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1、1.3 1.3 方阵的行列式方阵的行列式（一）（一） 1. 二阶行列式二阶行列式 二、三阶行列式二、三阶行列式1表示代数和表示代数和即即定义定义 排成二行二列，排成二行二列，称为二阶行列式称为二阶行列式. .用符号用符号本节涉及的数，本节涉及的数，均为域均为域 中的数中的数.把把4 4个数个数2用符号用符号表示代数和表示代数和定义定义 排成三行排成三行称为三阶行列式称为三阶行列式. .2. 2. 三阶行列式三阶行列式把把9 9个数个数三列三列, ,3定义四阶定义四阶以及四阶以上的行列式以及四阶以上的行列式.即用归纳的方法即用归纳的方法利用三阶行列式利用三阶行列式定义四阶行列式定义四阶行列式;利
2、用四阶行列式利用四阶行列式定义五阶行列式定义五阶行列式;假设假设 阶行列式已定义，阶行列式已定义，然后定义然后定义 阶行列式阶行列式.4 定义定义 余下的元素余下的元素的余子式，的余子式，的代数余子式。的代数余子式。设设是数域是数域 上的上的 阶矩阵阶矩阵.所在的第所在的第 行行和第和第 列，列，构成的构成的n-1n-1阶行列式阶行列式, ,称为称为 中中 元素元素记为记为 称为称为 中中 元素元素划去划去 中元素中元素5例如例如6例如例如7定义定义1.8阶行列式定义为阶行列式定义为此行列式也记为此行列式也记为一阶行列式定义为：一阶行列式定义为：当n=1n=1时，时， 注意：注意：如如此定义与
3、此定义与 无关无关.不要将不要将1 1阶行列式与绝对值混淆。阶行列式与绝对值混淆。不要将行列式与矩阵混淆。不要将行列式与矩阵混淆。8行列式也等于行列式也等于可以证明，可以证明，其任一列的元素其任一列的元素与其与其代数余子式的乘积之和：代数余子式的乘积之和：9= =10A10A1111=20A=20A1111= -340= -340= =10M10M111110例例 = =1515= =151523231414它们的余子式依次为它们的余子式依次为 求求D=?D=? 已知四阶行列式已知四阶行列式D D中第三列元素依次为中第三列元素依次为解解11例例上三角行列式的值上三角行列式的值等于主对角等于主对
4、角线线上元素的乘积。上元素的乘积。12矩阵与行列式的区别矩阵与行列式的区别: :1. 1. 矩阵是一个表，矩阵是一个表，= =2 22. 2. 矩阵作为一个表，矩阵作为一个表， 行列式行列式是一个是一个2323矩阵矩阵其行数与列数可以不同其行数与列数可以不同. .( (即矩阵可以是即矩阵可以是“长方形长方形”的的) )其行数与其行数与( (即行列式一定是即行列式一定是“正方形正方形”的的) )行列式是一个数。行列式是一个数。列数列数必须相同必须相同. .是由是由n n2 2个个数数决定的一个代数和，决定的一个代数和，13设设 是是 阶方阵，阶方阵，由由A A 的元素构成的的元素构成的n n阶行
5、列式阶行列式, ,称为矩阵称为矩阵A A的行列式，的行列式，记为记为或或14矩阵的乘法有性质：矩阵的乘法有性质：设设A A1 1,A,A2 2, ,A Ak k均为均为n n 阶方阵，阶方阵，则则15三三、 行列式的性质行列式的性质性质性质1 1 由性质由性质1,1,如如它的列也具有它的列也具有利用行列式的性质利用行列式的性质, ,可以简化行列式的计算。可以简化行列式的计算。行列式和其转置行列式行列式和其转置行列式即即行列式的行具有的性质，行列式的行具有的性质，同样的性质。同样的性质。的值的值相等相等. .16例例 即：即：都等于主对角线上元素的乘积。都等于主对角线上元素的乘积。下三角行列式下
6、三角行列式和上三角行列式的值和上三角行列式的值17 交换行列式的两行交换行列式的两行例如例如2 2行列式变号行列式变号. .性质性质2 2 （ 行）行） ( ( 行行) )（ 行）行） ( ( 行行) )或两列或两列, ,18 如果行列式有两行如果行列式有两行则行列式的值为零则行列式的值为零. .推论推论元素元素相同，相同，（ 行）行） ( ( 行行) )（ 行）行） ( ( 行行) )（或两列）（或两列）的对应的对应19 用数用数k k乘行列式的某一行乘行列式的某一行( (列列),),则则等于以数等于以数k k性质性质3 3即如果设即如果设此行列式此行列式. .20证证21如果行列式某行如果
7、行列式某行则可以将公因子则可以将公因子有公因子有公因子, ,( (或某列或某列) )的所有的所有元素元素提到行列式外面提到行列式外面. .推论推论如果行列式某行如果行列式某行( (或某列或某列) )的所有的所有元素为零元素为零,则此行列式的值为零则此行列式的值为零. .22= 0= 0 如果行列式有两行如果行列式有两行( (列列) )则此行列式的值为零则此行列式的值为零. .推论推论2 2如如= 0= 0（ 行）行） ( ( 行行) )（ 行）行） ( ( 行行) )成比例成比例, ,的对应元素的对应元素23设设A A为为n n 阶矩阵阶矩阵24性质性质4 4 ( ( 行行) )( ( 行行)
8、 )25证证26例如例如27推论推论（ 行）行） （ 行行) ) 28将行列式某一行（列）将行列式某一行（列）加到另一行（列）加到另一行（列）性质性质5 5 行列式的值不变。行列式的值不变。同乘以数同乘以数k k后，后，( ( 行行) )( ( 行行) )的所有元素的所有元素的对应元素上，的对应元素上，29证证( ( 行行) )( ( 行行) )( ( 行行) )( ( 行行) )3031 定理定理1.1 1.1 和另一行和另一行的代数余子式的代数余子式时，时，行列式的某一行行列式的某一行( (列列) )的元素的元素( (列列) )对应元素对应元素( ( 行行) )( ( 行行) )( ( 行
9、行) )( ( 行行) ) = 0 = 0的乘积之和等于零的乘积之和等于零. .32时，时，时时时时时时时时定理定理1.233( (第第2,3,2,3,n,n列加到第列加到第1 1列列) )3435称为称为n n阶的范德蒙阶的范德蒙(Vandermonde)(Vandermonde)行列式。行列式。行列式行列式3637=12=12=120=12038D Dn+1n+1= =例：例：其中其中a a0 0a a1 1a a2 2a an n0039( (第一列乘以第一列乘以b b加加到第二、三、四列）到第二、三、四列）40第二版第二版作业作业 P56 17 P56 17 （1 1）1919（3 3）（）（4 4）（）（5 5）第三版第三版作业作业 P35 2 P35 2 （1 1）4 4（3 3）（）（4 4）（）（5 5）41
