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1、1主要内容：主要内容： 第五章第五章 定积分及其应用定积分及其应用 第一节第一节 定积分的概念与性质定积分的概念与性质一、定积分问题举例 ；二、定积分定义；三、定积分的性质 .2矩形矩形三角形三角形梯形梯形曲边梯形曲边梯形问题：平面图形的面积问题：平面图形的面积一、定积分问题举例一、定积分问题举例3一、定积分问题举例一、定积分问题举例曲边梯形 设函数yf(x)在区间a b上非负、连续 由直线xa、xb、y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形 其中曲线弧称为曲边 例1.曲边梯形的面积 4abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形
2、总面积越接近显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积（四个小矩形）（四个小矩形）（九个小矩形）（九个小矩形）观察与思考 56求曲边梯形的面积 (1)分割 ax0 x1 x2 xn1 xn b Dxixixi1; 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1xixi); (2)近似代替 (4)取极限 设maxDx1 Dx2 Dxn 曲边梯形的面积为 (3)求和 曲边梯形的面积近似为 ;以直代曲7例2.变速直线运动的路程 已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数 且v(t)0 计算物体在时间段T1 T2内所经过的路程S(1)分割 T1t0t1t2 tn1tnT2
3、 Dtititi1; (2)近似代替 物体在时间段ti1 ti内所经过的路程近似为 DSiv(i)Dti ( ti1 iti ); 物体在时间段T1 T2内所经过的路程近似为 (3)求和 (4)取极限 记maxDt1 Dt2 Dtn 物体所经过的路程为 以不变代变8v定积分的定义在小区间xi1 xi上任取一点xi (i1 2 n) 作和maxDx1 Dx2Dxn; 记Dxixixi1 (i1 2 n) ax0x1x2 xn1xnb; 在区间a b内插入分点 设函数f(x)在区间a b上有界 如果当0时 上述和式的极限存在 且极限值与区间 a b的分法 和xi的取法无关 则称此极限为函数 f(x
4、)在区间 a b上的定积分 记为 即 二、定积分定义9定积分各部分的名称 积分符号 f(x) 被积函数 f(x)dx 被积表达式 x 积分变量 a 积分下限 b 积分上限 a b积分区间， 二、定积分定义积分和 v定积分的定义10二、定积分定义说明： 定积分的值只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即v定积分的定义13 这是因为曲边梯形面积曲边梯形面积的负值定积分的几何意义 14各部分面积的代数和定积分的几何意义 曲边梯形面积曲边梯形面积的负值15例2解oxy例1 利用定积分的几何意义，计算利用定积分的几何意义，计算解16v两点规定 三、定积分的性质17三、定积分的性质性质1 性
5、质2 性质3 注：值得注意的是不论a b c的相对位置如何上式总成立18利用定积分的几何意义，可分别求出利用定积分的几何意义，可分别求出解解例319三、定积分的性质性质1 性质2 性质3 性质4 20如果在区间a b上 f (x)0 则 性质5 性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间a b上的最大值及最小值 则 推论如果在区间a b上 f (x)g(x) 则 21 如果函数f(x)在闭区间a b上连续 则在积分区间a b上至少存在一个点x 使下式成立 这是因为 由性质6 性质7(定积分中值定理) 积分中值公式 由介值定理 至少存在一点xa b 使两端乘以ba即得积分中值公式24例例4 4 求求解25 小结：一、定积分定义二、定积分的性质
