初中数学竞赛教程

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1、七年级七年级第一讲第一讲有理数（一）有理数（一）一、 【能力训练点】1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。2、有理数的两种分类：3、有理数的本质定义，能表成m（n 0,m,n互质） 。n4、性质： 顺序性（可比较大小） ； 四则运算的封闭性（0 不作除数） ； 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。5、绝对值的意义与性质：|a|a(a 0)2 非负性(|a| 0,a 0)a(a 0) 非负数的性质： i）非负数的和仍为非负数。ii）几个非负数的和为 0，则他们都为 0。二、 【典型例题解析】 ： 1 如果m是大于 1 的有理数，那么m一定小于它的（） A.相反数 B.倒数 C.绝对值

2、D.平方 2. 已 知 两 数a、b互 为 相 反 数 ，c、d互 为 倒 数 ，x的 绝 对 值 是2 ， 求x2( a b c ) d x (2 0 0 6 a)b (的值。)c d3.如果在数轴上表示a、b两上实数点的位置，如下图所示，那么|ab|ab|化简的结果等于（） A.2a B.2a C.0 D.2b4.有 3 个有理数 a,b,c，两两不等，那么5.设三个互不相等的有理数，既可表示为1，ab,a的形式式，又可表示为0，ab bc ca中有几个负数？,bc ca abb，b的形式，求aa2006b2007。.6. 三 个 有 理 数a,b,c的 积 为 负 数 ， 和 为 正 数

3、 ， 且X abc|ab|bc|ac|则|a|b|c|abbcacax3bx2cx1的值是多少？7.若a,b,c为整数，且|a b|2007 |ca|20071，试求|ca|ab|bc|的值。第二讲第二讲有理数（二）有理数（二）一、 【能力训练点】 ：1、绝对值的几何意义|a|a0|表示数a对应的点到原点的距离。|ab|表示数a、b对应的两点间的距离。2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。二、 【典型例题解析】 ： 1若2 a 0，化简|a2|a2| 2试化简| x1| | x2|3.若| x5| x2| 7，求x的取值范围。4.已知f (x) | x1| | x2| x3| 5若|ab1

4、|与(a b1)互为相反数，求3a2b1的值。.2| x2002|求f (x)的最小值。6.如果abc 0，求|a|b|c|的值。abc7.x是什么样的有理数时|(x2)(x4)| x2| x4|等式成立？第三讲第三讲有理数（三）有理数（三）一、 【能力训练点】 ：1、运算的分级与运算顺序；2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。3、巧算的一般性技巧： 凑整（凑 0） ； 巧用分配律 去、添括号法则； 裂项法4、综合运用有理数的知识解有关问题。二、 【典型例题解析】 ：1计算：0.71237976.62.20.73.31173118112(1231111)(1996234111)(1199

5、7231111)(23419971)19962213214213 3计算：Sn22 13214214.4.比较Snn212n 1123424816n与 2 的大小。2n.5.计算（1）1111122（2）428701302081335299101第四讲第四讲代数式（一）代数式（一）一、 【能力训练点】 ：（1）列代数式；（2）代数式的意义；（3）代数式的求值（整体代入法）二、 【典型例题解析】 ：1.求代数式的值：（1）已知2（2）已知x2y 5的值是 7，求代数式3x6y 4的值。22ab2(2ab)3(ab)的值。 5，求代数式abab2ab（3）已知（4）已知：当x 1时，代数式Px q

6、x1的值为 2007，求当x 1时，代数式Px qx1的值。（5）已知等式(2A7B)x(3A8B) 8x10对一切x都成立，求 A、B 的值。.33112a2bab的值。 3，求baab2ab（6）已知(1 x) (1 x) abxcx dx，求abcd的值。（7）当多项式m m1 0时，求多项式m 2m 2006的值。2.已知多项式2y 5x 9xy 3x3nxy my 7经合并后，不含有y的项，求2mn的值。3.当50(2a3b)达到最大值时，求14a 9b的值。4.若a,b,c互异，且225.已知m mn 15,mnn 6，求3m mn2n的值。22222222323222xy，求x

