《11.6高斯公式和斯托克斯公式PPT课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《11.6高斯公式和斯托克斯公式PPT课件（51页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式一、一、 高斯公式高斯公式二、二、斯托克斯公式斯托克斯公式三、三、通量与散度通量与散度四、环流量与旋度四、环流量与旋度 1一、高斯公式一、高斯公式定理11.7 高斯高斯公式公式11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式2。证明证明11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式3根据三重积分的计算法根据三重积分的计算法根据曲面积分的计算法根据曲面积分的计算法11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式4。11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式5。同
2、理同理-高斯公式高斯公式合并以上三式得：合并以上三式得：11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式6。GaussGauss公式的公式的实质实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系边界曲面上的曲面积分之间的关系. .由两类曲面积分之间的关系知由两类曲面积分之间的关系知11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式7例例1 1解解.故故11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式8例例2 2解解11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式9。( (利用柱面坐标
3、得利用柱面坐标得) )11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式10使用使用Guass公式时应注意公式时应注意: :11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式11例例3 311.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式12解解曲面曲面 不是封闭曲面不是封闭曲面, ,为利用为利用高斯公式高斯公式空间曲面在空间曲面在 面上的投影域为面上的投影域为11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式13。11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式14。故所求积分为故所求积分为11.6 11.6 高斯公式和
4、斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式15定理定理11.811.8设光滑曲面设光滑曲面 的边界的边界 是分段光滑曲线是分段光滑曲线, , 的的侧与侧与 的正向符合的正向符合右手法则右手法则, , 二二、 斯托克斯公式斯托克斯公式 ( (斯托克斯公式斯托克斯公式) ) 在内的一在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数个空间域内具有连续一阶偏导数, ,在包含在包含则有则有11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式16证明 是有向曲面是有向曲面 的的正向边界曲线正向边界曲线右手法则右手法则如图如图11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式17思路：思路：曲面积分曲
5、面积分二重积分二重积分曲线积分曲线积分1211.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式18。111.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式19根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲线平面有向曲线2 2空间有向曲线空间有向曲线11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式20同理可证：同理可证：故有结论成立故有结论成立. .11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式21便于记忆形式：便于记忆形式：另一种形式另一种形式11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式22StokesStokes公式的公式的实
6、质实质: : 表达了有向曲面上的曲面积分与其边界表达了有向曲面上的曲面积分与其边界曲线上的曲线积分之间的关系曲线上的曲线积分之间的关系. .斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式23例4解11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式2411.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式25例例5 5解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式26。11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式27三
7、、通量与散度三、通量与散度1. 1. 通量通量: :11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式28 上侧的磁通量上侧的磁通量 ，其中，其中 为上半球面为上半球面 例例6 6 设磁场中磁感应强度设磁场中磁感应强度求其求其通过通过解解所求的磁通量为所求的磁通量为设设 取下侧，取下侧，11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式29 则由高斯公式得则由高斯公式得11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式302. 2. 散度散度: :11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式31散度在散度在直角坐标系下直角坐标系下的
8、形式的形式积分中值定理积分中值定理, ,两边取极限两边取极限, ,11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式32高斯公式可写成高斯公式可写成11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式33例例7 7 求向量场求向量场在下列各点处的散度，其中在下列各点处的散度，其中解解则则故故11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式34四、环流量与旋度四、环流量与旋度1. 1. 环流量环流量11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式352. 2. 旋度旋度: :利用利用stokes公式公式, , 有有11.6 11.6 高斯
9、公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式36。11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式37 斯托克斯公式的又一种形式斯托克斯公式的又一种形式其中其中11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式38斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式其中其中11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式39Stokes公式的公式的物理解释物理解释: :11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式40例例8 8 求向量场求向量场的旋度及其沿闭曲线的旋度及其沿闭曲线的环流量，其中的环流量，其中 为球面为球面和平面和平面 的交线
10、，的交线， 从从 轴正向看轴正向看 为逆时针方向。为逆时针方向。解解由旋度的定义由旋度的定义11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式41向量场向量场 沿闭曲线沿闭曲线 的环流量为的环流量为其中其中 为为 所围的平面区域且取上侧，所围的平面区域且取上侧，投影区域为投影区域为 ，于是所求的环流量为，于是所求的环流量为在在 面上的面上的11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式42内容小结内容小结1. . 高斯公式及其应用高斯公式及其应用应用应用: :(1) (1) 计算曲面积分计算曲面积分 ( (非闭曲面时注意添加辅助面的技巧非闭曲面时注意添加辅助面的
11、技巧) )(2) (2) 推出闭曲面积分为零的充要条件推出闭曲面积分为零的充要条件: : 11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式432、斯托克斯公式、斯托克斯公式空间曲线积分与路径无关的充要条件空间曲线积分与路径无关的充要条件在在 内与路径无关内与路径无关在在 内处处有内处处有设设 P, Q, R 在在 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数, , 则则11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式443.3. * *通量与散度通量与散度 设向量场设向量场P, Q, R, 在域在域G 内有一阶内有一阶 连续连续 偏导数偏导数, , 则则 向量场通过
12、有向曲面向量场通过有向曲面 的的通量通量为为 G 内任意点处的内任意点处的散度散度为为 ( n 为为 的的单位法向量）单位法向量） 11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式454.4.* *旋度旋度设 梯度梯度: :散度散度: :旋度旋度: :则11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式46思考与练习思考与练习所围立体所围立体, ,判断下列演算是否正确判断下列演算是否正确? ?(1) 为1.11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式47。(2)11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式48。则则提示提示:
13、 :三式相加即得2.11.6 11.6 高斯公式和斯托克斯公式高斯公式和斯托克斯公式49高斯高斯(1777 1855)(1777 1855)德国数学家、天文学家和物理学家德国数学家、天文学家和物理学家, , 是与阿基米德是与阿基米德, , 牛顿并列的伟大数学家牛顿并列的伟大数学家, , 他的数学成就遍及各个领域他的数学成就遍及各个领域 , , 在数论在数论、 级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创级数、复变函数及椭圆函数论等方面均有一系列开创性的贡献性的贡献, , 他还十分重视数学的应用他还十分重视数学的应用, , 地测量学和磁学的研究中发明和发展了最小二乘法、地测量学和磁学的研究中发
14、明和发展了最小二乘法、 曲面论和位势论等曲面论和位势论等. . 他在学术上十分谨慎他在学术上十分谨慎, , 原则原则: : 代数、非欧几何、代数、非欧几何、 微分几何、微分几何、 超几何超几何 在对天文学、大在对天文学、大恪守这样的恪守这样的 “问题在思想上没有弄通之前决不动笔问题在思想上没有弄通之前决不动笔”. . 50斯托克斯斯托克斯(1819-1903)(1819-1903)英国数学物理学家英国数学物理学家. . 他是他是1919世纪英国世纪英国数学物理学派的重要代表人物之一数学物理学派的重要代表人物之一, , 其其主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题主要兴趣在于寻求解重要数学物理问题的有效且一般的新方法的有效且一般的新方法, , 在在18451845年他导年他导出了著名的粘性流体运动方程出了著名的粘性流体运动方程 ( ( 后称之后称之 为纳维为纳维 斯托克斯方程斯托克斯方程 ),), 18471847年先于年先于 柯西提出了一致收敛的概念柯西提出了一致收敛的概念. . 他提出的斯托克斯公式他提出的斯托克斯公式 是向量分析的基本公式是向量分析的基本公式. . 他一生的工作先后分五卷他一生的工作先后分五卷 出版出版 . .51
