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1、3.1 电路的图电路的图1. 图图：支路与结点的集合。每个支路的两端都联接到相：支路与结点的集合。每个支路的两端都联接到相应的结点上。应的结点上。R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS12341234电路的图电路的图第三章第三章 电阻电路的一般分析电阻电路的一般分析 任任何何包包含含图图中中的的所所有有结结点点，而而没没有有任任何何一一个个回回路路的的连连通通图。图。3. 树：树：电路的图电路的图543421512345树树123456785. 平面图平面图：打了结点的是平面图。：打了结点的是平面图。4. 有向图有向图：如果把图中的电压或电流标出方向，可分为：如果把图中的电压或
2、电流标出方向，可分为两种，一种叫电压加权图，一种叫电流加权图。两种，一种叫电压加权图，一种叫电流加权图。 有向图有向图电路的图电路的图在定向图中可列关联矩阵在定向图中可列关联矩阵Aa 。什么是关联矩阵？什么是关联矩阵？定义：结点与支路之间连接方式的矩阵。它反映了结定义：结点与支路之间连接方式的矩阵。它反映了结点有点有 哪几条支路，支路连接了哪个结点。哪几条支路，支路连接了哪个结点。 1 表示支路表示支路k与结点与结点j关联并背离此结点。关联并背离此结点。 0 表示支路表示支路k与结点与结点j无关无关ajk=-1 表示支路表示支路k与结点与结点j关联并指向此结点关联并指向此结点2. 列写方法：列
3、写方法： 3421123456i2i1i3i4i5i6图的图的结点和支路的关联性质结点和支路的关联性质-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 00 1 0 0 -1 -11 2 3 4 5 61234=Aa它的关联矩阵为：它的关联矩阵为：3. 降阶矩阵：降阶矩阵： 把把Aa的任的任一行划掉，余下的一行划掉，余下的(n-1) b矩阵用矩阵用A表表示，并称为降阶矩阵。示，并称为降阶矩阵。0 1 0 0 -1 -1-1 -1 1 0 0 00 0 -1 -1 0 11 0 0 1 1 0=A二二. 基本回路矩阵基本回路矩阵1.定义：定义： 某一些树支与一条连支构成的回
4、路（一定是单一回某一些树支与一条连支构成的回路（一定是单一回路）。路）。构成树的支路叫构成树的支路叫树支树支；不构成树的支路叫；不构成树的支路叫连支连支。电路的图电路的图树树树支树支连支连支2. 特点：特点： （1）符合）符合KVL定律：定律：u = 0 （2）基本回路中必须有一条连支。）基本回路中必须有一条连支。（3）基本回路电流的方向与连支电流方向相同。）基本回路电流的方向与连支电流方向相同。（4）基本回路数目）基本回路数目m = L（连支数）连支数） = b（支路数）支路数）- （n-1）（）（独立结点数）。独立结点数）。 1 表示支路表示支路k与与回路回路j关联并方向一致。关联并方向一
5、致。 0 表示支路表示支路k与与回路回路j无关无关bjk=-1 表示支路表示支路k与与回路回路j关联并方向不一致。关联并方向不一致。3. 基本回路矩阵：基本回路矩阵：. 设有向图的独立回路数为设有向图的独立回路数为l ，支路数为支路数为b ，并且并且所有独立回路和支路均加以编号，则该有向图的回所有独立回路和支路均加以编号，则该有向图的回路矩阵是一个路矩阵是一个 ( l b ) 的的矩阵，用矩阵，用B 表示。表示。B 的行对的行对应一个回路，列对应支路，它的任一元素应一个回路，列对应支路，它的任一元素 bjk 定义定义为：为：4.列列KVL方程：方程：5.基本回路矩阵基本回路矩阵 电压加权电压加
6、权 = KVL 定律定律3421123456i2i1i3i4i5i6有向图有向图写出回路矩阵。写出回路矩阵。例：例： 割集割集: 对于一个连通图，如任选一个树，则与树对应的连支对于一个连通图，如任选一个树，则与树对应的连支集合不能构成一个割集，即没有树支的任何连支的集合不集合不能构成一个割集，即没有树支的任何连支的集合不能构成割集。而它的每一个树支与一些相应的连支可以构能构成割集。而它的每一个树支与一些相应的连支可以构成一个割集。成一个割集。3421123456有向图有向图213由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集称为单由树的一条树支与相应的一些连支构成的割集称为单树支割集或基本割集。树支
