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1、凌波微步数学建模融入基础课程教学Stillwatersrundeep.流静水深流静水深,人静心深人静心深Wherethereislife,thereishope。有生命必有希望。有生命必有希望 数学建模主要思想数学建模主要思想 利用数学知识解决问题利用数学知识解决问题 实际问题实际问题 - -建模建模 数学模型数学模型 i i求解求解 实际实际解解 检验检验- - 数学数学解解 咏数学建模咏数学建模数学精微何处寻数学精微何处寻, ,纷纭世界有模型纷纭世界有模型. .描摹万象得神韵描摹万象得神韵, ,识破玄机算古今识破玄机算古今. . 岂是空文无实效岂是空文无实效, ,能生妙策济苍生能生妙策济苍
2、生. .经天纬地展身手经天纬地展身手, ,七十二行任纵横七十二行任纵横. . 将数学建模思想引入基础将数学建模思想引入基础课程教学（一）课程教学（一） 利利用用基基础础课课知知识识建建立立模模型型解解决问题决问题: :(1)(1)来自现实生活的实际问题来自现实生活的实际问题(2)(2)数学自身发展提出的问题数学自身发展提出的问题 将数学建模思想引入基础将数学建模思想引入基础课程教学（二）课程教学（二） 从问题出发从问题出发 建立数学模型解决建立数学模型解决 “发发明明”出出基基础础课课程程的的知知识识- - 人类的旧知识人类的旧知识, ,学生的新知识学生的新知识 凌波微步凌波微步 = = 数学
3、建模数学建模 数学建模主要思想数学建模主要思想实际问题实际问题 - -建模建模 数学模型数学模型 i i求解求解 实际实际解解 检验检验- - 数学数学解解难以解决难以解决 - -转化转化 容易解决容易解决凌波微步凌波微步: :打不赢就跑打不赢就跑- -转化转化 跑到打得赢的地方再打跑到打得赢的地方再打7/25/2024 润物细无声：应用案例润物细无声：应用案例 随风潜入夜随风潜入夜: :概念的引入概念的引入方程个数的真与假方程个数的真与假 方程组方程组 有几个方程？有几个方程？ 3 3个个? 2? 2个个? ? 某个方程是其余方程的线性组合某个方程是其余方程的线性组合 线性相关线性相关问题：
4、怎样判断问题：怎样判断a, b, ga, b, g线性无关？线性无关？ 分别解三个方程？分别解三个方程？xa+a+y b= g, b= g, x a+a+y g = b, g = b, x b+b+y g =ag =a只须解一个方程只须解一个方程 xa+ a+ yb+ b+ zg = 0g = 0 看它是否有非零解看它是否有非零解线性相关与线性无关线性相关与线性无关 “打假打假”到底到底: :极大无关组极大无关组, ,秩秩 方程组线性相关方程组线性相关 有多余的方程（是其余方程的线性组有多余的方程（是其余方程的线性组合）合）删去多余的方程删去多余的方程 - - 打假打假将打假进行到底将打假进行
5、到底极大线性无关组极大线性无关组剩下的方程的个数剩下的方程的个数- - 秩秩rank rank 极大线性无关组，秩极大线性无关组，秩问题：秩的唯一性方程组方程组( (A1, A1, A2 , , A3) 与与( (B1,B1, B2) ) 互为线性组互为线性组合合A1 = a11B1 + a12B2 A2 = a21B1 + a22B2 A3 = a31B1 + a32 B2x1 A1+ A1+x2 A2+ A2+ x3 A3=0A3=0 : 未知数个数未知数个数 方程个数方程个数 有非零解有非零解 (x1,x2,x3) A1, A2,A1, A2, A3 A3 线性相关线性相关. 方方程程可
6、可以以换换成成任任意意对对象象, ,只只要要仍仍有有加加法法和和数数乘乘且满足运算律且满足运算律, ,证明仍成立证明仍成立 抽象向量空间抽象向量空间二元一次方程组的几何意义二元一次方程组的几何意义行列式的定义行列式的定义方程组方程组可写成向量形式可写成向量形式即即1. 有唯一解的条件有唯一解的条件不共线不共线即即2. 消元消元: 方程方程(1.1)两边与两边与(1.1)作内积消去作内积消去y, 得得其中其中就是就是同理得同理得图图2因此因此,于是于是3. 二阶行列式二阶行列式 平行四边形面积平行四边形面积称为称为二阶行列式二阶行列式, 记作记作是平行四边形是平行四边形 OAPB 的有向面积的有
