量子力学的矩阵形式与表象变.ppt

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1、第七章第七章量子力学的矩阵形式与表象变换量子力学的矩阵形式与表象变换 1 态的表象的表象 2 算符的矩算符的矩阵表示表示 3 量子力学公式的矩量子力学公式的矩阵表述表述 4 Dirac 符号符号 5 Hellmann Feynman 定理及定理及应用用 6 占有数表象占有数表象 7 么正么正变换矩矩阵1234567返回返回（一）动量表象（一）动量表象（二）力学量表象（二）力学量表象（三）讨论（三）讨论1 态的表象返回返回到目前为止，体系的状态都用坐标到目前为止，体系的状态都用坐标(x,y,z)(x,y,z)的函数表示，也就是说的函数表示，也就是说描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作

2、用于坐标函数的算符表示。描写状态的波函数是坐标的函数。力学量则用作用于坐标函数的算符表示。但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系但是这种描述方式在量子力学中并不是唯一的，这正如几何学中选用坐标系不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对不是唯一的一样。坐标系有直角坐标系、球坐标系、柱坐标系等，但它们对空间的描写是完全是等价的。空间的描写是完全是等价的。波函数也可以选用其它变量的函数，波函数也可以选用其它变量的函数，力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。力学量则相应的表示为作用于这种函数上的算符。表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式

3、称为表象。以前采用表象：量子力学中态和力学量的具体表示方式称为表象。以前采用的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。的是坐标表象，下面我们要介绍其他表象。在坐标表象中，体系的状态用波函数在坐标表象中，体系的状态用波函数(x,t)(x,t)描写，这样一个态如描写，这样一个态如何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。何用动量为变量的波函数描写在前面几章中已经有所介绍。动量本征函数：动量本征函数：组成完成完备系，任一系，任一状状态可按其展开可按其展开展开系数展开系数假假设 (x,t) (x,t) 是是归一化波函数，一化波函数，则 C(p,t) C(p,t) 也是也是归一。一。命命题证（一）

4、动量表象（一）动量表象|C(p,t)|C(p,t)| 2 2 d p d p 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在所描写的状态中，测量粒子的动量所得结果在 p p + d p p p + d p 范围内的几率。范围内的几率。|(x,t)|(x,t)| 2 2d x d x 是在是在(x,t)(x,t)所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在所描写的状态中，测量粒子的位置所得结果在 x x + d x x x + d x 范围内的几率。范围内的几率。(x,t) (x,t) 与与 C(p,t) C(p,t) 一一一一对应，描述同一状，描述同一状态。 (x,t)

5、(x,t) 是是该状状态在坐在坐标表象中的波函数；表象中的波函数；而而 C(p,t) C(p,t) 就是就是该状状态在在动量表象中的波函数。量表象中的波函数。C(p,t) C(p,t) 物理意物理意义若若(x,t) (x,t) 描写的态是具有确描写的态是具有确定动量定动量 p p 的自由粒子态，的自由粒子态，即：即：则相相应动量表象中的波函数：量表象中的波函数：所以，在所以，在动量表象中，量表象中，具有确定具有确定动量量p p的粒的粒子的波函数是以子的波函数是以动量量 p p为变量的量的- 函数。函数。换言之，言之，动量本征函量本征函数在自身表象中是一数在自身表象中是一个个函数。函

6、数。x x 在自身表象即坐在自身表象即坐标表象中表象中对应有确定有确定值 x x本征函数是本征函数是 (x-x)(x-x)。同同样这可由本征可由本征值方程看出：方程看出：那末，在任一力学量那末，在任一力学量Q Q表象中，表象中， (x,t) (x,t) 所描写的态又如何表示呢？所描写的态又如何表示呢？推广上述讨论：推广上述讨论：x, px, p都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，都是力学量，分别对应有坐标表象和动量表象，因此可以对任何力学量因此可以对任何力学量Q Q都建立一种表象，称为力都建立一种表象，称为力学量学量 Q Q 表象。表象。问题问题（1）具有分立本征值的情况）具有分立本