7、割集或基本割集。1. 基本割集基本割集31245678电路的连通图电路的连通图选选2，3，4，6支路为树支。支路为树支。31245678312456783124567831245678由于由于KCL适用于任何一个闭合面，因适用于任何一个闭合面，因此属于同一个割集的所有支路的电流应满此属于同一个割集的所有支路的电流应满足足KCL。2. 对基本割集有：对基本割集有： i = 0 3. 割集矩阵元素割集矩阵元素 1 表示支路表示支路k与割集与割集j关联并方向一致。关联并方向一致。 0 表示支路表示支路k与割集与割集j无关无关qjk=-1 表示支路表示支路k与与回路回路j关联并方向相反。关联并方向相反
8、。 设有向图的结点数为设有向图的结点数为 n，支路数为支路数为 b，则该图则该图的独立割集数为的独立割集数为(n-1)。对每个割集编号，并指定对每个割集编号，并指定一个割集方向。可得割集矩阵为一个一个割集方向。可得割集矩阵为一个(n-1) b的的矩矩阵，用阵，用Q表示。表示。Q 的行对应割集，列对应支路，它的任一元素定义为：的行对应割集，列对应支路，它的任一元素定义为：3421123456有向图有向图例：例：写出割集矩阵。写出割集矩阵。基本割集方程基本割集方程 + 基本回路方程基本回路方程 = 未知数的个数未知数的个数有：有：Q i= 0属于一个割集所有支路电流的代数和等于零。属于一个割集所有
9、支路电流的代数和等于零。Q i= -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0-1 -1 0 -1 0 1i1i2i3i4i5i6=-i1 -i2 +i3i1 +i4 +i5-i1 -i2 -i4 +i6=0003.2 KCL，KVL的独立方程的独立方程1. KCL独立方程独立方程 对于具有对于具有n个个结点的电路结点的电路,在任意在任意(n-1)个结点个结点上可以列出上可以列出(n-1)个独立的个独立的KCL方程。方程。相应的相应的(n-1) 个结点称为独立结点。个结点称为独立结点。3421123456- i1 - i2+ i3= 0- i3 i4+ i6= 0 i1 + i4+ i5
10、= 0 i2 - i5- i6= 02. KVL独立方程独立方程一个电路的一个电路的KVL独立方程等于它的独立回路数。独立方程等于它的独立回路数。 对于图的任意一个树，加入一个连支后，就会形对于图的任意一个树，加入一个连支后，就会形成一个回路，并且此回路除所加连支外其它支路均成一个回路，并且此回路除所加连支外其它支路均由树支组成。这种回路称为单连支回路或基本回路。由树支组成。这种回路称为单连支回路或基本回路。平面图的全部网孔是一组独立回路。平面图的全部网孔是一组独立回路。3.3 支路电流法支路电流法 (branch current method )举例说明：举例说明：R1R2R3R4R5R6+
11、i2i3i4i1i5i6uS1234b=6n=4独立方程数应为独立方程数应为2b=12个。个。支路电流法支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。路的方法。R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234(1) 标定各支路电流、电压的参考方向标定各支路电流、电压的参考方向u1 =R1i1， u2 =R2i2， u3 =R3i3，u4 =R4i4， u5 =R5i5， u6 =uS+R6i6(a)(b=6，6个方程，关联参考方向个方程，关联参考方向)(2) 对节点，根据对节点，根据KCL列方程列方程节点节点 1：i1 + i2
12、 i6 =0节点节点 2： i2 + i3 + i4 =0节点节点 3： i4 i5 + i6 =0节点节点 4： i1 i3 + i5 =0(b)(出为正，进为负出为正，进为负)3R1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS1234(3) 选定图示的选定图示的3个回路（网孔）个回路（网孔）回路回路1：u1 + u2 + u3 = 0回路回路2：u3 + u4 u5 = 0回路回路3： u1 + u5 + u6 = 0(3)独立回路独立回路：独立方程所对应的回路。：独立方程所对应的回路。12独立节点：独立节点：与独立方程对应的节点。与独立方程对应的节点。 任选任选(n1)个节点即为独
13、立节点。个节点即为独立节点。尚缺尚缺2b- -b b-(-(n n-1)=-1)=b b-(-(n n-1)=6-(4-1)=3-1)=6-(4-1)=3个独立方程。个独立方程。 i1 + i2 i6 =0 i2 + i3 + i4 =0 i4 i5 + i6 =0R1 i1 + R2 i2 + R3 i3 = 0R3 i3 + R4 i4 R5 i5 = 0 R1 i1 + R5 i5 + R6 i6 uS = 0KCLKVLR1R2R3R4R5R6+i2i3i4i1i5i6uS3123412支路电流的方程如下：支路电流的方程如下：支路电流法的一般步骤：支路电流法的一般步骤：(1) 标定各支
