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1、2.22.2从位移的合成到向量的加法从位移的合成到向量的加法2.2.1 2.2.1 向量的加法向量的加法【知知识提提炼】1.1.向量的加法向量的加法(1)(1)定定义: :求两个向量求两个向量_._.和的运算和的运算(2)(2)运算法运算法则a+ +b 2.2.向量加法的运算律向量加法的运算律(1)(1)交交换律律: :a+ +b=_.=_.(2)(2)结合律合律:(:(a+ +b)+)+c= =a+(_).+(_).特特别地地: :对于零向量与任一向量于零向量与任一向量a的和有的和有0+ +a=_=_.=_=_.b+ +ab+ +ca+ +0a【即即时小小测】1.1.思考下列思考下列问题:
2、:(1)(1)两个向量的和向量方向如何确定两个向量的和向量方向如何确定? ?提示提示: :根据向量加法的三角形法则根据向量加法的三角形法则, ,即即“首尾相接首尾相接, ,起点指向终点起点指向终点”. .(2)(2)力的合成与向量的加法有着怎力的合成与向量的加法有着怎样的关系的关系? ?提示提示: :力的合成也可以看成是向量加法的一个物理模型力的合成也可以看成是向量加法的一个物理模型. .2. 2. 等于等于( () )A.0 B.A.0 B.0 C.2 D.-2 C.2 D.-2【解析解析】选选B.B.如图如图, ,由向量加法的运算法则可知由向量加法的运算法则可知 3.3.在四在四边形形AB
3、CDABCD中中, , 则( () )A.ABCDA.ABCD一定是矩形一定是矩形 B.ABCDB.ABCD一定是菱形一定是菱形C.ABCDC.ABCD一定是正方形一定是正方形 D.ABCDD.ABCD一定是平行四一定是平行四边形形【解析解析】选选D.D.由由 知知A,B,C,DA,B,C,D构成的四边形一定是平行四边形构成的四边形一定是平行四边形. .4.4.化化简 =_. =_.【解析解析】原式原式= = 答案答案: :5.5.在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,边长为1, 1, 则| |a+ +b|=_.|=_.【解析解析】a+ +b= = 所以所以| |a+ +b|=| |= .
4、|=| |= .答案答案: :【知识探究知识探究】知知识点点1 1 向量的加法法向量的加法法则观察察图形形, ,回答下列回答下列问题: :问题1:1:三角形法三角形法则和平行四和平行四边形法形法则的使用条件有何不同的使用条件有何不同? ?问题2:2:两个向量共两个向量共线时怎怎样求和求和? ?问题3:3:多个向量相加多个向量相加时, ,运用哪个法运用哪个法则求解求解? ?【总结提升提升】对向量加法的三角形法向量加法的三角形法则和平行四和平行四边形法形法则的理解的理解(1)(1)两个法两个法则的使用条件不同的使用条件不同三角形法三角形法则适用于任意两个非零向量求和适用于任意两个非零向量求和, ,
5、平行四平行四边形法形法则只适用于只适用于两个不共两个不共线的向量求和的向量求和. .当两个向量不共当两个向量不共线时, ,两个法两个法则是一致的是一致的. .如如图所示所示: (: (平行四平行四边形法形法则),),又因又因为 ( (三角形法三角形法则). ). (2)(2)在使用三角形法在使用三角形法则时, ,应注意注意“首尾相接首尾相接”; ;在使用平行四在使用平行四边形法形法则时相加向量共起点相加向量共起点. .(3)(3)多个向量相加的运算法多个向量相加的运算法则推广推广两个向量相加有三角形法两个向量相加有三角形法则, ,多个向量相加怎么多个向量相加怎么办呢呢? ?我我们知道知道: :