7、向面积,是两个向量是两个向量或或的函数的函数,计算公式计算公式:或或图图24. 代数算法代数算法可写成可写成其中其中三阶行列式与体积三阶行列式与体积1. 三元一次方程组的几何意义三元一次方程组的几何意义两边同时与两边同时与方程方程作内积消去作内积消去 y, z , 得到得到类似地可以得到类似地可以得到 y, z 的表达式。的表达式。当当时得时得从原点从原点O出发作有向线段出发作有向线段OA，OB，OC使使则则就是以就是以OA,OB,OC为棱的平行六面为棱的平行六面体的有向体积。称为体的有向体积。称为三阶行列式三阶行列式，记作，记作2. 三阶行列式三阶行列式 平行六面体体积平行六面体体积利用基本
8、性质计算利用基本性质计算 n 阶行列式阶行列式(3.1)当当 i1,i2,in 中有两个相等时，中有两个相等时，这样的项可以从这样的项可以从 (3.1) 中去掉。只剩下中去掉。只剩下 i1,i2, in 两两不相等的项两两不相等的项, (3.1)中的中的 变成对变成对1,2,1,2,n 的全体排列的全体排列 (i1,i2, in ) 求和求和, 成为成为:几何模型几何模型线性变换前后的图形7/25/2024 向量方向的变化7/25/2024 选取特征向量为基选取特征向量为基7/25/2024数模数模赛案例赛案例. . 足球队排名足球队排名 根据足球比赛成绩给出各队实力名次根据足球比赛成绩给出各
9、队实力名次 X X1 X Xj X Xn X X1 a a1j a a1n X Xi a ai1 a aij a ain X Xn a an1 a anj a ain 根据对手实力对得分加权根据对手实力对得分加权 先验实力比：先验实力比： x1 , , , ,xj , ,xn 后验实力比：后验实力比： y1 , , , ,yj , ,yn y1 = a = a11x1 + + + + a a1j xj + + + + a a1nxn yi = a = ai1x1 + + + + a aij xj + + + + a ainxn yn = a = an1x1 + + + + a anj xj +
10、 + + + a annxn Y = AX = Y = AX = l lX X , X , X 是特征向量是特征向量 线性代数线性代数 空间为体空间为体, , 矩阵为用矩阵为用研究对象研究对象-几何：线性空间(向量) 研究工具研究工具-代数：矩阵运算 向量向量 (问题问题) 矩阵语言描述矩阵语言描述 矩阵运算解决矩阵运算解决 向量向量(解答解答)与微积分的关系与微积分的关系: 非线性非线性 - -微积微积分 线性线性 - -线性代数线性代数 多元微积分：线性代数模型多元微积分：线性代数模型微积分基本思想微积分基本思想 : : 非线性非线性线性线性复合函数的导数复合函数的导数:7/25/2024
11、隐函数存在定理隐函数存在定理 F(x,y) 在某点在某点P0可微可微何时由何时由 F(x,y)=0 确定确定 y=f(x)?一般一般F不好解决不好解决凌波微步凌波微步线性化线性化: aD Dx+bD Dy 0,y=f(x) 在在 x0 可微可微,导数为导数为7/25/2024隐函数存在定理严格证明隐函数存在定理严格证明F(x,y)=0. 将将F(x,y)线性化得线性化得: aD Dx+bD Dy +d d(D Dx,D Dy)=0解得解得D Dy =f(D Dx,D Dy)= D Dx+d(D Dx,D Dy) 迭代迭代: : D Dy0=0, D Dyn= D Dx+d(D Dx,D Dyn
12、-1). 则则 D Dyn -D-Dyn-1= dy (D Dyn-1-D Dyn-2 ) 选选 D Dx,D Dy 的范围充分小的范围充分小,可使可使|dy| 0.5且充分小且充分小, D Dyn 收敛到所需范围收敛到所需范围. 7/25/2024 可微函数可微函数n 个方程个方程 =0 ,线性化线性化 即即当当 det B 时有唯一解时有唯一解隐映射定理隐映射定理7/25/2024一元微积分一元微积分物理：以匀速代替非匀速物理：以匀速代替非匀速几何：以直代曲几何：以直代曲（只能看不能算）（只能看不能算）代数：以线性代替非线性代数：以线性代替非线性例例. 自由落体自由落体 x = 4.9 t
