边形ABCD为菱形可知，点 在直线y=x+1上，即 ,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.(2)因为四边形ABCD为菱形，且ABC=60,所以AB=BC=CA,所以菱形ABCD的面积 由（1）可得 所以 所以当n=0时，菱形ABCD的面积取得最大值