7、征值的情况（2）含有连续本征值情况）含有连续本征值情况（二）力学量表象（二）力学量表象（1）具有分立本征）具有分立本征值的情况的情况设算符算符Q的本征的本征值为： Q1, Q2, ., Qn, .，相相应本征函数本征函数为：u1(x), u2(x), ., un(x), .。将将(x,t) 按按 Q 的的本征函数展开：本征函数展开：若若, un都是都是归一化的，一化的，则 an(t) 也是也是归一化的一化的。证：由此可知，由此可知，| a| an n| | 2 2 表示表示在在(x,t)(x,t)所描述的状所描述的状态中中测量量Q Q得得Q Qn n的几率。的几率。a a1 1(

8、t), a(t), a2 2(t), ., a(t), ., an n(t), .(t), .就是就是(x,t)所描写状所描写状态在在Q表象中的表示。表象中的表示。写成写成矩阵形式矩阵形式共共轭矩矩阵归一化可写一化可写为（2）含有）含有连续本征本征值情况情况例如例如氢原子能量就是原子能量就是这样一种力学量，一种力学量，即有分立也有即有分立也有连续本征本征值。设力学量设力学量 Q Q 的本征值和本征函数分别为：的本征值和本征函数分别为：Q1, Q2, ., Qn, ., qu1(x), u2(x), ., un(x), ., uq(x)则归一化则变为：归一化则变为：|an(t)|2 是在是在

9、 (x,t) 态中中测量力学量量力学量 Q 所得所得结果果为 Qn 的几率；的几率；|aq(t)|2dq 是在是在(x,t) 态中中测量力学量量力学量 Q 所得所得结果在果在 q q + d q之之间的几率。的几率。在在这样的表象中，的表象中，仍可以用一个列矩仍可以用一个列矩阵表示：表示：归一化仍可表一化仍可表为：+= 1这这类类似似于于一一个个矢矢量量可可以以在在不不同同坐坐标标系系描描写写一一样样。矢矢量量 A A在在直直角角坐坐标标系系由由三三分分量量A Ax x A Ay y A Az z 描描述述；在球坐标系用三分量在球坐标系用三分量A Ar r A A A A 描述。描述。 A

10、 Ax x A Ay y A Az z 和和 A Ar r, A, A , A, A 形式不同，但描写同一矢量形式不同，但描写同一矢量A A。态矢量矢量基本矢量基本矢量同一状同一状态可以在不同表象用波函数描写，表象不同，可以在不同表象用波函数描写，表象不同，波函数的形式也不同，但是它波函数的形式也不同，但是它们描写同一状描写同一状态。（三）（三）讨论波函数波函数是是态态矢矢量量在在Q Q表表象象中中沿沿各各基基矢矢方方向向上上的的“分分量量”。Q Q表表象象的的基基矢矢有有无无限限多多个个，所所以以态态矢矢量量所所在在的的空空间间是是一一个个无无限限维维的的抽抽象象的的函函数数空空间，称为间

11、，称为HilbertHilbert空间。空间。所以我们可以把状态所以我们可以把状态看成是一个矢量看成是一个矢量态矢量。态矢量。选取一个特定力学量选取一个特定力学量 Q Q 表象表象，相当于选取特定的坐标系，相当于选取特定的坐标系，u1(x), u2(x), ., un(x), . 是是 Q 表象表象的基本矢量的基本矢量简称称基矢基矢。（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示（二）（二）Q Q 表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质（三）（三）Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况算符的矩阵表示算符的矩阵表示返回返回坐坐标表象：表象：Q表象：表象：假设

12、只有分立本征值，将假设只有分立本征值，将, , 按按uun n(x)(x)展开：展开：两边左乘两边左乘 u*u*n n(x) (x) 并对并对 x x 积分积分Q Q表象的表象的表达方式表达方式代入代入（一）力学量算符的矩阵表示（一）力学量算符的矩阵表示Q表象的表达方式表象的表达方式F 在在 Q 表象中是一个矩表象中是一个矩阵， Fnm 是其矩是其矩阵元元=F简写成写成写成矩写成矩阵形式形式写写成成矩矩阵例例 1：求：求 Lx 在在 L2, Lz 共同表象，共同表象， =1子空子空间中的矩中的矩阵表示。表示。令：令：u u1 1 = Y = Y11 11 u u2 2 = Y = Y10 1