7、y Z的值。abbcca6.已知abc 1，求7.已知ab 1，比较 M、N 的大小。abc的值。aba1bcb1acc1M 11ab，N 。1a1b1a1b8.已知x x1 0，求x 2x1的值。.239.已知xyz K，求 K 的值。y zx zx y10.a 3 ,b 4 ,c 5，比较a,b,c的大小。11.已知2a 3a5 0，求4a 12a 9a 10的值。2432554433第五讲第五讲一元一次方程（一）一元一次方程（一）一、 【能力训练点】 ：1、等式的性质。2、一元一次方程的定义及求解步骤。3、一元一次方程的解的理解与应用。4、一元一次方程解的情况讨论。二、 【典型例题解析】

8、 ：1. 能否从(a2)x b3；得到x 为什么？2.若关于x的方程5543.3.若(3x 1) a5x a4x b 3b 3，为什么？反之，能否从x 得到(a2)x b3，a 2a 22kxmxnk，无论 K 为何值时，它的解总是x 1，求m、n的值。 236 a1x a0。求a5a4a3a2a1a0的值。4.已知x 1是方程.11mx 3x的解，求代数式(m27m9)2007的值。225.关于x的方程(2k 1)x 6的解是正整数，求整数 K 的值。6.关于x的一元一次方程(m 1)x (m1)x8 0求代数式200(m x)(x2m)m的值。7.7.解方程8.8.当a满足什么条件时，关于

9、x的方程| x2| x5| a，有一解；有无数解；无解。22xxx122334x 200620062007第六讲第六讲 一元一次方程（一元一次方程（2 2）一、 【能力训练点】 ：1、列方程应用题的一般步骤。2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）二、 【典型例题解析】1要配制浓度为 20%的硫酸溶液 100 千克，今有 98%的浓硫酸和 10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？2一项工程由师傅来做需 8 天完成，由徒弟做需 16 天完成，现由师徒同时做了 4 天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？.3某市场鸡蛋买卖按

10、个数计价，一商贩以每个0.24 元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12 个，剩下的蛋以每个 0.28 元售出，结果仍获利11.2 元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？4一个三位数，十位上的数比个位上的数大 4，个位上的数比百位上的数小 2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？5一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的11后，用水加满，第二次倒出它的后用水加满，这时容32器中的酒精浓度为 25%，求原来酒精溶液的浓度。6.某中学组织初一同学春游，如果租用45 座的客车，则有15 个人没有座位；如果租用同数量的60 座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已

11、知租用45 座的客车日租金为每辆车250 元，60 座的客车日租金为每辆 300 元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？7.有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24 部 A 型抽水机，6 天可抽干池水，若用21 部 A型抽水机 13 天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部 A 型抽水机抽水？第七讲：线段和角第七讲：线段和角【能力训练点】：【能力训练点】：数线段数角数三角形数线段数角数三角形问题 1、直线上有 n 个点，可以得到多少条线段？.分析：点线段2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 6 15=1

12、+2+3+4+5 n 1+2+3+ +(n-1)=nn 12问题 2如图，在AOB 内部从 O 点引出两条射线 OC、OD，则图中小于平角的角共有（）个(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6拓展：1、 在AOB 内部从 O 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角 1 3 =1+2 2 6=1+2+3 3 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n+1)=n 1n 22类比：从 O 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？射线角2 1 3 3 =1+2 4 6=1+2+3 5 10=1+2+3+4 n 1+2+3+ +(n-1)=nn 12类比联想：如图，可以得到

13、多少三角形？（二）与线段中点有关的问题线段的中点定义：文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点叫做线段的中点AMB图形语言：几何语言： M 是线段 AB 的中点AM BM 1AB，2AM 2BM AB2【典型例题】 ：1由下列条件一定能得到“P 是线段 AB 的中点”的是（）11AB（B）AB2PB（C）APPB（D）APPB=AB2212若点 B 在直线 AC 上，下列表达式：AB AC；AB=BC；AC=2AB；AB+BC=AC2（A）AP=其中能表示 B 是线段 AC 的中点的有（）.A1 个 B2 个 C3 个 D4 个3.如果点 C 在线段 AB 上,下列表达式AC=的有