13、2 . 求求t 秒末的速度秒末的速度.解：解： x(t+D Dt)=4.9(t+D Dt)2 =4.9 t2 +9.8t(D Dt)+4.9(D Dt)2线性化：线性化： x(t+D Dt) 4.9 t2 +9.8t(D Dt)误差误差4.9(D Dt)2 : D Dt 的无穷小倍的无穷小倍 = o(D Dt). 速度速度vt= 一次项系数一次项系数 9.8t = 导数导数几何几何: :以直代曲以直代曲 抛物线抛物线 x = 4.9(t + D Dt) )2 在点在点(t, 4.9t2)附近附近 被切线被切线 x = 4.9t2 + 9.8D Dt 近近似代替似代替速度速度v1 =切线斜率切线
14、斜率此几何意义与此几何意义与 x,t 的物理意义无关的物理意义无关可以推广到别的可以推广到别的 函数函数 y = f(x)D DtD Dxtx 微分与导数微分与导数函数函数 y = f(x) 在在 x=a 附近线性化。附近线性化。 函数增量函数增量 D Dy = f(x)-f(a),自变量增量自变量增量D Dx=x-a D Dy k D Dx ，误差误差: :D DykkD Dx = o(D Dx) 微分微分: dy = kD Dx导数导数: = k,记为记为 f (a) = =变化率变化率= =切线斜率切线斜率. . 一次函数代替一次函数代替 f(x): y=f(x) f(a) + f (a
15、) D DxxD DxD Dyy误差的代数理论误差的代数理论约等式约等式 D Dy= f(x)-f(a) k D Dx与与 y = f(x) f(a) +f (a)D Dx 的的 误差误差能否将能否将 f(x) f(a) +f(a)D Dx 与与 g(x) g(a) +g(a)D Dx 加、减、乘得到：加、减、乘得到：f(x) g(x) f(a) g(a)+(f(a)g(a) D Dxf(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) D Dx ?约等式的缺陷：一般不像等式那样具有传递约等式的缺陷：一般不像等式那样具有传递性，不能像等式那样加、减、乘。性，不能像等式那样
16、加、减、乘。假作真时貌似真假作真时貌似真极限：极限： f(x) A 即即: f(x)=A+q q, ,q q无穷小无穷小( (0). 0). 若若 f(x)A, g(x)B f(x)g(x)= (A+q q1)(B+q q2)=AB+q q1B+Aq q2+q q1q q2 AB无穷小无穷小的的代数性质代数性质 (同济同济. 用用 e-de-d语言证明语言证明.) 可以将可以将 q q1, q, q2看成看成 0，略去不写，略去不写写写 f(x) A, g(x) B, 像等式一样加、减、乘像等式一样加、减、乘得到得到 f(x) g(x) A B, f(x)g(x) AB即即f(x) g(x)
17、A B, f(x)g(x) AB . 被忽略的元素集合被忽略的元素集合=无穷小无穷小= O(D Dx)微分：微分：D Dy dy （mod o(D Dx) f(x) f(a)+f (a)D Dx（mod o(D Dx)多项式的导数多项式的导数 .多项式多项式 f(x)=anxn +a1x+a0 的导数的导数:差差分分D D f(x) = f(x+ t ) t ) f(x)=(nanxn-1+a1)t t +()t t2 是是 t t 的多项式的多项式, , 其中其中t t 的一次项系的一次项系数即数即 f (x) = =nanxn-1+a1 和差积商的导数公式和差积商的导数公式f(x) f(a
18、) + f(a) D Dx g(x) g(a) +g(a) D Dx 两式相加减两式相加减 和差的导数和差的导数相乘相乘乘积的导数乘积的导数f(x)g(x) f(a)g(a) +(f(a)g(a)+g(a)f(a) D Dx倒数的导数倒数的导数: 指数函数的微分指数函数的微分ax+D Dx ax +kD Dx (mod o(D Dx) , aD Dx 1+ lDlDx , l = l = k/ /ax(a1/l1/l) lD lDx 1+ lDlDxbt t 1+ t, t, b = a1/l1/l , t t = lDlDx，取，取 t t = 1/n, b1/ 1/n 1+1/n (o)
19、b (1+1/n)n (O) ?b1/ 1/n = (1+1/n)(1+q q/n), b = (1+1/n)n (1+ q q/n)n 1+q q (1+ q q/n)n 1/(1-q q/n)n 1/(1-q)q)n , q q0, 0, b = e , a = el l, l , l = ln a, (ax )= k = ax ln a. 对数函数的导数对数函数的导数k=lim (loga(x+D Dx) logax)/D)/Dx, = lim loga (1+D Dx/x) 1/D1/Dx , t = Dt = Dx/x =(1/x) lim loga (1+t t) 1/t1/t=(