13、0 , u, u3 3 = Y = Y1-11-1 Lx矩矩阵是是33矩矩阵计算中算中使用了使用了公式公式由此得由此得Lx矩矩阵元元(L(Lx x) )11 11 = (L= (Lx x) )22 22 = (L= (Lx x) )33 33 = 0 = 0 (L(Lx x) )13 13 = (L= (Lx x) )31 31 = 0 = 0 (L(Lx x) )12 12 = (L= (Lx x) )21 21 = (L= (Lx x) )23 23 = (L= (Lx x) )32 32 = = /2 /21/21/2Lz在自身表象中具有最在自身表象中具有最简单形式，是一个形式，是

14、一个对角矩角矩阵，对角元素就是角元素就是 Lz的本征的本征值。同理可得同理可得Ly Lz则 L Lx x 的矩的矩阵元可如下元可如下计算：算：（1 1）力学量算符用厄密矩）力学量算符用厄密矩阵表示表示所以厄密算符的矩阵所以厄密算符的矩阵表示是一厄密矩阵。表示是一厄密矩阵。例例2 2：在例：在例1 1中给出了中给出了 L Lx x, , L Ly y在在 L L2 2, , L Lz z表象中的矩阵表象中的矩阵形式，下面我们验证一下形式，下面我们验证一下这两个矩阵是厄密矩阵。这两个矩阵是厄密矩阵。厄密矩厄密矩阵（二）（二）Q Q表象中力学量算符表象中力学量算符 F F 的性质的性质（2 2

15、）力学量算符在自身表象中的形式）力学量算符在自身表象中的形式Q的矩的矩阵形式形式结论：算符在自身表象中是一算符在自身表象中是一对角矩角矩阵，对角元素就角元素就是算符的本征是算符的本征值。（1）只有）只有连续本征本征值如果如果 Q Q只有连续本征值只有连续本征值q q ，上面的讨论仍然适用，上面的讨论仍然适用，只需将只需将u, a, bu, a, b的角标从可数的的角标从可数的 n, m n, m 换成连续变换成连续变化的化的 q q，求和换成积分，见下表。求和换成积分，见下表。分立分立谱连续谱算符算符F在在Q表象仍是一个表象仍是一个矩矩阵，矩，矩阵元由下式确定：元由下式确定：只是该矩阵的行列

16、只是该矩阵的行列是不是可数的，而是不是可数的，而是用连续下标表示是用连续下标表示（三）（三） Q Q 有连续本征值的情况有连续本征值的情况例例3 3：求坐：求坐标表象中表象中 F F的矩的矩阵元元例例4：求求动量表象中量表象中 F的矩的矩阵元元要要计算此算此积分，需要分，需要知道知道 F的具体形式的具体形式.（一）平均（一）平均值公式公式（二）本征方程（二）本征方程（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩方程的矩阵形式形式返回返回3 3 量子力学公式的矩阵表述量子力学公式的矩阵表述坐坐标表象平均表象平均值公式公式在在Q表象中表象中式右写成矩式右写成矩阵相乘形式相

17、乘形式简写成写成（一）平均值公式（一）平均值公式写成矩写成矩阵形式形式表成表成显式式整整理理改改写写上式是一个上式是一个齐次次线性方程性方程组方程方程组有不完全有不完全为零解的条件是零解的条件是系数行列式等于零系数行列式等于零久久期期方方程程求解此久期方程得到一求解此久期方程得到一组值：1, 2, ., n, .就是就是F的本征的本征值。将其分将其分别代入原代入原齐次次线性方程性方程组就就能得到相能得到相应于各于各i的本征矢的本征矢于是求解微分方程的问题就化于是求解微分方程的问题就化成了求解代数方程根的问题。成了求解代数方程根的问题。（二）本征方程（二）本征方程例例1 1：本征函