14、( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个第八讲：与三角形有关的线段第八讲：与三角形有关的线段一、一、 【能力训练点】【能力训练点】 ：1三角形的边三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：ABC 中，a+bc,b+ca,c+ab（两点之间线段最短）由上式可变形得到： acb，bac，cba即有：三角形的两边之差小于第三边2.高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。3.中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线4.角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线二、二、 【

15、典型例题】【典型例题】1已知三角形三边分别为2,a-1,4,那么 a 的取值范围是( ) A.1a5 B.2a6 C.3a7 D.4a3已知: BE, CE 分别为 ABC 的外角 MBC, NCB 的角平分线,求: E 与A 的关系4已知: BF 为ABC 的角平分线, CF 为外角ACG 的角平分线,求: F 与A 的关系。.1AB;AB=2BC;AC=BC;AC+BC=AB 中, 能表示 C 是 AB 中点21（AB+AC）2思考题：如图：ABC 与ACG 的平分线交于 F1；F1BC 与F1CG 的平分线交于 F2；如此下去, F2BC与F2CG 的平分线交于 F3；探究Fn 与A 的

16、关系（n 为自然数）第九讲：与三角形有关的角第九讲：与三角形有关的角一、一、 【能力训练点】【能力训练点】 ：（一）三角形内角和定理：三角形的内角和为180（二）三角形的外角性质定理：1. 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和2.三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角（三）多边形内角和定理：n 边形的内角和为(n2)180多边形外角和定理：多边形的外角和为360二、二、 【典型例题】【典型例题】1多边形内角和与某一个外角的度数总和是1350，求多边形的边数。2科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图4 中的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A. 6 米

17、B. 8 米 C. 12 米 D. 不能确定第十讲：二元一次方程组第十讲：二元一次方程组一、一、 【能力训练点】【能力训练点】 ：1.二元一次方程的定义：经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是1，系数都不为0，这样的整式方程称为二元一次方程。2、二元一次方程的标准式：axbyc 0a 0,b 03、二元一次方程的解的概念：使二元一次方程左右两边的值相等的一对x、y的值，叫做这个方程的一个解。4、二元一次方程组的定义：.方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。二、二、 【典型例题】【典型例题】1若下列三个二元一次方程：3x-y=7；2x+3y=

18、1；y=kx-9 有公共解，那么 k 的取值应是（）A、k=-4 B、k=4 C、k=-3 D、k=32已知方程组 2x 23y 113 2a 3b 13a 8.3的解是，则方程组的解是（）3x 25y 1 30.93a 5b 30.9b 1.2Ax 10.3x 6.3x 10.3x 8.3 B C Dy 2.2y 2.2y 0.2y 1.245xy13x: y 3: 23解方程组 4解方程组3x5y 345 3xy5字母系数的二元一次方程组： （1）当a为何值时，方程组（2）当m为何值时，方程组12ax2y 1有唯一的解3x y 3 x2y 1有无穷多解2xmy 2.第十一讲：一元一次不等式

19、第十一讲：一元一次不等式一、一、 【能力训练点】【能力训练点】 ：1不等式的基本性质通过对比不等式和方程的性质，使学生学会用类比的方法看问题。性质 1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。若 ab，则 a+cb+c（a-cb-c） 。性质 2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。若 ab 且 c0，则 acbc。性质 3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。若 ab 且 c0，则 acb则（1）当x a时，则x a，即“大大取大”x bx a（2）当时，则x b，即“小小取小”x b（3）当x a时，则b x a，即

20、“大小小大取中间”x bx a（4）当时，则无解，即“大大小小取不了”x b二、二、 【典型例题】【典型例题】 ：1若不等式 axb 的解集是 xb，则 a 的范围是（）a.A、a0 B、a0 C、a0 D、a02解关于 x 的不等式mx2 3m5x3若不等式mx2 x1和3x50是同解不等式，求 m 的值。4若不等式组m 5x8 4x1的解是 x3，则 m 的取值范围是（）x mAm 3 Bm 3 Cm 3 Dm 32x 3(x3)15 关于 x 的不等式组3x2有四个整数解，则 a 的取值范围是（） xa4A115115115115 a B a C a D a 424242426已知关于x

