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1、龍華科技大學機械工程系微積分（一）網路教學李瑞貞老師1課程大綱第一章極限與連續性1.1極限的定義與基本性質1.2單邊極限1.3無窮極限1.4連續性2第二章導數與不定式2.1導數與可微分2.2函數導數的基本公式2.3高階導數與隱函數的導數2.4三角函數與反三角函數的導數2.5指數函數與對數函數的導數2.6不定式3第三章導數的應用3.1切線與法線方程式3.2極值的定義3.3函數的圖形3.4極值的應用題與相關變率3.5微分符號的應用4第四章多變數函數的微分學4.1極值與連續性4.2偏導數與微分4.3鏈導法則與隱函數的導數4.4二變數函數的極值5第一章極限與連續性1.1極限的定義與基本性質考慮一邊長為
2、的正方形，如圖1.1.1所示，則其面積為邊長的函數，即6我們仔細觀察二者的變化關係如下表所示:44.54.94.9955.015.15.561620.2524.0124.902525.1026.0130.2536由上表得知，當趨近於5時，則趨近於25，因此我們說當趨近於5時，的極限值等於25，我們用表示之。7因此，對於任何函數，當的值趨近於(但不等於)時，若的值趨近，則我們寫作為了提到“極限值”這個名詞，我們特別使用“趨近於”(close)這個語句去詮釋，事實上，我們亦可用“大約、大概、逼近於”等語句來解釋“極限值”這個名詞上所代表的意義。8定義1.1.1極限值(limit)9定理1.1.1極
3、限值的基本定理(1)極限性的唯一性:若存在，則其值必為唯一。(2)為實數常數。(3)若且(與為實數常數)，則(a)(b)(c)且10(d)為實數常數。(e)當為偶數正整數時則恆需。(f)11例1.試用趨近的觀念求下列各極值(1)(2)(3)設試求解:(1)(2)(3)但12例2.試利用通分與約分的技巧求下列各極值(1)(2)(3)13解:(1)(2)原式14(3)原式15例3:試利用有理化的技巧求下列各極值(1)(2)16解:(1)17(2)18定理1.1.2極限的不等式若與且則19定理1.1.3三明治定理(挾擠定理)若且存在，則，為實數常數201.2單邊極限定義1.2.1單邊極限(1)左極限
4、:(2)右極限:21定理1.2.1極限的存在定理例1.試求下列各極限值(1)(2)(3)(4)22解:(1)不存在不存在23(2)不存在24(3)不存在25(4)不存在26例2.試求下列各極限值(1)(2)解:(1)不存在27(2)無意義(即不存在)不存在281.3無窮極限定義1.3.1無窮極限(infinitelimits)(1)(2)(3)29(4)(5)(6)(7)(8)30(9)(10)31定義1.3.1在或的極限值(1)(2)32例1.試求下列各極限值(1)(2)解：原式33(2)原式341.4連續定義1.4.1連續(Continuity)函數在連續由定義得知，若函數在連續，則必須滿
5、足下列三個條件:(1)函數值存在(即必在函數的定義域內)，(2)極限值存在，亦即極限值且成立，(3)(即“極限值等於函數值”)。35定義1.4.2左連續、右連續(1)函數在為左連續:(2)函數在為右連續:定義1.4.3若函數在連續，I，則稱函數在區間I內連續。36定理1.4.1若函數在內連續，而且與存在，則函數在內連續。37下面幾個例子即是函數在不連續的情況:3839例1.試討論下列各函數的連續性(1)(2)(3)(4)40解:(1)的定義域，即函數值存在。即在不連續，但在處均連續。4142(2)的定義域即函數值存在即在為連續，在處亦連續。43(3)的定義域即函數值不存在在不連續，但在處均連續