18、数本征函数 u um m(x) (x) 在自身表象中的矩阵表示。在自身表象中的矩阵表示。同样将同样将 u um m(x) (x) 按按的本征函数展开：的本征函数展开：显然然有有所以所以 u um m(x) (x) 在自身表象中的矩阵表示如下：在自身表象中的矩阵表示如下：例如：例如： L L2 2, , L Lz z的共同本征函数的共同本征函数 Y Y1111, Y, Y1010, Y, Y1-11-1. .在在 L L2 2, , L Lz z 的共的共同表象中的矩阵形式就特别简单同表象中的矩阵形式就特别简单。例例2 2：求：求 L Lx x本征态在本征态在 L Lz z表象中的矩阵表

19、象中的矩阵表示，只讨论表示，只讨论( ( =1)=1)情况。情况。Lx的本征方程的本征方程为：解解欲得欲得a1, a2, a3 不全不全为零的解，必零的解，必须要求系数行列式等于零要求系数行列式等于零(-2 + 2) = 0 解得本征解得本征值= 0, = 0, . .取取= 代入本征方程得：代入本征方程得：解得：解得：a1=(1/21/2) a2 a3=(1/21/2) a2 由由归一化一化条件条件定定 a2为简单计取取实数数同理得另外两个本征同理得另外两个本征值相相应本征函数本征函数则 =1, Lx = 的本征的本征态可可记为：写写到到 Q 表表象象按力学量算符按力学量算符

20、Q的本征函数展开的本征函数展开左乘左乘 um*(t) 对 x 整个空整个空间积分分 H H 都是矩阵都是矩阵简写简写（三）（三）SchrodingerSchrodinger方程的矩阵形式方程的矩阵形式作作业业周世勋：量子力学教程 4.1、 4.3、 4.44 Dirac 符号符号 ( (一）引一）引 ( (二二) ) 态矢量态矢量（三）算符（三）算符（四）总结（四）总结返回返回n前四章给出的都是前四章给出的都是 X - X - 表象中的形式，表象中的形式， n本章中给出了任一力学量本章中给出了任一力学量 Q-Q-表象中的形式，它们都是取定了某表象中的形式，它们都是取定了某一具体的力学量空

21、间一具体的力学量空间, ,即某一具体的力学量表象。量子描述除了即某一具体的力学量表象。量子描述除了使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学使用具体表象外，也可以不取定表象，正如几何学和经典力学中也可用矢量形式中也可用矢量形式 A A 来表示一个矢量，来表示一个矢量， n而不用具体坐标系中的分量而不用具体坐标系中的分量(A(Ax x, A, Ay y, , A Az z) )表示一样。表示一样。 n量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。量子力学可以不涉及具体表象来讨论粒子的状态和运动规律。这种抽象的描述方法是由这种抽象的描述方法是由 DiracDirac 首先引用的

22、，首先引用的， n所以该方法所使用的符号称为所以该方法所使用的符号称为 DiracDirac 符号。符号。( (一）引一）引（1 1）右矢空）右矢空间前前面面已已经经讲讲过过，一一个个状状态态通通过过一一组组力力学学量量完完全全集集的的测测量量（完完全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。全测量）来确定，通常用所测得的力学量的量子数来确定。例例如如：一一维维线线性性谐谐振振子子其其状状态态由由量量子子数数 n n 确确定定，记记为为n n(x)(x)；氢氢原原子子的的状状态态由由量量子子数数 n, l, mn, l, m 确定，记为确定，记为 n l mn l m( r,( r,

23、, , ) )，如此等等。如此等等。在在抽抽象象表表象象中中 DiracDirac 用用右右矢矢空空间间的的一一个个矢矢量量 | | 与与量量子子状状态态相相对对应应，该该矢矢量量称为右矢。称为右矢。|n |n n n(x)(x)； |n, l, m |n, l, m n l mn l m状态状态 |n |n 和和 n n(x) (x) 亦可分别记成亦可分别记成 |n n 和和 |n l m n l m 。对力学量的本征态可表示为对力学量的本征态可表示为 |x, |p, |x, |p, |Q Qn n . . 等。等。因因为为力力学学量量本本征征态态构构成成完完备备系系，所所以以本本征征函函

