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1、第四章第一节 n维向量向量空间最新向量空间最新定义定义1 1分量全为复数的向量称为分量全为复数的向量称为复向量复向量. .分量全为实数的向量称为分量全为实数的向量称为实向量实向量，一、 维向量的概念向量空间最新向量空间最新例如例如n维实向量维实向量n维复向量维复向量第第1个分量个分量第第n个分量个分量第第2个分量个分量向量空间最新向量空间最新二、 维向量的表示方法 维向量写成一行，称为维向量写成一行，称为行向量行向量，也就是行，也就是行矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等表示，如： 维向量写成一列，称为维向量写成一列，称为列向量列向量，也就是列，也就是列矩阵，通常用等表示，如：矩阵，通常用等
2、表示，如：向量空间最新向量空间最新注意注意行向量和列向量总被看作是行向量和列向量总被看作是两个不同的两个不同的向量向量；行向量和列向量都按照行向量和列向量都按照矩阵的运算法则矩阵的运算法则进行运算；进行运算；当没有明确说明是行向量还是列向量时，当没有明确说明是行向量还是列向量时，都当作都当作列向量列向量.向量空间最新向量空间最新向量向量解析几何解析几何线性代数线性代数既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量有次序的实数组成的数组有次序的实数组成的数组几何形象：可随意几何形象：可随意平行移动的有向线段平行移动的有向线段代数形象：向量的代数形象：向量的坐标表示式坐标表示式坐坐坐坐标标标标系系系系三
3、、向量空间向量空间最新向量空间最新空间空间解析几何解析几何线性代数线性代数点空间点空间：点的集合：点的集合向量空间向量空间：向量的集合：向量的集合坐坐坐坐标标标标系系系系代数形象：向量空代数形象：向量空间中的平面间中的平面几何形象：空间几何形象：空间直线、曲线、空间直线、曲线、空间平面或曲面平面或曲面一一对应一一对应向量空间最新向量空间最新叫做叫做 维向量空间维向量空间 时，时， 维向量没有直观的几何形象维向量没有直观的几何形象叫做叫做 维向量空间维向量空间 中的中的 维超平面维超平面向量空间最新向量空间最新确定飞机的状态，需确定飞机的状态，需要以下要以下6个参数：个参数：飞机重心在空间的位置
4、参数飞机重心在空间的位置参数P(x,y,z)机身的水平转角机身的水平转角机身的仰角机身的仰角机翼的转角机翼的转角所以，确定飞机的状态，需用所以，确定飞机的状态，需用6维向量维向量 维向量的实际意义维向量的实际意义向量空间最新向量空间最新课堂讨论课堂讨论在日常工作、学习和生活中，有许多问题都在日常工作、学习和生活中，有许多问题都需要用向量来进行描述，请同学们举例说明需要用向量来进行描述，请同学们举例说明向量空间最新向量空间最新向量的表示方法：行向量与列向量；向量的表示方法：行向量与列向量； 向量空间：向量空间：解析几何与线性代数中向量的联系与区别、解析几何与线性代数中向量的联系与区别、向量空间的
5、概念；向量空间的概念； 向量在生产实践与科学研究中的广泛应用向量在生产实践与科学研究中的广泛应用四、小结 维向量的概念，实向量、复向量；维向量的概念，实向量、复向量；向量空间最新向量空间最新若一个本科学生大学阶段共修若一个本科学生大学阶段共修3636门课程门课程, ,成绩成绩描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个描述了学生的学业水平，把他的学业水平用一个向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举向量来表示，这个向量是几维的？请大家再多举几例几例, ,说明向量的实际应用说明向量的实际应用思考题向量空间最新向量空间最新如果我们还需要考察其它指标，如果我们还需要考察其它指标，比如平均成绩、总学分
6、等，维数还将增加比如平均成绩、总学分等，维数还将增加思考题解答答答36维的维的结束结束向量空间最新向量空间最新第二节 向量组的线性相关性向量空间最新向量空间最新 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组所组成的集合叫做向量组例如例如一、向量、向量组与矩阵向量空间最新向量空间最新向量组向量组 , , ， 称为矩阵称为矩阵A的行向量组的行向量组向量空间最新向量空间最新 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵成一个矩阵.向量空间最新向量空间最新线性方程组的向量表示线性方程组的向量表示方程组与
