《概率论（三版）2_5 随机变量函数的分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《概率论（三版）2_5 随机变量函数的分布（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 25 随机变量函数的分布 一、随机变量的函数 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 一、随机变量的函数 随机变量的函数 如果存在一个函数g(x) 使得随机变量X Y满足 Yg(X) (289)则称随机变量Y是随机变量X的函数 如何从自变量X的统计规律导出其函数Yg(X)的统计规律呢？ 对任意区间(或区间的并)B 令Cx|g(x)B 则 YBg(X)BXC (290)从而 PYBPg(X)BPXC (291)(291)说明 X的统计规律确实决定了Y的统计规律 例226 设X是一随机变量 且YX2 则对任意x0 有 二、离散型随机变量函数的分布 求离散型随机变量函数的分布的
2、一般方法 首先根据自变量X的可能取值确定因变量Y的所有可能取值 然后对Y的每一个可能取值yi(i1 2 )确定相应的Cixj|g(xj)yi 于是有 Yyi XCi (294) g(X)yi 从而求得Y的概率分布 例227 设随机变量X的分布为 求YX 2的分布 我们注意到Y的可能取值为0 1 根据(290) 有 解 PY1PX1PX1P(X1X1)PX 21 例：设 Y=2X,Z=X2,求Y,Z的概率分布。解：Y的可能取值为-2,0,2 Z的可能取值为0,1(Y=-2)的等价事件为(X=-1)(Z=1)的等价事件为(X=1)(X=-1)故得：X-110pZ01pY-220p13 三、连续型随
3、机变量函数的分布 已知X的分布函数FX(x)或密度函数fX(x) 为求Yg(X)的分布函数 正如(291)所示求离散型随机变量函数的分布的一般方法 其中Cx t | g(t)x 而PXCx往往可由X的分布函数FX(x)来表达或用其密度函数fX(x)的积分来表达 FY(x)PYxPg(X)xPXCx (296)进而 Y的密度函数 可直接从FY(x)导出 例228 设X是一个连续型随机变量 其分布函数F(x)是严格单调递增的 则F(X)服从0 1上的均匀分布 当x1时 FY(x)PF(X)x1 当0x1时 由于F(x)严格单调递增 故有 由于F(x)是严格单调递增函数 因而其反函数存在 记作F1(
4、x) 设YF(X)的分布函数为FY(x) 则当x0时 证明 FY(x)PYx PF(X)x0 F(F1(x)x PXF1(x) FY(x)PF(X)x 即YF(X)服从0 1上的均匀分布 一般，若已知X的概率分布，Y=g(X)，求Y的 概率分布的过程为：关键是找出等价事件。 例229(2(1)分布) 设XN(0 1) 求YX 2的密度函数 记Y的分布函数为FY(x) 则 解 FY(x)PYxPX 2x 显然 当x0时FY(x)PX 2x0 当x0时 从而YX 2的分布函数为 于是其密度函数为 例230(对数正态分布) 随机变量 X 称为服从参数为 2的对数正态分布 如果YlnX服从正态分布N( 2) 试求对数正态分布的密度函数 由于Yln XN( 2) 等价地有XeY YN( 2) 于是 当x0时 解 FX(x)PXx PeYx PYln x (ln x) 当x0时 显然FX(x)0 继而可得X的密度函数为 例231(对数正态分布的矩) 设X服从参数为和 2的对数正态分布 即Yln XN( 2) 求EX k. 则由XeY 有 解 特别地 k1时 进而有