24、数数所所对对应应的的右右矢矢空空间间中中的的右右矢矢也也组组成成该该空空间间的的完完备备右右矢矢（或或基基组组），即即右右矢矢空空间间中的完备的基本矢量（简称基矢）。中的完备的基本矢量（简称基矢）。右右矢矢空空间间的的任任一一矢矢量量 | | 可可按按该该空空间间的的某某一一完备基矢展开。完备基矢展开。例如：例如：( (二二) )态矢量态矢量（2 2）左矢空）左矢空间右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的右矢空间中的每一个右矢量在左矢空间都有一个相对应的左矢量，记为左矢量，记为 | |。例如：。例如：Dirac 符号符号右矢空间和左矢空间称为伴右矢空间和左矢空间称为伴空间或对偶空间

25、，空间或对偶空间， | | 称为伴矢量。称为伴矢量。 pp |, x |, x |, |, | 和和 | 按按 Q Q 的左基矢的左基矢 | |Q Qn n 展开展开 | = a| = a1 1 |Q |Q1 1 + a + a2 2 |Q |Q2 2 + . + a + . + an n | |Q Qn n + . + . 展开系数即相当于展开系数即相当于 Q Q 表象中的表示：表象中的表示：| | 按按 Q Q 的左基矢的左基矢 Q Qn n | | 展开：展开： | = a*| = a*1 1 Q Q1 1 | + a* | + a*2 2 Q Q2 2 | + . + a* | + .

26、 + a*n n Q Qn n | + . | + . 展开系数即相当于展开系数即相当于 Q Q 表象中的表示：表象中的表示： + = (a*+ = (a*1 1, a*, a*2 2, ., a*, ., a*n n, . ), . )同理同理某一左矢量某一左矢量 | | 亦可按亦可按 Q Q 的左基矢展开：的左基矢展开： | = b*| = b*1 1 Q Q1 1 | + b* | + b*2 2 Q Q2 2 | +. + b* | +. + b*n n |和和 | | 的标积为：的标积为：显然然 * * = = 这就是用这就是用DiracDirac 表示的波函数表示的波函数归一化

27、条件。归一化条件。由由标积定定义得得: :本征本征态的正交的正交归一化条件可写一化条件可写为：由此可以看出由此可以看出 | | 和和 |的关系：的关系：1 1）在同一确定表象中，各分量互为复共轭；）在同一确定表象中，各分量互为复共轭； 2 2）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加；）由于二者属于不同空间所以它们不能相加，只有同一空间的矢量才能相加； 3 3）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。）右矢空间任一右矢可以和左矢空间中任一左矢进行标积运算，其结果为一复数。（4 4）本征函数的封）本征函数的封闭性性展开式展开式两两边左乘左乘

30、和或求和或积分：分：所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。所以，我们也可以把封闭性解释为本征函数对于本征值的求和或积分是正交归一的。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。它来自于本征函数的完备性，也是本征函数完备性的表示。分立分立谱连续谱封封闭性与正交性与正交归一性比一性比较在形式上在形式上二者相似二者相似区区别(1) (1) 右右矢空矢空间在抽象的在抽象的DiracDirac表象表象DiracDirac 符符号号的的特特点点是是简简单单灵灵活活。如如果果欲欲把把上上式写至式写至 Q Q 表象，则只需在适当位置插入单位算符。表象，则只需在适当