20、1/x) loga e当当 a=e 时时 k=1/x. 不请自来的不请自来的 e e例例1. 邯郸农行案邯郸农行案某彩票中奖率某彩票中奖率 1/n, 买买2n张全不中的概率张全不中的概率（1-1/n)2n e-2 0.135例例2. 将正实数将正实数 a 分成若干个正实数分成若干个正实数 xi 的和，这的和，这些些xi 的乘积何时最大的乘积何时最大解解. 假定已分成假定已分成 a=nx, xn 最大最大. 试验：试验：x再细分成再细分成2份份, (x/2)2 x x4 . 两个两个x合并成合并成 2x2. n个个x细分成细分成 (nx/(n+1)n+1 xn, x(1+1/n) n+1 n个个
21、x粗分成粗分成 (nx/(n-1)n-1 (1+1/(n-1) n-1x = e 时肯定满足。时肯定满足。匀速圆周运动匀速圆周运动三角函数导数三角函数导数 质点绕原点做匀速圆周运动质点绕原点做匀速圆周运动 角速度角速度 w w, , 半径半径 R=1 时刻时刻 t: 位置位置 P(cosw wt, sinw wt) 速度向量速度向量 v 大小为大小为 w , w , 方向可由方向可由x轴旋转轴旋转 w wt+p p/2 得到得到, 坐标坐标 (w wcos(w wt+p p/2), w wsin(w wt+p p/2) = (-w wsinw wt, w wcos w wt) (sinw wt
22、)= w wcos w wt,(cos w wt)= - w wsinw wtw wtsinw wtPw wt+p p/2w wvxO定积分的物理模型定积分的物理模型: :求路程求路程已知速度已知速度 v(t) (t a,b) 求路程求路程匀速匀速: v(t) = k(常数常数), 路程路程 s = kD Dt = k(b-a)变速变速: 分段看成匀速求路程分段看成匀速求路程:短路程短路程 即时速度即时速度 短时间短时间 大路程大路程 i短路程短路程 i v(ti) D Dti s = ab v(t) dt 几何模型：求面积几何模型：求面积时间段时间段a,b内的路程内的路程 s = 区间区间a
23、,b上速度函数曲线上速度函数曲线v=v(t)与横轴所围面积与横轴所围面积 S(a,b) .数学实验数学实验: : 通过求单位圆面积算通过求单位圆面积算p ptsabv(t)vtabvv(t)=ks=k(b-a)OO 微积分基本定理微积分基本定理数学聊斋数学聊斋(生活中模型生活中模型)： 飞檐走壁之电影飞檐走壁之电影 实现实现由路程由路程 s=f(t) 求速度易求速度易: : v(t) = f(t)由速度由速度v(t)求路程求路程 s(a,b)= ab v(t) dt 难难倒过来放映倒过来放映: 求位置函数求位置函数 f(t) 使使 f(t) = v(t)路程路程 s(a,b) = 位置差位置差
24、D Df(t) = f(b)-f(a) . 对对 y=f(x), 找找 F(x)(原函数原函数)使使 F(x)=f(x),则则求曲边梯形面积求曲边梯形面积例例. 求曲线求曲线 y = xn与与 x 轴在区间轴在区间 0,b上上 所围面积所围面积 S(0,b). 解解. 将将x看成时刻看成时刻, y看成速度看成速度,求位置函数求位置函数 F(x)使使 F (x)= xn则则 S(0,b) = F(b)-F(0) .在求导公式在求导公式(axn)= naxn-1中中将将 n 换成换成n+1, a换成换成知知 F(x)= 符合要求符合要求. 故故 S(0,b)= bn+1Obxyy=xnS(0,b)
25、数学实验: 多项式逼近 sin(x)7/25/2024 罗必达法则罗必达法则发明罗必达法则发明罗必达法则例例. . 求极限求极限(1)(2)If 分子分母是多项式分子分母是多项式: 享受幸运享受幸运!约分约分! Else,创造幸运创造幸运: 化成多项式化成多项式(凌波微步凌波微步)再约分再约分! Taylor展开展开, ,余项估计余项估计f(n+1)(a)=常数常数, f(n+2)(a)=0f(x)=a0+a1D Dx+an+1(D Dx)n+1(k!)ak=f (k)(a),0kn+1. M1f(n+1)(a)M2gi(k)(a)= f(k)(a), 0k0d(x)0, g1(x)f(x)g