14、路电流、电压的参考方向；标定各支路电流、电压的参考方向；(2) 选定选定(n1)个节点个节点，列写其列写其KCL方程；方程；(3) 选定选定b(n1)个独立回路，列写其个独立回路，列写其KVL方程；方程； (元件特性代入元件特性代入)(4) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到各各个支路电流；个支路电流；例例1.I1I3US1US2R1R2R3ba+I2US1=130V, US2=117V, R1=1 , R2=0.6 , R3=24 .求各支路电流及电压源求各支路电流及电压源各自发出的功率。各自发出的功率。解解12123例例2.列写如图电路的支路电流方程列写如图电路的支路电流方程(含理想电流
15、源支路含理想电流源支路)。i1i3uSiSR1R2R3ba+i2i5i4ucR4解：解：解：解：列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。124i1i3uS i1R1R2R3ba+i2i6i5uci4R4+R5 u2+u2例例3.33. 4 3.5 网孔（回路）电流法网孔（回路）电流法 (loop current method) 支支路路电电流流法法的的未未知知数数是是各各支支路路电电流流；网网孔孔（回回路）电流法的待求量是网孔（回路）电流。路）电流法的待求量是网孔（回路）电流。 假设网孔（回路）中有网孔（回路）电流存在，假设网孔（回路）中有网孔（回路）电
16、流存在，各支路电流用网孔（回路）电流的代数和求得。各支路电流用网孔（回路）电流的代数和求得。网孔电流法仅适用于平面网络。回路电流法不网孔电流法仅适用于平面网络。回路电流法不仅适用于平面网络，也适用于立体网络。网孔仅适用于平面网络，也适用于立体网络。网孔电流法是回路电流法的特例。电流法是回路电流法的特例。回路电流法回路电流法：以回路电流为未知量列写电路方程分析电路以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。i1i3uS1uS2R1R2R3ba+i2il1il2可见，回路电流法的独立方程数为可见，回路电流法的独立方程数为b- -(n- -1)。回路回路1：R1 il1+ +R2(il1-
17、 - il2)- -uS1+uS2=0回回路路2：R2(il2- - il1)+ R3 il2 - -uS2=0整理得，整理得，(R1+ R2) il1- -R2il2=uS1- -uS2- - R2il1+ (R2 +R3) il2 =uS2电压与回路绕行方向一致时取电压与回路绕行方向一致时取“+”；否则取；否则取“- -”。R11=R1+R2 回路回路1的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路1中所有电阻之和。中所有电阻之和。令令R22=R2+R3 回路回路2的自电阻。等于回路的自电阻。等于回路2中所有电阻之和。中所有电阻之和。自电阻总为正。自电阻总为正。R12= R21= R2 回路回路1、
18、回路、回路2之间的互电阻。之间的互电阻。当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。取正号；否则为负号。ul1= uS1- -uS2 回路回路1中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。ul2= uS2 回路回路2中所有电压源电压的代数和。中所有电压源电压的代数和。当当电电压压源源电电压压方方向向与与该该回回路路方方向向一一致致时时，取取负负号号；反之取反之取正正号。号。R11il1+ +R12il2=uSl1R12il1+ +R22il2=uSl2由此得标准形式的方程：由此得标准形式的方程：一般情况，对于具有一般情况，
19、对于具有 l=b- -(n- -1) 个回路的电路，有个回路的电路，有其中其中Rkk:自电阻自电阻(为正为正) ，k=1,2,l ( 绕行方向取参考方向绕行方向取参考方向)。Rjk:互电阻互电阻+ : 流过互阻两个回路电流方向相同流过互阻两个回路电流方向相同- - : 流过互阻两个回路电流方向相反流过互阻两个回路电流方向相反0 : 无关无关 对于不含受控源的线性网络对于不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。系数矩阵为对称阵。R11il1+R12il1+ +R1l ill=uSl1 R21il1+R22il1+ +R2l ill=uSl2Rl1il1+Rl2il1+ +Rl
