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1、1一、重点与难点一、重点与难点重点：重点：难点：难点：分式线性变换及其映射特点分式线性变换及其映射特点分式线性变换与初等函数相结合，求一分式线性变换与初等函数相结合，求一些简单区域之间的映射些简单区域之间的映射2二、内容提要二、内容提要共形映射共形映射分式线性映射分式线性映射一一对应一一对应性性保角保角性性保圆保圆性性几个初等几个初等函数构成函数构成的映射的映射分分式式线线性性映映射射的的确确定定对对确确定定区区域域的的映映射射保对称保对称性性 幂幂函函数数指指数数函函数数3 1. 1. 的几何意义的几何意义正向之间的夹角正向之间的夹角.4的一条有向光滑曲线的一条有向光滑曲线之间的夹角之间的夹
2、角.5 2) 转动角的大小与方向跟曲线转动角的大小与方向跟曲线C的形状与方向的形状与方向无关无关.3)保角性保角性方向不变的性质方向不变的性质, 此性质称为保角性此性质称为保角性. 夹角在其大小和方向上都等同于经过夹角在其大小和方向上都等同于经过6 4）伸缩率）伸缩率方向无关方向无关. 所以这种映射又具有所以这种映射又具有伸缩率的不变性伸缩率的不变性.72.共形映射（保角映射）共形映射（保角映射）也称为也称为第一类共形映射第一类共形映射.仅保持夹角的绝对值不仅保持夹角的绝对值不变而方向相反的映射变而方向相反的映射, 称为称为第二类共形映射第二类共形映射质质: (1) 保角性保角性; (2) 伸
3、缩率不变性伸缩率不变性.8称为称为分式线性映射分式线性映射.任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的任一分式线性映射都可看成是由下列三种基本的分式映射复合而成分式映射复合而成: 3.分式线性映射分式线性映射9 分式线性映射的性质分式线性映射的性质1）分式线性映射在扩充复平面上一一对应）分式线性映射在扩充复平面上一一对应.2）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性）分式线性映射在扩充复平面上具有保角性.10 2. 如果给定的圆周或直线上没有点映射成无如果给定的圆周或直线上没有点映射成无穷远点穷远点, 那末它就映射成半径为有限的圆周那末它就映射成半径为有限的圆周;如果如果有一个点映射成无穷远点有一
4、个点映射成无穷远点, 那末它就映射成直线那末它就映射成直线. 分式线性映射将扩充分式线性映射将扩充z平面上的圆周映射平面上的圆周映射成成扩充扩充w平面上的圆周平面上的圆周, 即具有保圆性即具有保圆性. 3）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性）分式线性映射在扩充复平面上具有保圆性注意：注意：1. 此时把直线看作是经过无穷远点的圆周此时把直线看作是经过无穷远点的圆周.11 4）分式线性映射具有保对称性）分式线性映射具有保对称性.这一性质称为这一性质称为保对称性保对称性.124.唯一决定分式线性映射的条件唯一决定分式线性映射的条件交比交比不变性不变性13判别方法判别方法:对确定区域的映射对确定区域
5、的映射 在分式线性映射下在分式线性映射下, C的内部不是映射成的内部不是映射成方法方法1 在分式线性映射下在分式线性映射下, 如果在圆周如果在圆周C内任取内任取 若绕向相反若绕向相反, 则则C方法方法214圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所圆周的弧所围成的区域映射成一圆弧与一直线所2) 当二圆周上有一点映射成无穷远点时当二圆周上有一点映射成无穷远点时, 这二这二围成的区域围成的区域.3) 当二圆交点中的一个映射成无穷远点时当二圆交点中的一个映射成无穷远点时, 这这二圆周的弧所围成的区域映成角形区域二圆周的弧所围成的区域映成角形区域.1) 当二圆周上没有点映射成无穷远点时当二圆周上没有点
6、映射成无穷远点时, 这二这二圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区圆周的弧所围成的区域映射成二圆弧所围成的区域域.分式线性映射对圆弧边界区域的映射分式线性映射对圆弧边界区域的映射:15 5. 几个初等函数所构成的映射几个初等函数所构成的映射映射特点映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的但张角变成为原来的 n 倍倍. 16特殊地特殊地:因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利因此将角形域的张角拉大（或缩小）时，就可利用幂函数用幂函数 所构成的共所构成的共形映射形映射.01700如果要把带形域映射成角
7、形域如果要把带形域映射成角形域, 常利用指数函数常利用指数函数.0特殊地特殊地:0映射特点映射特点:18三、典型例题三、典型例题解解1 1 利用分式线性映射不变交比和对称点利用分式线性映射不变交比和对称点19 由交比不变性知由交比不变性知20 解解2由对称点的不变性知由对称点的不变性知，利用不变对称点利用不变对称点21解解3 3将所求映射设为将所求映射设为利用典型区域映射公式利用典型区域映射公式22例例2 2 求一个分式线性映射求一个分式线性映射 它将圆它将圆 映成圆映成圆 ,且满足条件且满足条件 解解因因 映成映成 的映射为的映射为2324例例3 3 求一个分式线性映射求一个分式线性映射 它
8、将圆它将圆 映成圆映成圆 ，且满足条件，且满足条件 解解25与与 互为反函数，互为反函数，26故故27 解解28例例5 5 试证明在映射试证明在映射 下下, 互相正交的直线族互相正交的直线族 与与 依此映射成互相正交的直依此映射成互相正交的直线族与圆族线族与圆族 证证29由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，由于过原点的直线与以原点为心的圆正交，故命题得证故命题得证.证毕证毕30 例例6 6 试将如图所示的区域映射到上半平面试将如图所示的区域映射到上半平面.由分式线性映射的保圆性知：由分式线性映射的保圆性知：将将铅直带形域铅直带形域31为所求为所求映射映射.32放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出. .33