6、两个两个向量相加的三角形法向量相加的三角形法则的物理模型是位移的合成的物理模型是位移的合成. .类似地似地, ,多个向量的多个向量的相加相加, ,也可以用位移合成也可以用位移合成, ,即向量求和的三角形法即向量求和的三角形法则可推广到多个向量可推广到多个向量求和的多求和的多边形法形法则:n:n个向量个向量经过平移平移, ,顺次使前一个向量的次使前一个向量的终点与后点与后一个向量的起点重合一个向量的起点重合, ,组成一个向量折成一个向量折线, ,这n n个向量的和等于折个向量的和等于折线起起点到点到终点的向量点的向量, ,即即: : 特特别地地: : 知知识点点2 2 向量加法的运算律向量加法的
7、运算律观察察图形形, ,回答下列回答下列问题: :问题1:1:向量加法的交向量加法的交换律中向量律中向量b可以是零向量可以是零向量吗? ?问题2:2:任意两个向量相加都可以用平行四任意两个向量相加都可以用平行四边形法形法则吗? ?问题3:3:向量加法的交向量加法的交换律和律和结合律合律对多个向量多个向量还成立成立吗? ?【总结提升提升】1.1.向量加法的交向量加法的交换律律在在图中的平行四中的平行四边形形ABCDABCD中中, , 故故a+ +b= =b+ +a. .即向量加法即向量加法满足交足交换律律. .当向量当向量a, ,b至少有一个至少有一个为零向量零向量时, ,交交换律律显然成立然成
8、立, ,当当a, ,b为非零向非零向量且共量且共线时, ,(1)(1)当当a, ,b同向同向时, ,向量向量a+ +b与与a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|+|+|b|;|;向量向量b+ +a与与b同向同向, ,且且| |b+ +a|=|=|b|+|+|a|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .(2)(2)当当a, ,b反向反向时, ,不妨不妨设| |a|b|,|,a+ +b与与a同向同向, ,且且| |a+ +b|=|=|a|-|-|b|;|;b+ +a与与a同向同向, ,且且| |b+ +a|=|=|a|-|-|b|,|,故故a+ +b= =b+ +a. .2.2.向量
9、加法的向量加法的结合律合律在在图中中, , 所以所以 从而从而( (a+ +b)+)+c= =a+(+(b+ +c).).即向量加即向量加法法满足足结合律合律. .3.3.向量加法运算律的推广向量加法运算律的推广向量加法的交向量加法的交换律和律和结合律合律对多个向量仍然成立多个向量仍然成立, ,恰当地使用运算律恰当地使用运算律可以可以实现简化运算的目的化运算的目的. .在在进行多个向量的加法运算行多个向量的加法运算时, ,可以按照任可以按照任意的次序和任意的意的次序和任意的组合合进行行. .如如( (a+ +b)+()+(c+ +d)=()=(a+ +d)+()+(b+ +c).).【题型探究
10、题型探究】类型一型一 向量求和向量求和【典典例例】1.1.如如图所所示示, ,四四边形形ABCDABCD是是平平行行四四边形形,E,F,G,H,E,F,G,H分分别是是所所在在边的中点的中点, ,点点O O是是对角角线的交点的交点, ,则下列各式正确的是下列各式正确的是( () ) A.A.和和B.B.和和C.C.和和D.D.和和2.2.如如图, ,已知梯形已知梯形ABCD,ADBC,ABCD,ADBC,则 =_. =_.【解解题探究探究】1.1.解答本解答本题可用向量的哪些知可用向量的哪些知识? ?提示提示: :显然可用向量的加法的平行四边形法则及相等向量判断显然可用向量的加法的平行四边形法
11、则及相等向量判断. .2.2.运用向量加法的运用向量加法的结合律合律应如何如何结合合较好好? ?提示提示: :一个向量的终点是另一个向量的起点时一个向量的终点是另一个向量的起点时, ,两个向量两两结合较好两个向量两两结合较好. .【解析解析】1.1.选选A.A.由向量加法的平行四边形法则知由向量加法的平行四边形法则知 所以所以正确正确. .因为因为 又因为又因为 所以所以不正确不正确. .因为因为 又因为又因为 而而 所以所以正确正确. .因为因为 所以所以不正确不正确. .2. 2. 答案答案: :【方法技巧方法技巧】向量加法运算律的向量加法运算律的应用原用原则及注意点及注意点(1)(1)应
