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1、第四节数列求和第四节数列求和最新考纲展示1熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式2.掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法一、公式法1如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等差、等比数列的前n项和公式，注意等比数列公比q的取值情况要分q1或q1.2一些常见数列的前n项和公式：(1)1234n .(2)13572n1 .(3)24682n .n2n2n二、非等差、等比数列求和的常用方法1倒序相加法如果一个数列an，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，等差数列的前n项和即是用此法推导的2分组转化求和法若一个数列的通项公式是由若干个等差
2、数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转化法，分别求和而后相加减3错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，等比数列的前n项和就是用此法推导的4裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和数列求和的方法：(1)一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和(2)解决非等差、等比数列的求和，主要有两种思路：转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项
3、分解或错位相减来完成不能转化为等差或等比数列的数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等来求和 答案：C2设等比数列an的前n项和为Sn，已知a12，且an2an1an20(nN*)，则S2 014_.解析：设等比数列an的公比为q，则an2an1an2an(12qq2)0，an0，q22q10.解得q1，S2 0140.答案：0答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)例1(1)已知数列xn的首项x13，通项xn2npnq(nN*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列求p，q的值；求数列xn前n项和Sn的公式(2)已知数列an的通项公式是an23n1(1)n(ln 2ln 3
4、)(1)nnln 3，求其前n项和Sn.分组转化法求和分组转化法求和(自主探究自主探究)解析(1)由x13，得2pq3，又因为x424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.规律方法(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或者等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时使用等差数列或等比数列的求和公式 裂项相消法求和裂项相消法求和(师生共研师生共研)解析(1)由S(n2n1)Sn(n2n)0，得Sn(n2n)(Sn1)0.由于an是正项数列，所以Sn
5、0，Snn2n.于是a1S12，当n2时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n.综上，数列an的通项公式为an2n.规律方法使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的例3(2013年高考山东卷)设等差数列an的前n项和为Sn，且S44S2，a2n2an1.(1)求数列an的通项公式；错位相减法求和错位相减法求和(师生共研师生共研)规律方法(1)一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“SnqSn”的表达式2(2014年嘉兴二模)在数列an中，a12，an13an2.(1)记bnan1，求证：数列bn为等比数列；(2)求数列nan的前n项和Sn.解析：(1)证明：由an13an2，可得an113(an1)因为bnan1，所以bn13bn，又b1a113，所以数列bn是以3为首项，以3为公比的等比数列