31、位置插入单位算符。左乘左乘 Q Qm m | |把公式把公式变到变到 Q Q 表象表象算符算符 F 在在Q 表象表象中的矩中的矩阵表示的表示的矩矩阵元元 Fm n写成矩写成矩阵形式形式 = F Q 表象表象X X表象表象（三）算符（三）算符平均值公式平均值公式插入插入单位算符单位算符（2）共）共轭式（左矢空式（左矢空间）表明量子力学中的力学量表明量子力学中的力学量既可以向右作用到右矢量上，既可以向右作用到右矢量上，也可以向左作用到左矢量上。也可以向左作用到左矢量上。若若 F是是厄密算符厄密算符例：力学量算符例：力学量算符 x x 在在动量中的形式量中的形式左乘左乘 p | p

32、|代回原式代回原式故坐标算符故坐标算符 x x 在动量表象中取如下形式在动量表象中取如下形式: :（1 1）X X 表象描述与表象描述与 DiracDirac 符号符号DiracDirac 符号符号项目目X X 表象表象（四）总结（四）总结（2 2）左右矢空间的对应关系）左右矢空间的对应关系左矢空左矢空间右矢空右矢空间（3 3）厄密共轭规则厄密共轭规则由常量由常量 C C、左矢、右矢和算符组成的表左矢、右矢和算符组成的表示式，求其厄密共轭式的表示规则示式，求其厄密共轭式的表示规则1 1）把全部次序整个）把全部次序整个颠倒倒2 2）作如下代）作如下代换：常量常量 C CC C* * | |

33、 | | 例如例如（一）引言（一）引言（二）（二）H - F H - F 定理定理（三）实例（三）实例5 Hellmann - Feynman 5 Hellmann - Feynman 定理及应用定理及应用返回返回关关于于量量子子力力学学体体系系能能量量本本征征值值问问题题，有有不不少少定定理理，其其中中应应用用最最广广泛泛的的要要数数 Hellmann Hellmann - - Feynman Feynman 定定理理（简简称称 H-FH-F定定理理）该该定定理理的的内内容容涉涉及及能能量量本本征征值值及及各各种种力力学学量量平平均均值值随随参参数数变变化化的的规律。规律。（1 1）当体

34、系的能量本征值已求出，借助于）当体系的能量本征值已求出，借助于H-FH-F定理可以得出关于定理可以得出关于各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进各种力学量平均值的许多信息，而不必利用波函数去进行烦琐的计算行烦琐的计算；（2 2）利用）利用 H-F H-F 定理可以很巧妙地推出维里定理。定理可以很巧妙地推出维里定理。（一）引言（一）引言设设体体系系的的 Hamilton Hamilton 量量 H H 中中含含有有某某参参量量，E En n 是是 H H的的本本征征值值，n n 是归一的束缚态本征函数（是归一的束缚态本征函数（n n 为一组量子数），则为一组量子数），则证据据题设，

35、n 满足本征足本征值方程：方程：其共其共轭方程方程为：对对求导数并左乘求导数并左乘 n n | | 得：得： = 1 证毕由共轭方程由共轭方程知，上式等知，上式等号左边第二号左边第二项为项为 0 0，H - F H - F 定理很有实用价值，定理很有实用价值， H H 中的中的 , , 等都可以选为参数等都可以选为参数。（二）（二）H - F H - F 定理定理（1 1）证明一维谐振子）证明一维谐振子 = p = / 2。证一一维谐振子振子 Hamilton 量：量：方法方法 I：取取作作为参数参数由由HF 定理定理简记为（三）实例（三）实例方法方法 II令令 = = 方法方法

36、III取取 = 由由HF 定理定理由由 HF 定理定理（2 2）对类氢离子任何一个束离子任何一个束缚态nlmnlm ，求求 1/r , 1/r1/r , 1/r2 2 的平均的平均值。解解1 1）求）求1/r1/r取取 Z Z 为变分参数为变分参数由由HFHF定理定理2 2）求：）求：1/r 类氢离子径向波函数类氢离子径向波函数u unlnl满足的径向方程为：满足的径向方程为：改写成改写成该方程可看成是一维定态方程，其等效该方程可看成是一维定态方程，其等效 Hamilton Hamilton 量和本征值为：量和本征值为：取取为变分参数分参数由由HF定理定理（3 3）证明明维里定理里定理即即证