12、用原用原则: :利用代数方法通利用代数方法通过向量加法的交向量加法的交换律律, ,使各向量使各向量“首尾相首尾相接接”, ,通通过向量加法的向量加法的结合律合律调整向量相加的整向量相加的顺序序. .(2)(2)注意点注意点三角形法三角形法则强强调“首尾相接首尾相接”, ,平行四平行四边形法形法则强强调“起点相同起点相同”; ;向量的和仍是向量向量的和仍是向量; ;向量加法的三角形法向量加法的三角形法则和平行四和平行四边形法形法则实质上是向量加法的几何上是向量加法的几何意意义. .【变式式训练】 =_. =_.【解析解析】方法一方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :类型二型二 利用向量
13、的加法法利用向量的加法法则作作图【典典例例】如如图, ,已已知知a, ,b, ,分分别用用向向量量加加法法的的三三角角形形法法则和和平平行行四四边形形法法则作出作出a+ +b. .【解解题探究探究】如何作不共如何作不共线的两个向量的和的两个向量的和? ?提示提示: :在平面内任取一点在平面内任取一点A,A,作作 = =a, ,然后利用三角形法则或平行四边然后利用三角形法则或平行四边形法则形法则, ,作作 进而可得进而可得. .【解析解析】如图所示如图所示, ,a+ +b= = 【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件条件) )如果两个向量如果两个向量变为如如图所示所示, ,作出作出a+ +b.
14、 .【解析解析】方法一方法一: :在平面内任意取一点在平面内任意取一点O,O,作作如图如图. .方法二方法二: :在平面内任意取一点在平面内任意取一点O,O,以以OA,OBOA,OB为邻边作为邻边作 OACB,OACB,且且连接连接OC,OC,则则 = =a+ +b. .如图如图. .2.(2.(变换条条件件) )若若本本例例再再增增加加一一个个向向量量c, ,如如图, ,利利用用三三角角形形法法则作作出出a+ +b+ +c. .【解析解析】如图如图, ,在平面内任取一点在平面内任取一点O,O,作作 【方法技巧方法技巧】利用向量加法的两种法利用向量加法的两种法则作作图的方法的方法【补偿训练】若
15、正方形若正方形ABCDABCD的的边长为1, 1, 试作出向量作出向量a+ +b+ +c. .【解析解析】根据平行四边形法则可知根据平行四边形法则可知, , 根据三角形法则根据三角形法则, ,延长延长AC,AC,在在ACAC的延长线上作的延长线上作 如图如图. .【延伸探究延伸探究】1.(1.(改改变问法法) )本本题条件不条件不变, ,求求| |a+ +b+ +c|.|.【解析解析】因为因为 2.(2.(变换条件条件) )如如图,O,O为ABCABC内一点内一点, , 求作求作b+ +c+ +a. .【解析解析】方法一方法一: :如图如图, ,以以 为邻边作为邻边作 OBDC,OBDC,连接
16、连接则则 方法二方法二: :如图如图, ,作作连接连接AD,AD,则则 类型三型三 向量加法的向量加法的应用用【典例典例】如如图,O,O是四是四边形形ABCDABCD对角角线的交点的交点, ,使得使得求求证: :四四边形形ABCDABCD是平行四是平行四边形形. .【解解题探究探究】证明平行四明平行四边形的方法有哪些形的方法有哪些? ?本例可从什么角度入手本例可从什么角度入手? ?提示提示: :可证一组对边平行且相等可证一组对边平行且相等, ,也可证对角线互相平分也可证对角线互相平分, ,本例可证本例可证 进而可得进而可得ABAB DC.DC.【解析解析】因为因为 所以所以所以所以ABAB D