7、增广矩阵的列向量组之间方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应一一对应向量空间最新向量空间最新定义定义线性组合线性组合向量空间最新向量空间最新 向量向量 能能由向量组由向量组 线性表示线性表示向量空间最新向量空间最新定理定理1 1定义定义向量组向量组 能由向量组能由向量组 线性表示线性表示向量组等价向量组等价向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新从而从而向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新注意注意定义定义二、线性相关性的概念则称向量组则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关是线性相关的，否则称它线性无
8、关向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新定理向量组定理向量组 （当（当 时）线性相关时）线性相关的充分必要条件是的充分必要条件是 中至少有一个向中至少有一个向量可由其余量可由其余 个向量线性表示个向量线性表示证明证明 充分性充分性 设设 中有一个向量（比如中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.即有即有三、线性相关性的判定向量空间最新向量空间最新故故因因 这这 个数不全为个数不全为0，故故 线性相关线性相关.必要性必要性设设 线性相关，线性相关，则有不全为则有不全为0的数使的数使 向量空间最新向量空间最新因因 中至少有一个不为中至少有一个不为0，不妨设则有不妨
9、设则有即即 能由其余向量线性表示能由其余向量线性表示.证毕证毕.向量空间最新向量空间最新线性相关性在线性方程组中的应用线性相关性在线性方程组中的应用结论结论向量空间最新向量空间最新定理定理2 2下面举例说明定理的应用下面举例说明定理的应用.证明证明（略）（略）向量空间最新向量空间最新解解例例向量空间最新向量空间最新解解例例分析分析向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新证证向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新定理定理3 3向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新证明证明说明说明向量空间最新向量空间最新说明说明向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新. 向量、
10、向量组与矩阵之间的联系，线性方向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念；. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性线性相关与线性无关的概念；线性相关性在线性方程组中的应用；在线性方程组中的应用；（重点重点）. 线性相关与线性无关的判定方法：定义，线性相关与线性无关的判定方法：定义，两个定理两个定理（难点难点）四、小结向量空间最新向量空间最新思考题向量空间最新向量空间最新证明证明（）、（）略（）、（）略（）（）充分性充分性必要性必要性思考题解答结束结束向量空间最新向量空间最新第三节 向量组的秩向量空间最新向量空间最新定义
11、定义最大线性无关向量组最大线性无关向量组最大最大无关组无关组一、最大线性无关向量组向量空间最新向量空间最新定理定理二、矩阵与向量组秩的关系向量空间最新向量空间最新结论结论说明说明向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新事实上事实上向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新定理定理三、向量组秩的重要结论向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新推论推论1 1推论推论2 2向量空间最新向量空间最新思考思考向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新证一证一向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新证二证二向量空间最新向量
12、空间最新注意注意向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新最大线性无关向量组的概念：最大线性无关向量组的概念：最大性最大性、线性无关性线性无关性 矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩与向量组的秩的关系：矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵的秩矩阵列向量组的秩矩阵行向量组的秩矩阵行向量组的秩 关于向量组秩的一些结论：关于向量组秩的一些结论：一个定理一个定理、三个推论三个推论 求向量组的秩以及最大无关组的方法：求向量组的秩以及最大无关