21、、y的方程组x2y a1的解适合不等式2x y 1，求a的取值范围.x y 2a1第十二讲：一元一次不等式（组）的应用第十二讲：一元一次不等式（组）的应用一、一、 【能力训练点】【能力训练点】 ：1能够灵活运用有关一元一次不等式（组）的知识，特别是有关字母系数的不等式（组）的知识解决有关问题。2能够从已知不等式（组）的解集，反过来确定不等式（组）中的字母系数取值范围，具备逆向思维的能力。3能够用分类讨论思想解有关问题。4能利用不等式解决实际问题.二、二、 【典型例题】【典型例题】1m 取什么样的负整数时，关于x 的方程2已知x、y满足x2ya x y2a1 0且x3y 1，求a的取值范围.3比

22、较a 3a1和a 2a5的大小4某饮料厂开发了 A、B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产，计划生产 A、B 两种饮料共 100 瓶，设生产 A 种饮料 x 瓶，解答下列问题： （1）有几种符合题意的生产方案？写出解答过程； （2）如果 A 种饮料每瓶的成本为 2.60元，B 种饮料每瓶的成本为 2.80 元，这两种饮料成本总额为y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式，并说明x 取何值会使成本总额最低？原料名称甲乙饮料名称A20 克40 克B30 克20 克5某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周

23、（按120 个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 40 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问：每周应生产空调器、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？家电名称空调器彩电冰箱111工时（个）324产值（万元/台）0.40.30.2.221x1 m的解不小于3.22八年级八年级第一讲第一讲全等三角形的性质与判定全等三角形的性质与判定一、 【能力训练点】 ：1能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2全等三角形性质：全等三角形对应边相等，对应角相等；全等三角形对应高、角平分线、中线相等；全等三角形对应周长

24、相等，面积相等；3全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有 HL 法；4证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5 证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.二、 【经典练习】1 （绍兴）如图，D、E 分别为ABC 的 AC、BC 边的中

25、点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在 AB 边上的点 P 处.若CDE48，则APD 等于（）A42B48C52D582如图，RtABC 沿直角边 BC 所在的直线向右平移得到DEF，下列结论中错误的是（）AABCDEFBDEF90C ACDF DECCFCADAEGD3一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B、F、C、D 在同一条直线上.求证：ABED；若 PBBC，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.AAECEMFBDBPNP第 1 题图BBE第 2 题图CFFCD4.（第 21 届江苏竞赛试题）已知，如图，BD、CE 分别是

26、ABC 的边 A C 和 AB 边上的高，点 P 在 BD 的延长线，BPAC，点 Q 在 CE 上，CQAB. 求证： APAQ；APAQA.1PEFQDB2C5如图, ABCD, ABCD. BC12cm，同时有 P、Q 两只蚂蚁从点 C 出发，沿 CB 方向爬行，P 的速度是0.1cm/s, Q 的速度是 0.2cm/s. 求爬行时间 t 为多少时，APBQDC.APQDB. . .C6如图, ABC 中，BCA90，ACBC，AE 是 BC 边上的中线，过 C 作 CFAE，垂足为 F，过 B 作BDBC 交 CF 的延长线于 D.A求证：AECD；D若 AC12cm, 求 BD 的长

27、.FCBE7如图，将等腰直角三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 l 上，从另两个顶点 A、B 分别作 l 的垂线，垂足分别为 D、E.找出图中的全等三角形，并加以证明；ECDl若 DEa，求梯形 DABE 的面积.（温馨提示：补形法）8如图，AD 为在ABC 的高，E 为 AC 上一点，BE 交 AD 于点 F,且有 BFAC，FDCD.求证：BEAC；若把条件“BFAC”和结论“BEAC”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.AEFCBD9如图，D 为在ABC 的边 BC 上一点，且 CDAB，BDABAD，AE 是ABD 的中线.求证：AC2AE.AABB.EDC10如图，在凸四边形A