17、C,DC,所以四边形所以四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形. .【延伸探究延伸探究】本本例例的的条条件件不不变, ,在在BDBD的的延延长线和和反反向向延延长线上上各各取取一一点点F,E,F,E,使使BE=DF.BE=DF.求求证: :四四边形形AECFAECF是平行四是平行四边形形. .【证明证明】 因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 因为因为BE=DF,BE=DF,且且 的方向相同的方向相同, ,所以所以 所以所以 即即AEAE与与FCFC平行且相等平行且相等, ,所以四边形所以四边形AECFAECF是平行四边形是平行四边形. .【方法技
18、巧方法技巧】应用向量加法解决平面几何与物理学用向量加法解决平面几何与物理学问题的基本步的基本步骤(1)(1)表表示示: :用用向向量量表表示示相相关关的的量量, ,将将所所有有解解决决的的问题转化化为向向量量的的加加法法问题. .(2)(2)运运算算: :应用用向向量量加加法法的的平平行行四四边形形法法则或或三三角角形形法法则, ,进行行相相关关运运算算. .(3)(3)还原原: :根据向量运算的根据向量运算的结果果, ,结合向量共合向量共线、相等概念回答原、相等概念回答原问题. .【变式式训练】一一架架救救援援直直升升飞机机从从A A地地沿沿北北偏偏东6060方方向向飞行行了了40km40k
19、m到到达达B B地地, ,再再由由B B地地沿沿正正北北方方向向飞行行40km40km到到达达C C地地, ,求求此此时直直升升飞机机与与A A地地的相的相对位置位置. .【解题指南解题指南】利用向量加法的三角形法则利用向量加法的三角形法则, ,知知是线段是线段ACAC的长度的长度. .【解析解析】如图如图, ,设设分别是直升飞机的两次位移分别是直升飞机的两次位移, ,则则 表示两次位移的合位移表示两次位移的合位移, ,即即 在在RtABDRtABD中中, , 在在RtACDRtACD中中, , CAD=60CAD=60, ,即此时直升飞机位于即此时直升飞机位于A A地北偏东地北偏东3030方
20、向方向, ,且距离且距离A A地地40 km40 km处处. .【补偿训练】P P是是ABCABC内的一点内的一点, , 则ABCABC的面的面积与与ABPABP的面的面积之比之比为_._.【解析解析】如图如图,D,D为为BCBC的中点的中点, ,则则所所以以P P为为ABCABC的的重重心心, ,故故C C到到ABAB距距离离为为P P到到ABAB距距离离的的3 3倍倍, ,即即若若ABCABC中中ABAB边上的高为边上的高为h,h,则则ABPABP中中ABAB边上的高为边上的高为 h,h,所以所以 答案答案: :3 3易易错案例案例 向量的求和向量的求和【典例典例】化化简 =_. =_.【
21、失失误案例案例】【错解分析解分析】分析上面的解析分析上面的解析过程程, ,你知道你知道错在哪里在哪里吗? ?提提示示: :错错误误的的根根本本原原因因在在于于对对向向量量的的加加法法运运算算的的结结果果没没有有正正确确理理解解. .平平面面向向量量的的加加法法运运算算的的结结果果仍仍是是一一个个向向量量, ,特特别别对对于于结结果果为为零零向向量量的的运运算算, ,往往往往容容易易出出现现符符号号方方面面的的错错误误, ,认认为为结结果果为为零零而而将将结结果果0错错误误地地写写成成0.0.【自我矫正自我矫正】方法一方法一: : 方法二方法二: : 答案答案: :0【防范措施防范措施】1.1.正确理解向量的加法正确理解向量的加法平平面面向向量量的的加加法法运运算算的的结果果仍仍是是一一个个向向量量, ,特特别对于于结果果为零零向向量量的的运算运算, ,要注意零向量的要注意零向量的书写写. .另外把握另外把握“首尾相接且首尾相接且为和和”的三角形法的三角形法则. .2.2.恰当地利用向量的加法运算律恰当地利用向量的加法运算律灵灵活活地地运运用用向向量量的的加加法法运运算算律律可可实现简化化运运算算的的目目的的, ,如如本本例例利利用用结合律使得多个向量相加的运算合律使得多个向量相加的运算变得得简洁明快明快. .