37、I.I.在坐标表象在坐标表象将将视为参数参数由由 HF 定理定理II.II.在动量表象在动量表象由由HF定理定理（4）对类氢原子定原子定态，证明：明：证对类氢原子原子由由HFHF定理定理由例（由例（2 2）知：）知：（一）算符（一）算符 a, a+, N. a, a+, N. （二）占有数表象二）占有数表象返回返回6 6 占有数表象占有数表象本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。本节我们从新的角度讨论这一问题，引进占有数表象。（2 2）定义新算符）定义新算符 a, a+, N.a, a+, N.令令证明二者明二者满足如下足如下对易关系易关系（一）算符（一）算符 a, a+,

38、N.a, a+, N.（1 1）坐标表象下的线性谐振子）坐标表象下的线性谐振子证证毕证毕（3 3）用算符）用算符a, a+ a, a+ 表示振子表示振子HamiltonHamilton量量由由 a, a+ 定定义式式将算符将算符 x, p 用新算符用新算符 a, a+ 表示出来表示出来代入振子代入振子 Hamilton Hamilton 量量 2=/ （4 4） a, a+, N a, a+, N 的物理意义的物理意义I. a, a+ I. a, a+ 的物理意义的物理意义将将 a a 作用在能量本征态作用在能量本征态 n n(x) (x) 上上由由n n 的的递推公式递推公式用用 Di

39、rac 符号表示符号表示其中其中 |n, |n-1, |n+1 等都是等都是 H 的本征基的本征基矢，矢， En, En-1, En+1。是相是相应本征本征值。因因为为振振子子能能量量只只能能以以为为单单位位变变化化，所所以以能能量量单单位位可可以以看看成成是是一一个个粒粒子子，称称为为“声声子子”。状状态态 |n |n 表表示示体体系系在在此此态态中中有有 n n 个粒子（声子）称为个粒子（声子）称为 n n 个声子态。个声子态。粒子粒子湮湮灭算符算符粒子粒子产生算符生算符显然有显然有振子基振子基态的基矢的基矢用产生算符用产生算符 a a+ + 表示的振子基矢表示的振子基矢II.

40、N II. N 的意义的意义上式表明，上式表明， n n 是是N N 算符的本征值，算符的本征值，描写粒子的数目，故描写粒子的数目，故N N 称为粒子数算符。称为粒子数算符。以以 |n |n 为基矢的表象称为占有数表象为基矢的表象称为占有数表象湮灭算符湮灭算符 a a 的矩阵元的矩阵元矩矩阵阵形形式式为：为：产生算符产生算符 a a+ + 的矩阵元的矩阵元（二）占有数表象（二）占有数表象（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系（三）么正变换的性质（三）么正变换的性质7 7 么正变换矩阵么正变换矩

41、阵返回返回（1 1）么正）么正变换矩矩阵力学量力学量 A, B A, B 其本征方程分别为其本征方程分别为: : 由于本征基矢由于本征基矢的封闭性的封闭性 B B 基矢可基矢可按按 A A 的基矢展开：的基矢展开：展开系数展开系数：（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵（一）不同表象之间的变换和么正变换矩阵写成矩写成矩阵形式形式（2 2）S S 矩矩阵的么正性的么正性1 1）S S+ + S = I S = I2 2）S SS S+ + = I = IS S+ + S = S S S = S S+ + S S+ + = S = S-1-1所以所以（3 3）如何求么正）如何求么正变换矩矩阵方

42、法方法 I：由由 S S 矩阵元的定义式：矩阵元的定义式：计算出全部矩阵元即可得到计算出全部矩阵元即可得到 S S 矩阵。矩阵。方法方法 II ：由表达式由表达式可知，可知，S S 矩阵元矩阵元S S kk, n = 1, 2, 3, . , n = 1, 2, 3, . 即是即是基矢基矢 | 在在A A表表象中的表示，象中的表示，即即反之，如果我们已经知道了某一力学量基反之，如果我们已经知道了某一力学量基矢在另一力学量表象中的表示，那末我们矢在另一力学量表象中的表示，那末我们就可以直接把就可以直接把 S S 变换矩阵写出来。变换矩阵写出来。为为清清楚楚简简单单起起见见，假假设设：A A 和