26、2(x)f(x)=S Sk=0nf(k)(a)(D Dx)k/(k!)+l l(D Dx)n+1/( /(n+1)!+1)!)M1l l MM2 网上资源网上资源 中科大中科大 http:/ 精品课程精品课程国家级国家级 数学实验数学实验(2003),(2003),线性代数线性代数(2004)(2004) 北航北航 http:/ 精品课程精品课程教育部教育部 线性代数线性代数( (非数学类非数学类)(2006)(2006) 高等数学高等数学 2008 (2008 (郑志明郑志明) ) 联系办法联系办法: 已出版教材已出版教材 李尚志李尚志, , 线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用),
27、), 高等教育出版社高等教育出版社,2006.5,2006.5 参考文献参考文献凌波微步凌波微步让微积分更简单易学让微积分更简单易学, , 大学数学，大学数学，第第2424卷第卷第3 3期期, p1-12,2008.6, p1-12,2008.6。线性代数线性代数( (数学专业用数学专业用), ), 高教出版社高教出版社, , 2006.2006.让抽象变得自然让抽象变得自然-建设国家精品课程的体建设国家精品课程的体会会, , 中国大学教学中国大学教学, 2006, 2006年第年第7 7期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例( (之一之一),),大学数学大学数学, , 20062006
28、年第年第3 3期期线性代数精彩应用案例线性代数精彩应用案例( (之二之二),),大学数学大学数学, , 20062006年第年第4 4期期若当标准形的计算若当标准形的计算, ,大学数学大学数学,2006,2006年第年第5 5期期从问题出发引入线性代数概念从问题出发引入线性代数概念, ,高等数学研高等数学研究究,2006,2006年第年第5 5期期, ,第第6 6期期数学聊斋数学聊斋 之一之一 峨嵋山的佛光峨嵋山的佛光 博比博比: : 长颈鹿长颈鹿 马马马马 老虎老虎 猫咪猫咪 狮子狮子 狗狗狗狗 黑猩猩黑猩猩 爸爸爸爸 纠错码纠错码: : 合法码两两之间差异大合法码两两之间差异大 ( (至少
29、至少3 3位位) ) 原码原码: 010011101011: 010011101011传输传输 错码错码: 01001: 010010 0101011101011纠错纠错 最接近的合法码最接近的合法码之二之二 指鹿为马之幼儿版指鹿为马之幼儿版 数学聊斋数学聊斋 之三之三人挤成照片之维数变化人挤成照片之维数变化 之四之四飞檐走壁之电影实现飞檐走壁之电影实现 之八之八 足球的圆与方足球的圆与方 - - 概率概率 沙场百胜古来稀沙场百胜古来稀 九密一疏已足奇九密一疏已足奇 祸福偶然存概率祸福偶然存概率 风云多变泄天机风云多变泄天机 之九之九 没收非法所得是惩罚吗没收非法所得是惩罚吗? ? - - 数
30、学期望数学期望某件商品卖某件商品卖500元元合法经营合法经营: 成本成本400元，利润元，利润100元。元。制假卖假：成本制假卖假：成本100元，利润元，利润400元，元，非法所得非法所得 400-100=300 元。元。1.没收非法所得：没收非法所得：-300， 惩罚惩罚 = 0 元。元。2.抓假概率抓假概率 10%：奖励：奖励 300/10=20元元(次）次）3.假一罚十假一罚十: 3009 (30010 300)=04.提高抓假概率至提高抓假概率至20% =假一罚十假一罚十5.手机竞赛题手机竞赛题 之十五之十五 千手观音有多少只手千手观音有多少只手 - - 集合的元素个数集合的元素个数 星移斗转落银河星移斗转落银河, , 月印三潭伴碧波。月印三潭伴碧波。 保短保长皆变换保短保长皆变换, , 能伸能屈是几何。能伸能屈是几何。 矩阵与变换矩阵与变换7/25/2024 代数几何熔一炉代数几何熔一炉 乾坤万物坐标书乾坤万物坐标书 图形百态方程绘图形百态方程绘 变换有规矩阵筹变换有规矩阵筹代数与几何代数与几何7/25/2024 平方得负岂荒唐平方得负岂荒唐, , 左转两番朝后方左转两番朝后方. . 加减乘除依旧算加减乘除依旧算, , 方程有解没商量方程有解没商量. . 复数复数7/25/2024 谢谢谢谢 ！