6、。44(4)的定義域即函數值存在不連續，但在處均連續。不 存在 在4546定理1.4.2連續的基本性質(1)若與在均為連續函數，則與與以及為常數且在均為連續函數。(2)若在連續，且在連續，則在連續。(3)多項式函數、有理函數與三角函數、指數函數、對數函數、雙曲線函數等超越函數在它們的定義域內均為連續函數。47例2.試求下列各題;(1)設為連續函數，試求值。(2)設為連續函數，試求值。48解:(1)且又為連續函數即49(2)且與又為連續函數即 50第二章導數與不定式2.1導數與可微分定義2.1.1函數在的導數若函數在為連續，而且極限值存在，則稱在處為可微分的(differentiable)，而且
7、稱此極限為在的導數(derivative)，記為，即51由定義2.1.1得知，我們若用與分別表示函數在的右導數與左導數，則我們有而且導數其它型式如下:52定義2.1.2函數的導數若在區間內為連續函數，則稱為函數在的導數(derivative)或函數對的微分(differential)。若存在，則稱在處為可微分(的)。53函數之導數的其它型式為事實上，導數的定義都是根據函數的幾何意義與其它意義而來，我們說明如下:541.幾何上的意義:求切線的斜率設在區間內為連續函數，考慮此函數在平面上的圖形，假設與分別為圖形上的兩點，如圖2.1.1所示，則經過與兩點之割線的斜率為55圖2.1.1割線斜率56令動
8、點沿著曲線移動而趨近於固定點，使得且，則我們將得到函數圖形上經過切點的切線斜率為57顯然地，此斜率即為函數在之導數的定義。此處與分別為與的增量(increment)，而且當與時，則有與均表示極微小的量，亦有(即，在的導數或對的微分可視為除以)582.物理與化學工程上的意義:求瞬時變化率考慮一連續之物理(或化學)工程的實驗，假設某物體(或物質)在時間時的數量為且時間時的數量為，則此物體(或物質)在時間內數量的變化為，而且其平均變化為59令即令，則我們將得到此物體(或物質)在時間的瞬時變化率為顯然地，此時瞬時變化率即為函數在之導數的定義。此處為連續函數且與分別為與的增量。60例1.試用導數定義求下
9、列各函數的導數(1)(2)解:(1)61(2)62例3.試求下列函數在的導數(1)(2)解:(1)63(2)64解:例3.設試求65定理2.1.1證明:令，則66其中與同理，令，則67我們得證68定理2.1.2若函數在處為可微分，則在處連續，反之不然。證明:在處為可微分存在又即得證#69註1.函數在為不連續，則在“必定”不可微分。2.函數在連續，則在“不一定”可微分。(可微分連續)(不連續不可微分)70712.2函數導數的基本公式定理2.2.1為常數。定理2.2.2，為常數。定理2.2.372定理2.2.4定理2.2.5定理2.2.6定理2.2.773例1.試求下列各函數的導數(1)(2)解:
10、(1)(2)74例2.試求下列各函數的導數(1)(2)(3)75解:(1)76(2)(3)77定理2.2.8連鎖律(ChainRule):合成函數的導數(1)設在處可微分且在處可微分，若，則在處可微分且(2)設與在處均可分，則(3)78例3.試求下列函數的導數(1)(2)(3)79解:(1)(2)80(3)81例4.試討論下列函數的連續性與可微分性(1)(2)(3)82解:(1)又在為連續83(2)即且在不連續84(3)又在連續85例4.試求出所有常數及的值使得函數在可微分解:在可微分在連續86即由得知87例5.設且，試求解:令，則，即88例6.若，試求解：其中89例7.若且，試求解:而且90
11、2.3高階導數與隱函數的導數定義2.3.1高階導數若為可微分函數，則其高階導數為(1)一階導數:記號:91(2)二階導數:記號:(3)三階導數:記號:92(4)階導數:記號:93例1.試求下列函數的階導數(1)(2)且解:(1)94(2)95例2.若，則解:且96例1.試求函數的與解:9798例4.若，試在與時求與解:991002.4三角函數與反三角函數的導數1.角的度量單位:度度量(grade)與弳度量(radian)之間的換算為101度度量弳度量度度量弳度量102圖2.4.1度度量與弳度量1031.圓弧長與扇形面積:設有一圓，半徑為，扇形的圓心角為，則有(1)弧長(2)扇形面積其中為弳度量