28、BCD 中，E 为ACD 内一点，满足ACAD，ABAE, BAEBCE90, BACEAD.求证：CED90.CBEAD11 （沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和 DBE 按图方式摆放，其中ACBDEB90，AD30，点 E 落在 AB 上，DE 所在直线交 AC 所在直线于点 F.求证：AFEFDE;若将图中DBE 绕点 B 顺时针方向旋转角 ，且 0 60，其他条件不变，请在图中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；若将图中DBE 绕点 B 按顺时针方向旋转角 ，且 60 180,其他条件不变，如图你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时

29、AF、EF 与 DE 之间的关系，并说明理由。DBBBEEAAFCACCF图图D图12 （嵊州市高中提前招生考试）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在 ABC 中，AB5，AC13, 求 BC 边上的中线 AD 的取值范围.A小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长 AD 到 E，使得DEAD，再连接 BE，把 AB、AC、2AD 集中在ABE 中，利用三角形的三边关系可得 2AE8，则 1AD4.BCD感悟：解题时，条件中若出现“中点” “中线”等条件，可以考虑中线加倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形E中.问题解决：受到的启发，请你

30、证明下面命题：如图，在ABC 中，D 是 BC 边上的中点，DEDF，DE 交 AB 于点 E，DF 交 AC 于点 F，连接 EF.求证：BECFEF；AFEBCD.第二讲第二讲角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定一、 【能力训练点】 ：1角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.2角平分线的判定定理：角的内角到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.3有角平分线时常常通过下列几种情况构造全等三角形.二、 【经典练习】1.如图，在ABC 中，BAC90,ABAC，BE 平分ABC，CEBE.求证：CE1BD2F FA AE E1 12 2D D3 3B BC C2如图，已知 A

31、CBD，EA、EB 分别平分CAB、DBA，CD 过点 E，求证：ABACBD.D DE EC CA AB B3如图，在ABC 中，B60，AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F.请你判断 FE 和 FD 之间的数量关系，并说明理由；B B求证：AECDAC.E ED DF FA AC C4如图，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于 E，DFAC 于 F，且 DBDC.求证：BECFE ED DB BF FC CA A5如图，在ABC 中，AD 是BAC 的平分线，DEAB 于点 E，DFAC 于点 F.求证：ADEF.A AE EO O.B BD DF FC

32、C第三讲第三讲等腰三角形等腰三角形一、 【能力训练点】 ：1等腰三角形及其性质有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，等腰三角形是轴对称图形，因此它的性质有：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） ；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（即等腰三角形三线合一）2等腰三角形的判定证明一个三角形是等腰三角形的基本方法是：从定义入手，证明一个三角形有两条边相等；从角入手，证明一个三角形有两个角相等，依据是等腰三角形判定定理；等角对等边3构造等腰三角形的常用方法角平分线平行线等腰三角形角平分线垂线（或高）等腰三角形线段中垂线构造等腰三角形将 2 倍角转化为相等角构造等腰三角形1 1

33、2 21 13 32 2(1)(2)(3)2 21 1(4)二、 【经典练习】1如图，在等腰直角三角形 ABC 中，P 是斜边 BC 的中点,以 P 为直角顶点的两边分别与边 AB、AC 交于点 E、F，当EPF 绕顶点 P 旋转时(点 E 不与 A、B 重合)，PEF 也始终是等腰三角形，请你说明理由2如图，在等腰三角形ABC 中，ACB90 ，D 是 BC 的中点，DEAB 垂足为 E，过点 B 作 BFAC 交 DE的延长线于点 F，连接 CF 交 AD 于 G求证：ADCF;连接 AF，试判断ACF 的形状，并说明理由03如图，在错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。ABC 中，B2