43、和B B的的本本征征矢矢各各只只有有3 3个个，分分别别为为: :|1 1, , |2 2, , |3 3 和和 |1 1, |, |2 2, |, |3 3 。|1 1 = S = S1 11 1|1 1 + S + S2 12 1|2 2 + S + S3 13 1|3 3 |2 2 = S = S1 21 2|1 1 + S + S2 22 2|2 2 + S + S3 23 2|3 3 |3 3 = S = S1 31 3|1 1 + S + S2 32 3|2 2 + S + S3 33 3|3 3 如果如果 | , ( = 1, 2, 3) 在在A表象中的表示表象中的表示已知：已

44、知：在在 A A 表象中，表象中，B B 的本征基矢可表示为：的本征基矢可表示为：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：将三列矩阵元按原列次序组成一个新矩阵：就是由就是由 A A 表象到表象到 B B 表象的么正变换矩阵。表象的么正变换矩阵。（1 1）波函数变换关系）波函数变换关系对任一态矢对任一态矢 |u |u 作用作用 A A 的单位矢量的单位矢量则则于是于是 |u |u 在在 A A 表象中的表示为：表象中的表示为：同理：同理：则则 |u |u 在在 B B 表象中的表示：表象中的表示：为了找出为了找出 b b与与 a an n 之间的之间的关系，我们对此式插入关系，我们对此式插入

45、 A A 表象的单位算符得：表象的单位算符得：b = Sb = S+ + a a = S = S-1-1 a ab b 与与 a a 之间之间的变换关系的变换关系（二）波函数和算符的变换关系（二）波函数和算符的变换关系（2 2）算符）算符 F F 的的变换关系关系A 表象：表象：B 表象：表象：F = SF = S+ + F S F S = S = S-1-1 F S F S 插入单位算符插入单位算符（1）么正）么正变换不改不改变算符的本征算符的本征值设设 F F 在在 A A 表象中的本征方程为：表象中的本征方程为：F a = aF a = a在在B B 表象，表象，= S= S-1-1

46、a a F = S F = S-1-1 F S F S b = S b = S-1-1 a aF b =F b = S= S-1-1 F a F a= S= S-1-1 a a=b=b可可见见，不不同同表表象象中中，力力学学量量算算符符 F F对对应应同同一一状状态态（a a 和和 b b 描描写写同同一一状状态态）的的的的本本征征值值不不变变。基基于于这这一一性性质质，解解F F的的本本征征值值问问题题就就是是把把该该力力学学量量从从某某一一表表象象变变到到自自身身表表象象，使使F F矩阵对角化。矩阵对角化。S S-1-1 F S S F S S-1 -1 a a （三）么正变换的性质（三）

47、么正变换的性质（2 2）么正）么正变换不改不改变矩矩阵的迹的迹矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即矩阵的迹定义为该矩阵对角元素之和，即F F 的迹等于的迹等于 F F 的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。的迹，也就是说：么正变换不改变矩阵的迹。（3 3）矩）矩阵方程式方程式经么正么正变换保持不保持不变表象表象 AF = 表象表象 BF = 矩矩阵方程式方程式证= F = S F = S-1-1 F S F S b = S b = S-1-1 a aF =(S-1 F S ) (S-1)= S-1 F = S-1F = 证毕例：例：设在在 A 表象中表象中对易关系：易关系：在在B表象表象对易关系在么正变换下保持不变对易关系在么正变换下保持不变（4）么正）么正变换不改不改变厄密矩厄密矩阵的厄密性的厄密性设：A 表象表象B表象：表象：F = S-1 F S= S= S-1-1 F S F SF F + += (S= (S-1-1 F S) F S)+ += S= S+ + F F+ + (S (S-1-1) )+ += = F F

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量子力学的矩阵形式与表象变.ppt

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