13、组的方法：将向量组中的向量作为列向量构成一个矩将向量组中的向量作为列向量构成一个矩阵，然后进行初等行变换阵，然后进行初等行变换四、小结向量空间最新向量空间最新 比较教材例比较教材例7 7的证的证法一、二、三，并总法一、二、三，并总结这类题的证法结这类题的证法思考题向量空间最新向量空间最新证法一根据证法一根据向量组等价的定义向量组等价的定义，寻找两向量，寻找两向量组相互线性表示的系数矩阵；组相互线性表示的系数矩阵；思考题解答证法二利用证法二利用“经初等列变换，矩阵的列向量经初等列变换，矩阵的列向量组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价组等价，经初等行变换，矩阵的行向量组等价”这一特性，验证是否
14、有相同的行最简形矩阵；这一特性，验证是否有相同的行最简形矩阵；证法三直接计算向量组的秩，利用了证法三直接计算向量组的秩，利用了向量组向量组的最大线性无关组等价的最大线性无关组等价这一结论这一结论结束结束向量空间最新向量空间最新第四节 向量空间向量空间最新向量空间最新说明说明2 维向量的集合是一个向量空间维向量的集合是一个向量空间,记作记作 .一、向量空间的概念定义定义1 1设设 为为 维向量的集合，如果集合维向量的集合，如果集合 非空，非空，且集合且集合 对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称对于加法及乘数两种运算封闭，那么就称集合集合 为向量空间为向量空间1集合集合 对于加法及乘数两种运算封闭
15、指对于加法及乘数两种运算封闭指向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新例例2 2 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解向量空间最新向量空间最新例例3 3 判别下列集合是否为向量空间判别下列集合是否为向量空间.解解向量空间最新向量空间最新试判断集合是否为向量空间试判断集合是否为向量空间.向量空间最新向量空间最新一般地，一般地，为为向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新定义定义2 2 设有向量空间设有向量空间 及及 ，若向量空间，若向量空间，就说就说 是是 的子空间的子空间实例实例二、子空间设设 是由是由 维向量所组成的向量空间，维向量所组成的向量空间，向量
16、空间最新向量空间最新那末，向量组那末，向量组 就称为向量的一个就称为向量的一个基基， 称为向量空间称为向量空间 的维数的维数，并称并称 为为 维向量维向量空间空间三、向量空间的基与维数定义定义3 3 设设 是向量空间，如果是向量空间，如果 个向量个向量 ，且满足，且满足向量空间最新向量空间最新 （1）只含有零向量的向量空间称为）只含有零向量的向量空间称为0维向量空维向量空间，因此它没有基间，因此它没有基说明说明 （3）若向量组）若向量组 是向量空间是向量空间 的一的一个基，则个基，则 可表示为可表示为 （2）若把向量空间）若把向量空间 看作向量组，那末看作向量组，那末 的基的基就是向量组的最大
17、无关组就是向量组的最大无关组, 的维数就是向量组的的维数就是向量组的秩秩.向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间的概念：向量空间的概念：向量的集合向量的集合对加法及数乘两种运算封闭对加法及数乘两种运算封闭；由向量组生成的向量空间由向量组生成的向量空间子空间的概念子空间的概念向量空间的基和维数：向量空间的基和维数：求向量空间基和维数的方法求向量空间基和维数的方法四、小结向量空间最新向量空间最新思考题向量空间最新向量空间最新思考题解答结束
18、结束向量空间最新向量空间最新第五节 线性方程组解的结构向量空间最新向量空间最新解向量的概念解向量的概念设有齐次线性方程组设有齐次线性方程组若记若记（1）一、齐次线性方程组解的性质向量空间最新向量空间最新则上述方程组（则上述方程组（1）可写成向量方程）可写成向量方程若若为方程为方程 的的解，则解，则向量空间最新向量空间最新称为方程组称为方程组(1) 的的解向量解向量，它也就是向量方程，它也就是向量方程(2)的解的解向量空间最新向量空间最新齐次线性方程组解的性质齐次线性方程组解的性质（1 1）若）若 为为 的解，则的解，则 也是也是 的解的解. .证明证明向量空间最新向量空间最新（2 2）若）若
19、为为 的解，的解， 为实数，则为实数，则 也是也是 的解的解证明证明由以上两个性质可知，方程组的全体解向量由以上两个性质可知，方程组的全体解向量所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线性方程组性方程组 的的解空间解空间证毕证毕.向量空间最新向量空间最新基础解系的定义基础解系的定义二、基础解系及其求法向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新线性方程组基础解系的求法线性方程组基础解系的求法设齐次线性方程组的系数矩阵为设齐次线性方程组的系数矩阵为 ，并不妨，并不妨设