34、C，AD 为BAC 的平分线求证：ACABBD.4(天津初赛试题)如图，在四边形 ABCD 中，ACBBAD105 ，ABCADC45 ，若 AB2，求.00CD 的长5如图，在错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。ABC 中，ABAC，D 在 AB 上，F 在 AC 延长线上，BDCF求证 DEEF.6（滨州） 已知等腰错误！错误！ 未找到引用源。未找到引用源。 ABC 的周长为 10， 若设腰长为 x， 则 x 的取值范围是_.007.如图，在错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。 ABC 中，ABC46 ，D 是边 BC 上一点，DCAB, DAB21 ，求CAD的度数第四讲第四讲等

35、边三角形等边三角形一、 【能力训练点】 ：1等边三角形及其性质：三边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60等边三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线或底边上的高、中线所在直线；2等边三角形的判定：三边都相等的三角形是等边三角形；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形；3在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半，反之也成立二、 【经典练习】1.如图，DAC 和EBC 均是等边三角形，A、C、B 三点在一条直线上AE、BD 分别与 CD、CE 交于点 M、EN(1)求证：ACEDCB; (

36、2)求AFD 的度数；FD (3)判断CMN 的形状。12.P 是ABC 内一点， PBC30， PBA8， 且PABPAC22，求NM2APC 的度数。ABAC.PBC3如图四边形 ABCD 中，ABAD，BAD60，BCD120求证：ACBCDC第五讲第五讲实实数数一、 【能力训练点】 ：1平方根与立方根：BADC2若xa(a0)则 x 叫做 a 的平方根，记为：a 的平方根为 xa，其中a 的平方根为 xa叫做 a的算术平方根若 x a，则 x 叫做 a 的立方根记为：a 的立方根为 x3a32无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数实数与数轴上的点一一对应任何有理数都可以表示为

37、分数3 非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根（或偶次方根）都是非负数即a0，a0（n为正整数） ，a0(a0) 二、 【经典练习】1已知 m 是小于15 2的最大整数，则 m 的平方根是_2如图，有一个数值转化器，当输入的x 为 64 时，输出的 y 是_输入 x是无理数取算术平方根输出 y2np（p、q 是两个互质的整数，且q0）的形式q是有理数3.（全国竞赛）已知非零实数a、b 满足2a4 b2 A1 B 0 C1 D2.a3b24 2a，则 ab 等于( )4.在实数范围内，等式2a a2 b30 成立，则 a _b5.若 a、b 都为有理效，且满足abb 1 2 3求

38、 ab 的平方根6 （西安市竞赛题）已知m、n 是有理数，且（52）m(325)n70 求 m、n7.若 a 为17 2 的整数部分，b 1 是 9 的平方根，且ab ba，求 ab 的值8在实数 1.414， 2，0.15，516，3.14，3A2 个 B3 个 C4 个 D 5 个9对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算如下： ab 8中无理数有( )125ab32，如325那ab32么 12.4_10.如图，直径为 1 的圆与数轴有唯一的公共点P点 P 表示的实数为1如果该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为 P，那么点 P所表示的数是_11已知整数 x、y 满足x212 （全国

39、联赛）若 a、b 满足3 a 5 b7，S2 a 3 b，求 S 的取值范围第六讲第六讲 幂的运算幂的运算一、 【能力训练点】 ：幂的运算性质（其中 m、n、p 都为正整数） ：y50，求 x、ya a a1mnmn(a ) a 2mnmn(ab) a b4aman amn5a01(a 0)，a p 3nnn1(a 0)pa二、 【经典练习】1.若22n+14n 48，求 n 的值.nm2mn2若2 4，2 16，求2的值.3若x4若x 3，x 6，则x5已知26已知a 81，b 27，c 9，则 a、b、c 的大小关系是（Aabc503141612m3mn3m2n3n 5，求代数式(2x2n

40、)34(x3)2n的值_.22m1192，求m的值）Bacb4030 Cabca）7已知a 3，b 4，c 5，则 a、b、c 的大小关系为（AabcBcabxy CcbaDbca8如果 x、y 是正整数，且2 2 32，求满足条件的整数 x、y9求满足(n n1)10已知 a、b、c 为自然数，且2 27 37 1998，求(abc)11设 a、b、c、d 都是非零自然数，且a b ，c d ，ca 19，求d b的值第七讲第七讲整式的乘除整式的乘除.5432abc20102n21的整数 n.的值一、 【能力训练点】 ：1整式的乘法包括单项式乘以单项式、单项式乘以多项式、多项式乘以多项式等.