20、l ill=uSll回路电流法的一般步骤：回路电流法的一般步骤：(1) 选定选定l=b- -(n- -1)个独立回路，并确定其绕行方向；个独立回路，并确定其绕行方向；(2) 对对l个个独独立立回回路路，以以回回路路电电流流为为未未知知量量，列列写写其其KVL方程；方程；(3) 求解上述方程，得到求解上述方程，得到l个回路电流；个回路电流；(5) 其它分析。其它分析。(4) 求各支路电流求各支路电流(用回路电流表示用回路电流表示)；网网孔孔电电流流法法：对对平平面面电电路路，若若以以网网孔孔为为独独立立回回路路，此此时时回回路路电电流流也也称称为为网网孔孔电电流流，对对应应的的分分析方法称为网孔
21、电流法。析方法称为网孔电流法。例例1.用回路电流法求各支路电流。用回路电流法求各支路电流。解：解：IaIcIb+_US2+_US1I1I2I3R1R2R3+_ US4R4I4例例2.(1)用网孔电流法确定如图所示电路中每个电压源相应用网孔电流法确定如图所示电路中每个电压源相应的功率。的功率。（2）计算）计算8 电阻上的功率。电阻上的功率。+_+_40V+_8 6 2 6 4 20Vu0解：解：iaibic例例3. 用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。用回路法求含有受控电压源电路的各支路电流。+_2V 3 U2+3U21 2 1 2 I1I2I3I4I5IaIbIc解解：例例4.用网孔电流
22、法确定如图所示电路中用网孔电流法确定如图所示电路中4 电阻上的功率损耗。电阻上的功率损耗。i115 i0+5 1 20 4 +50Vi2i3i0解：解：(1)假设电流源两端的电压为假设电流源两端的电压为U.利用电流源的电流利用电流源的电流 is 已知这已知这一条件，把一条件，把is表示成回路电流的代数和。表示成回路电流的代数和。(2) 将将电电流流源源支支路路电电流流定定为为某某一一回回路路电电流流，使使电电流流源源支支路路只只与一个回路相关。与一个回路相关。 对含有独立电流源或受控电流源支路，列回路对含有独立电流源或受控电流源支路，列回路方程时，有两种处理方法：方程时，有两种处理方法： 当电
23、路中含有理想受控源支路时，还需多加一个辅当电路中含有理想受控源支路时，还需多加一个辅助方程，把控制量用回路电流量表示出来。助方程，把控制量用回路电流量表示出来。例例5. 列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。列写含有理想电流源支路的电路的回路电流方程。I1I2I3_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I1I2_+_US1US2R1R2R5R3R4IS_+Ui+I3（1） 电电路路中中如如果果有有电电流流源源，列列 KVL方方程程时时，尽尽量量先先把把电流源转换为电压源。电流源转换为电压源。（2） 尽量选理想电流源为非公用支路。尽量选理想电流源为非公用支路。（3） 如如果果理
24、理想想电电流流源源不不能能成成为为非非公公用用支支路路，即即拉拉不不出出来来，则设它二端电压为则设它二端电压为U，再列网孔方程，加一个再列网孔方程，加一个KCL方程。方程。（4）对对于于含含有有受受控控源源的的支支路路，先先将将它它作作为为独独立立源源处处理理。列列出出方方程程后后将将控控制制量量表表示示的的受受控控源源移移至至方方程程的的左左边边，即即整整理理后方程右边只放独立电源，受控源是作为一个负载处理的。后方程右边只放独立电源，受控源是作为一个负载处理的。应用回路电流法时的注意事项：应用回路电流法时的注意事项：网网孔电流法适用于网孔少，结点多的情况。孔电流法适用于网孔少，结点多的情况。
25、例例6.已知如图所示已知如图所示;求求:列网孔电流方列网孔电流方程程.解解:+R1R2R3R4 I I1 1US1US2I I1 1任任意意选选择择参参考考点点：其其它它节节点点与与参参考考点点的的电电位位差差即即是是节点电压节点电压(位位)，方向为从独立节点指向参考节点。，方向为从独立节点指向参考节点。(uA- -uB)+uB- -uA=0KVL自动满足自动满足uA- -uBuAuB节点电压法节点电压法：以节点电压为未知量列写电路方程分析电路以节点电压为未知量列写电路方程分析电路的方法。的方法。可可见见，节节点点电电压压法法的的独独立立方方程程数数为为(n- -1)个个。与与支支路路电流法相