20、设 的前的前 个列向量线性无关个列向量线性无关 于是于是 可化为可化为向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新现对现对 取下列取下列 组数：组数：向量空间最新向量空间最新依次得依次得从而求得原方程组的从而求得原方程组的 个解：个解：向量空间最新向量空间最新下面证明下面证明 是齐次线性方程组解空是齐次线性方程组解空间的一个基间的一个基由于由于 个个 维向量维向量线性无关，线性无关，所以所以 个个 维向量维向量 亦线性无关亦线性无关.向量空间最新向量空间最新由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新 所以所以
21、 是齐次线性方程组解空间的一个基是齐次线性方程组解空间的一个基.说明说明解空间的基不是唯一的解空间的基不是唯一的解空间的基又称为方程组的解空间的基又称为方程组的基础解系基础解系若若 是是 的基础解系，则的基础解系，则其其通解通解为为 向量空间最新向量空间最新定理定理1 1向量空间最新向量空间最新例例1 1 求齐次线性方程组求齐次线性方程组的基础解系与通解的基础解系与通解.解解对系数矩阵对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩作初等行变换，变为行最简矩阵，有阵，有向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新例例2 2 解线性方程组解线性方程组解解对系数矩阵施对系数矩阵施
22、行初等行变换行初等行变换向量空间最新向量空间最新即方程组有无穷多解，即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量其基础解系中有三个线性无关的解向量.向量空间最新向量空间最新所以原方程组的一个基础解系为所以原方程组的一个基础解系为故原方程组的通解为故原方程组的通解为向量空间最新向量空间最新例例3 3证证向量空间最新向量空间最新证明证明非齐次线性方程组解的性质非齐次线性方程组解的性质三、非齐次线性方程组解的性质向量空间最新向量空间最新证明证明证毕证毕向量空间最新向量空间最新其中其中 为对应齐次线性方程为对应齐次线性方程组的通解，组的通解， 为非齐次线性方程组的任意一个特为非齐次线性方程
23、组的任意一个特解解.非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组的通解非齐次线性方程组非齐次线性方程组Ax=b的通解为的通解为向量空间最新向量空间最新与方程组与方程组 有解等价的命题有解等价的命题线性方程组线性方程组 有解有解向量空间最新向量空间最新线性方程组的解法线性方程组的解法（1 1）应用克莱姆法则）应用克莱姆法则（2 2）利用初等变换）利用初等变换特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，特点：只适用于系数行列式不等于零的情形，计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可计算量大，容易出错，但有重要的理论价值，可用来证明很多命题用来证明很多命题特点：适用于方程组有唯一解、无解以及有特点：适用于方
24、程组有唯一解、无解以及有无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数无穷多解的各种情形，全部运算在一个矩阵（数表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效表）中进行，计算简单，易于编程实现，是有效的计算方法的计算方法向量空间最新向量空间最新例例4 4 求解方程组求解方程组解解向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新解解例例5 5 求下述方程组的解求下述方程组的解向量空间最新向量空间最新所以方程组有无穷多解所以方程组有无穷多解. 且原方程组等价于方程组且原方程组等价于方程组向量空间最新向量空间最新求基础解系求基础解系 令令依次得依次得向量空间最
25、新向量空间最新求特解求特解所以方程组的通解为所以方程组的通解为故得基础解系故得基础解系向量空间最新向量空间最新另一种解法另一种解法向量空间最新向量空间最新则原方程组等价于方程组则原方程组等价于方程组向量空间最新向量空间最新所以方程组的通解为所以方程组的通解为向量空间最新向量空间最新向量空间最新向量空间最新齐次线性方程组基础解系的求法齐次线性方程组基础解系的求法四、小结（1）对系数矩阵）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为进行初等变换，将其化为最简形最简形向量空间最新向量空间最新由于由于令令（2）得出）得出 ，同时也可知方程组的一，同时也可知方程组的一个基础解系含有个基础解系含有 个线性无关的解向量个线性无关的解向量向量空间最新向量空间最新故故向量空间最新向量空间最新为齐次线性方程组的一个基础解系为齐次线性方程组的一个基础解系.( ( ) )( ( ) )nBRAR= = =( ( ) )( ( ) )nBRAR = = 线性方程组解的情况线性方程组解的情况向量空间最新向量空间最新思考题向量空间最新向量空间最新思考题解答向量空间最新向量空间最新结束结束向量空间最新向量空间最新
