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1、引言引言 迄今为止迄今为止,人们已发现很多大数定律人们已发现很多大数定律(laws of large numbers)，所谓大数定律，所谓大数定律，简单地说，就是大量数目的随机变量所简单地说，就是大量数目的随机变量所呈现出的规律，这种规律一般用随机变呈现出的规律，这种规律一般用随机变量序列的某种收敛性来刻划。本章仅介量序列的某种收敛性来刻划。本章仅介绍几个最基本的大数定律。绍几个最基本的大数定律。 大大量量随随机机现现象象的的平平均均结结果果实实际际上上是是与与各各个个个个别别随随机机现现象象的的特特征征无无关关,并并且且几几乎乎不不再再是是随随机机的的了了.所所有有这这些些事事实实都都应应该
2、该由由概概率率论论作作出出理理论论上上的结论的结论. 概率论中用来概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的阐明大量随机现象平均结果的稳定性稳定性的一系列定理统称为的一系列定理统称为大数定律大数定律.大数定律大数定律是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规是一种表现必然性与偶然性之间的辩证联系的规律律.由于大数定律的作用由于大数定律的作用,大量的随机因素的总和大量的随机因素的总和作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果作用必然导致某种不依赖于个别随机事件的结果. 5.1 大数定律大数定律 讨论讨论 “概率是频率的稳定值概率是频率的稳定值”的确切含义；的确切含义； 给出几种大数定律：给出几种大数
3、定律： 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律 伯努利大数定律伯努利大数定律 辛钦大数定律辛钦大数定律一、问题的引入一、问题的引入实例实例频率的稳定性频率的稳定性随着试验次数的增加随着试验次数的增加, 事件发生的频率逐渐稳事件发生的频率逐渐稳定于某个常数定于某个常数.启示启示:从实践从实践中人们发现中人们发现大量测量值大量测量值的算术平均的算术平均值有稳定性值有稳定性.单击图形播放单击图形播放/ /暂停暂停ESCESC键退出键退出二、基本定理二、基本定理定理一（定理一（切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律）切比雪夫切比雪夫表表达达式式的的意意义义证明证明由由切比雪夫不等式切比雪夫不等式可得可得并注意到概
4、率不能大于并注意到概率不能大于1, 则则说明说明:（这个接近是概率意义下的接近这个接近是概率意义下的接近）即在定理条件下即在定理条件下, n个随机变量的算术平均个随机变量的算术平均, 当当n无限增加时无限增加时, 几乎变成一个常数几乎变成一个常数.定理一的另一种叙述定理一的另一种叙述:依概率收敛序列的性质依概率收敛序列的性质:证明证明引入随机变量引入随机变量伯努利伯努利定理二（定理二（伯努利大数定理伯努利大数定理）显然显然根据定理一有根据定理一有说明说明: 故而当故而当 n 很大时很大时, 事件发生的频率与概率事件发生的频率与概率有较大偏差的可能性很小有较大偏差的可能性很小. 在实际应用中在实
5、际应用中, 当当试验次数很大时试验次数很大时, 便可以用事件发生的频率来便可以用事件发生的频率来代替事件的概率代替事件的概率.关于辛钦定理的说明关于辛钦定理的说明:(1) 与定理一相比与定理一相比, 不要求方差存在不要求方差存在;(2) 伯努利定理是辛钦定理的特殊情况伯努利定理是辛钦定理的特殊情况. 辛钦资料辛钦资料定理三（定理三（辛钦定理辛钦定理）引言引言 在在随随机机变变量量的的一一切切可可能能的的分分布布律律中中,正正态态分分布布占占有有特特殊殊重重要要的的地地位位.实实践践中中经经常常遇遇到到的的大大量量的的随随机机变变量量都都是是服服从从正正态态分分布布的的.就就提提出出这这样样的的