26、比，电流法相比，方程数可减少方程数可减少b- -( n- -1）个个。3. 6 节点电压法节点电压法 (node voltage method)举例说明：举例说明： (2) 列列KCL方程：方程： iR出出= iS入入i1+i2+i3+i4=iS1- -iS2+iS3- -i3- -i4+i5=- -iS3un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012(1) 选选定定参参考考节节点点，标标明明其其余余n-1个独立节点的电压个独立节点的电压代入支路特性：代入支路特性：整理，得整理，得令令 Gk=1/Rk，k=1, 2, 3, 4, 5上式简记为上式简记为G11un1
27、+G12un2 = iSn1G21un1+G22un2 = iSn2其中其中G11=G1+G2+G3+G4节节点点1的的自自电电导导，等等于于接接在在节节点点1上所有支路的电导之和。上所有支路的电导之和。G22=G3+G4+G5 节节点点2的的自自电电导导，等等于于接接在在节节点点2上上所所有支路的电导之和。有支路的电导之和。G12= G21 =-(-(G3+G4)节节点点1与与节节点点2之之间间的的互互电电导导，等等于于接接在在节节点点1与与节节点点2之之间间的的所所有有支路的电导之和，并冠以负号。支路的电导之和，并冠以负号。iSn1=iS1- -iS2+iS3流入节点流入节点1的电流源电流
28、的代数和。的电流源电流的代数和。iSn2=- -iS3 流入节点流入节点2的电流源电流的代数和。的电流源电流的代数和。* 自电导总为正，互电导总为负。自电导总为正，互电导总为负。* 电流源支路电导为零。电流源支路电导为零。* 流入节点取正号，流出取负号。流入节点取正号，流出取负号。由由节节点点电电压压方方程程求求得得各各支支路路电电压压后后，各各支支路路电电流流可可用用节点电压表示：节点电压表示：un1un2iS1iS2iS3R1i1i2i3i4i5R2R5R3R4012一般情况：一般情况：G11un1+G12un2+G1,n- -1un,n- -1=iSn1G21un1+G22un2+G2,
29、n-1un,n-1=iSn2 Gn- -1,1un1+Gn- -1,2un2+Gn-1,nun,n- -1=iSn,n- -1其中其中 Gii 自自电电导导，等等于于接接在在节节点点i上上所所有有支支路路的的电电导导之之和和(包括电压源与电阻串联支路包括电压源与电阻串联支路)。总为总为正正。 * 当当电电路路含含受受控控源源时时，系系数数矩矩阵阵一一般般不不再再为为对对称称阵。且有些结论也将不再成立。阵。且有些结论也将不再成立。iSni 流流入入节节点点i的的所所有有电电流流源源电电流流的的代代数数和和(包包括括由由电压源与电阻串联支路等效的电流源电压源与电阻串联支路等效的电流源)。Gij =
30、 Gji互互电电导导，等等于于接接在在节节点点i与与节节点点j之之间间的的所所支路的电导之和，并冠以支路的电导之和，并冠以负负号。号。节点电压法的一般步骤：节点电压法的一般步骤：（1） 选定参考节点，往往选多条支路的汇集点。选定参考节点，往往选多条支路的汇集点。给出其余结点的编号。给出其余结点的编号。（4） 对对n- -1个个独独立立节节点点，以以节节点点电电压压为为未未知知量量，列列写写其其KCL方程；方程；（5） 求解上述方程，得到求解上述方程，得到n- -1个节点电压；个节点电压；（7） 其它分析。其它分析。（6） 回原图求各支路电流和电压；回原图求各支路电流和电压；（2） 找出各结点的
31、自电导，互电导：找出各结点的自电导，互电导：G11，G22 ，G12 ，G21等等 在没有受控源情况，在没有受控源情况，G12=G21 。若有受控源则不相等。若有受控源则不相等。（3）当电路中有受控源时，需增补方程，把控制量用结点）当电路中有受控源时，需增补方程，把控制量用结点电压表示。电压表示。例例2. 列写下图含列写下图含VCCS电路的节点电压方程。电路的节点电压方程。 iS1R1R3R2gmuR2+ uR2_12解解：用节点法求各支路电流。用节点法求各支路电流。例例3.20k 10k 40k 20k 40k +120V- -240VUAUBI4I2I1I3I5解：解：试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。方法方法1:方法方法2：G3G1G4G5G2+_Us231G3G1G4G5G2+_Us231I例例4.例例 5用用节点电压法求图示电路中的节点电压法求图示电路中的U3 。+_u3+_+_10i05 40 50 4A50V100 i0解：解：0123i
