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1、1)“大化大化(dhu)小小”.2) “常代变”把L分成(fn chn) n 个小弧段,有向小弧段近似(jn s)代替, 则有所做的功为F 沿则用有向线段 上任取一点在第1页/共33页第一页，共34页。3)“近似近似(jns)和和”4) “取极限(jxin)”(其中(qzhng) 为 n 个小弧段的 最大长度)第2页/共33页第二页，共34页。2.定义定义(dngy).设 L 为xOy 平面内从 A 到B 的一条(y tio)有向光滑弧,若对 L 的任意分割(fng)和在局部弧段上任意取点, 都存在,在有向曲线弧 L 上对坐标的曲线积分,则称此极限为函数或第二类曲线积分.其中,L 称为积分弧段
2、 或 积分曲线 .称为被积函数 , 在L 上定义了一个向量函数极限记作第3页/共33页第三页，共34页。若 为空间(kngjin)曲线弧 , 记称为(chn wi)对 x 的曲线积分;称为对 y 的曲线(qxin)积分.若记, 对坐标的曲线积分也可写作类似地, 第4页/共33页第四页，共34页。3.性质性质(xngzh)(1) 若 L 可分成 k 条有向光滑(gung hu)曲线弧(2) 用L 表示(biosh) L 的反向弧 , 则则 定积分是第二类曲线积分的特例.说明: : 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 !第5页/共33页第五页，共34页。二、对坐标的曲线积分二、对坐标的曲线积分
3、(jfn)的计算法的计算法定理(dngl):在有向光滑(gung hu)弧 L 上有定义且L 的参数方程为则曲线积分连续,存在, 且有第6页/共33页第六页，共34页。特别是, 如果(rgu) L 的方程为则对空间(kngjin)光滑曲线弧 :类似(li s)有定理 第7页/共33页第七页，共34页。例例1.计算计算(jsun)其中(qzhng)L 为沿抛物线解法(ji f)1 取 x 为参数, 则解法2 取 y 为参数, 则从点的一段. 第8页/共33页第八页，共34页。例例2.计算计算(jsun)其中(qzhng) L 为(1) 半径(bnjng)为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆
4、时针方向;(2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为(2) 取 L 的方程为则则第9页/共33页第九页，共34页。例例3.计算计算(jsun)其中(qzhng)L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线(zhxin) 解: (1) 原式(2) 原式(3) 原式第10页/共33页第十页，共34页。三、两类曲线积分三、两类曲线积分(jfn)之间之间的联系的联系设有向光滑弧 L 以弧长为参数(cnsh) 的参数(cnsh)方程为已知L切向量(xingling)的方向余弦为则两类曲线积分有如下联系第11页/共33页第十一页，共
5、34页。例例4. .将积分(jfn)化为对弧长的积分,解：其中(qzhng)L 沿上半圆周第12页/共33页第十二页，共34页。1. 定义(dngy)2. 性质(xngzh)(1) L可分成(fn chn) k 条有向光滑曲线弧(2) L 表示 L 的反向弧对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向!内容小结内容小结第13页/共33页第十三页，共34页。3.计算计算(jsun) 对有向光滑(gung hu)弧 对有向光滑(gung hu)弧第14页/共33页第十四页，共34页。4. 两类曲线(qxin)积分的联系 对空间对空间(kngjin)有向有向光滑弧光滑弧 :第15页/共33页第十五页，共3
6、4页。11.1.3、设、设AB为由点为由点A(0，)到点到点B(，0)的直线的直线(zhxin)段，则段，则(A) (B)1 (C)0(D)1C解：AB所在直线(zhxin)方程为第16页/共33页第十六页，共34页。11.1.4、设、设C是抛物线是抛物线y2=x上从上从(1，1)到到(1，1)的一段弧，则的一段弧，则(A) (B) (C) (D) 0，B第17页/共33页第十七页，共34页。11.2.2、设、设L为曲线为曲线(qxin)y2=x上从点上从点(0，0)到点到点(1，1)的一段，的一段，则曲线则曲线(qxin)积分积分第18页/共33页第十八页，共34页。11.3.3、计算曲线、
7、计算曲线(qxin)积分积分 ，式中L是A(0，1)沿曲线(qxin)y=cosx到B(解：原式) 的一段。第19页/共33页第十九页，共34页。11.3.4、计算曲线、计算曲线(qxin)积分积分 ，其中(qzhng)L是从A(3，3)沿曲线y2=3x到B(3，3)的弧段。第20页/共33页第二十页，共34页。 11.3.5、计算、计算(j sun)曲线积分曲线积分 ，其中L是正向(zhn xin)圆周 x2+y2=1.第21页/共33页第二十一页，共34页。11.3.40、计算、计算(j sun)曲线积分曲线积分 ，其中(qzhng)C为曲线x=2t, y=t2, z=t2, 0t1. 解
8、：11.3.6、第22页/共33页第二十二页，共34页。11.3.7、设、设C为由坐标轴和直线为由坐标轴和直线(zhxin) 正向(zhn xin)边界。试求 .解：边界(binji)，其中，0x2；：，x从2到0，：，y从3到0围成的三角形的第23页/共33页第二十三页，共34页。11.3.8、曲线、曲线(qxin)积分积分 中的路径(ljng)L为由点(0，0，0)到点(1，2，3)的直线段。，0t1 解：直线(zhxin)段L：试计算此曲线积分。原式第24页/共33页第二十四页，共34页。11.3.14、计算、计算(j sun) ，其中(qzhng)L是从点O(0，0)经点A(0，1)到
9、点B(1，1)的折线段。 第25页/共33页第二十五页，共34页。 (1，0，0)，(0，1，0)和(0，0，1)。试求曲线(qxin)积分 11.3.15、设T为有问闭折线(zhxin)ABCA，这里的A、B、C点分别为第26页/共33页第二十六页，共34页。11.3.20、计算、计算(j sun) ，式中L是圆周(yunzhu) 的逆时针方向(fngxing)。 第27页/共33页第二十七页，共34页。 11.3.21、计算、计算(j sun)曲线积分曲线积分 ，其中(qzhng)r是曲线 上从t=0到 的一段。第28页/共33页第二十八页，共34页。11.3.22、计算、计算(j sun
10、)曲线积分曲线积分 其中(qzhng)r是从点O(0，0，0)到A(1，2，3)的直线段。第29页/共33页第二十九页，共34页。11.3.25、力 =x,y,x的作用(zuyng)下，质点从(0，0，0)点沿L： 移至(1，2，1)点，求力 所做的功。 第30页/共33页第三十页，共34页。 11.3.41、 =x,y,x的作用(zuyng)下，质点从(0，0，0)点沿L： 移至(1，2，1)点，求力 所做的功。力第31页/共33页第三十一页，共34页。第32页/共33页第三十二页，共34页。感谢您的欣赏(xnshng)！第33页/共33页第三十三页，共34页。内容(nirng)总结1) “大化小”.。把L分成 n 个小弧段,。第1页/共33页。2. 定义.。若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点,。第3页/共33页。上半圆周, 方向为逆时针方向。解: (1) 取L的参数方程为。 对空间有向光滑弧 :。，0x2。，0t1。解：直线段L：。11.3.15、设T为有问闭折线ABCA，这里的A、B、C点分别(fnbi)为。第32页/共33页。感谢您的欣赏。第33页/共33页第三十四页，共34页。