12、。1043.三角函數的定義:(1)三角正弦函數(2)三角餘弦函數(3)三角正切函數105(4)三角餘切函數(5)三角正割函數(6)三角餘割函數106三角函數象限第一象限+第二象限+第三象限+ 第四象限+1074.三角函數的定義域與值域:函數定義域值域1085.三角函數在特別角的值與三角函數的圖形:(1)三角函數在特別角的值001010010110112-2212-210900100-221-2110(2)三角函數的圖形:1111121131141156.三角恆等式(1)平方關係:(2)複角公式:116(3)倍角公式與半角公式117(4)和差化積公式口語:118(5)積化和差公式:119(6)正
13、弦定律:(7)餘弦定律:(8)三角形的面積120定理2.4.1三角函數的導數(1)(2)(3)(4)(5)(6)121例1.試求下列各函數的導數(1)(2)解:122123定義2.4.1反三角函數(1)反三角正弦函數:(2)反三角餘弦函數:(3)反三角正切函數:124(4)反三角餘切函數:(5)反三角正割函數:(3)反三角餘割函數:且125定理2.4.3三角函數與反三角函數的關係:“三角函數與反三角函數互為反函數”。1261.若則此處而且2.若則此處而且3.若則此處而且1274.若則此處而且5.若則此處而且6.若則此處而且128三角函數的圖形如下:(僅考慮黑色實線部份，虛線部分表示不存在)12
14、9130131定理2.4.3反三角函數的導數(1)(2)(3)(4)(5)(6)132例2.試求下列各函數的導數(1)(2)解:(1)133(2)1342.5指數函數與對數函數的導數(一)指數函數的介紹1.指數函數的定義:以為底的指數函為且2.指數函數的圖形:1353.指數函數的基本性質:若且與且，則有(1)(2)指數律，其中與為任意函數。136(二)對數函數的介紹1.對數函數的定義:以為底的對數函數為且2.對數函數與指數函數的關係:“對數函數與指數函數互為反函數”137即(1)若則且即即(2)若則且即即1383.對數函數的圖形:1394.對數函數的基本性質:若且與且，則有(1)(2)，(3)
15、140(4)其中與為任意函數而且(5)且(6)且(7)141(三)自然指數函數的介紹1.自然指數函數的定義:以為底的自然指數函數為1422.自然指數函數的圖形1433.自然指數函數的基本性質:(1)(2)自然指數律(四)自然對數函數的介紹1.自然對數函數的定義:以為底的自然對數函數為1442.自然對數函數與自然指數函數的關係:“自然對數函數與自然指數函數互為反函數”。即(1)若則即即(2)若則即即1453.自然對數函數的圖形:1464.自然對數函數的基本性質:(1)(2)，(3)，147(4)且(5)其中與為任意函數，而且(6)且(7)且148定理2.5.1指數函數與對數函數的導數(1)(2)
16、(3)且149(4)(5)且(6)且且150例1.試求下列各函數的導數(1)(2)解:(1)(2)151例2.試把兩邊同時對微分解:152例3.試利用對數微分法求函數的導數解:1531542.6不定式極限的基本定理：若且，其中與均為實數，則有1.2.3.4.且155倘若有關極限的問題不滿足上面基本性質，我們稱此極限值問題為不定式。常見的不定式共可分為七種。156定理2.6.1LHospitals第一法則設函數與在區間內除了之外均為可微分，而且在時有與，則若且或著且，我們有157定理2.6.2LHospitals第二法則設函數與在之外均為可微分，而且在時有與，則若或著且，我們有158例1.試求與解:由LHospitals第一法則得知同理，159例2.試求解:由LHospitals第一法則得知160例3.試求解:由LHospitals第一法則得知161例4.試求解:由LHospitals第二法則得知162例5.試求解:163例6.試求解:164例8.試求解:165例9.試求解:166