6、问问题题:为为什什么么正正态态分分布布如如此此广广泛泛地地存存在在,从从而而在在概概率率论论中中占占有有如如此此重重要要的的地地位位?应应该该如如何何解解释释大大量量随随机机现现象象中中的的这一客观规律呢？这一客观规律呢？ 概概率率论论中中有有关关论论证证随随机机变变量量之之和和的的极极限限分分布布为为正态分布正态分布的定理称为的定理称为中心极限定理中心极限定理.5.2 中心极限定理中心极限定理 讨论讨论独立随机变量和独立随机变量和的的极限分布极限分布 本节指出极限分布为本节指出极限分布为正态分布正态分布独立随机变量和独立随机变量和设设 X Xn n 为独立随机变量序列，记其为独立随机变量序列
7、，记其和为和为一、问题的引入一、问题的引入实例实例: 考察射击命中点与靶心距离的偏差考察射击命中点与靶心距离的偏差. 这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微这种偏差是大量微小的偶然因素造成的微小误差的总和小误差的总和, 这些因素包括这些因素包括: 瞄准误差、测量瞄准误差、测量误差、子弹制造过程方面误差、子弹制造过程方面 (如外形、重量等如外形、重量等) 的的误差以及射击时武器的振动、气象因素误差以及射击时武器的振动、气象因素(如风速、如风速、风向、能见度、温度等风向、能见度、温度等) 的作用的作用, 所有这些不同所有这些不同因素所引起的微小误差是相互独立的因素所引起的微小误差是相互独立的, 并且
8、它并且它们中每一个对总和产生的影响不大们中每一个对总和产生的影响不大.问题问题: 某个随机变量是由大量相互独立且均匀小某个随机变量是由大量相互独立且均匀小的随机变量相加而成的的随机变量相加而成的, 研究其概率分布情况研究其概率分布情况.二、基本定理二、基本定理定理四（定理四（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）定理四表明定理四表明:李雅普诺夫李雅普诺夫定理五定理五( (李雅普诺夫中心极限定理李雅普诺夫中心极限定理) )则随机变量之和的标准化变量则随机变量之和的标准化变量定理五表明定理五表明:( (如实例中射击偏差服从正态分布如实例中射击偏差服从正态分布) )下面介绍的定理六是定理
9、四的特殊情况下面介绍的定理六是定理四的特殊情况.德莫佛德莫佛拉普拉斯拉普拉斯定理六定理六( (德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理) )定理六表明定理六表明: 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, 当当n充分充分大时大时, 可以利用该定理来计算二项分布的概率可以利用该定理来计算二项分布的概率.下面的图形表明下面的图形表明:正态分布是二项分布的逼近正态分布是二项分布的逼近.三、典型例题三、典型例题例例1 一船舶在某海区航行一船舶在某海区航行, 已知每遭受一次海浪已知每遭受一次海浪的冲击的冲击, 纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率为的概率为1/3, 若船舶遭受若船舶遭受了了90
10、 000次波浪冲击次波浪冲击, 问其中有问其中有29 50030 500次次纵摇角大于纵摇角大于 3 的概率是多少？的概率是多少？例例2 某保险公司的老年人寿保险有某保险公司的老年人寿保险有1万人参加万人参加,每每人每年交人每年交200元元. 若老人在该年内死亡若老人在该年内死亡,公司付给家公司付给家属属1万元万元. 设老年人死亡率为设老年人死亡率为0.017,试求保险公司在试求保险公司在一年内的这项保险中亏本的概率一年内的这项保险中亏本的概率.例例3证证例例4根据根据独立同分布的中心极限定理，独立同分布的中心极限定理，四、小结四、小结三个中心极限定理三个中心极限定理独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理德莫佛拉普拉斯定理德莫佛拉普拉斯定理 中心极限定理表明中心极限定理表明, 在相当一般的条件下在相当一般的条件下, 当独立随机变量的个数增加时当独立随机变量的个数增加时, 其和的分布趋于其和的分布趋于正态分布正态分布.