41、2整式的除法包括单项式除以单项式、多项式除以单项式、多项式除以多项式等.23乘法公式：a ba b a2 b2. a b a2 2ab b22a b c a2 b2 c2 2ab 2ac 2bca ba2ab b2 a3 b33a b a3 3a2b 3ab2 b3二、 【经典练习】1.a2 b211,ab 3,则a b .2若 xy3,xy2,求x4 y4的值.223.若a b 5,a b 2,求a2 b2 ab的值，4.若 xy1,x y 3.求x3 y3的值.225.已知 a2009x2006,b2009x2007,c2009x2008,求多项式a2 b2 c2 ab bc ac的值.6

42、.若2x3 kx2 3被2x 1除后余 2,求 k 的值.7若3x3 mx2 nx 42能被x2 5x 6整除，则 m .n .8.若多项式x4 x3 ax2 bx c能被x 1整除，则 abc .3第八讲第八讲因式分解及其应用因式分解及其应用一、 【能力训练点】 ：.1因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式；2因式分解的基本方法有提公因式法、运用公式法、分组分解法等；3因式分解的基本原则：有公因式先提出公因式、分解必须进行到每一个多项式都不能再分解为止；4竞赛中常出现的因式分解问题，常用到换元法、主元法、拆项添项阿、配

43、方法和待定系数法等方法、另外形如x2 px q的多项式，当 pab，qab 时可分解为（xa） （xb）的形式；5利用因式分解求代数式的值与求某些特殊方程的解.二、 【经典练习】1若m2 kmn 9n2是一个完全平方式，则k_2若x2 y26x 10y 34 0，求 x、y 的值.3若a2 a2b24abb21 0，求 a、b 的值.4 （四川省初二联赛试题）已知a、b、c 满足| 2a 4| |b 2| (a 3)b2 a2 c2 2 2ac，求abc的值.5.已知x2 ax12能分解成两个整系数的一次因式的乘积，则符合条件的整数a 的个数是（A2 个 B4 个C6 个D8 个6分解因式：x

44、24y29z212yz4x24x y2 4y 3ab2a3b6第九讲第九讲分式的概念性质与运算分式的概念性质与运算一、 【能力训练点】 ：1分式的概念和性质若 A、B 表示两个整式，且 B 中含有字母，则形如性质：A AA A MM19）(x1)(x2)(x3)(x4)16y219y 10A AB B的式子叫分式，当 B0，分式A AB B有意义分式基本B BB B MMB B2分式的运算法则，A AA A MMB B MM(MM 0).同分母相加减：a abdbda ac cadad分式的乘法：；(4)分式的除法： ； b b d dbdbdb bd db b d dbcbcc ca a c

45、 cb bc cacac a a b bc c；异分母相加减：a ab bd da a c cc c adad bcbc；(5)分式的乘方： ( ) n n（n 为正整数） b bb b二、 【经典练习】a an na an nx x2 x x 21.（天津）若分式2的值为 0，则 x 的值等于_x x 2x x 12若代数式x x 1x x 1有意义，则 x 的取值范围是( )x x 2x x 3Ax2 Bx2 且 x3 Cx3 Dx2， x3 且 x13若式子4.计算：6化简：7计算：(x x 8)(x x 1)的值为 0，则 x 的值为_x x 111241221 5计算： 1 x x1

46、 x x1 x x21 x x4x x 2x x 1x x 1x x 21111 x x 1(x x 1)(x x 2)(x x 2)(x x 3)(x x 3)(x x 4)a ab bc c (a a b b)(a a c c)(b b c c)(b b a a)(c c a a)(c c b b)a a2 4a a 88.已知 a 整数，且代数式的值也是整数，求 a 的值a a 4.11119化简_x(x1)(x1)(x2)(x2)(x3)(x99)(x100)2006242006410计算：322006 2006 220064811.已知12.已知 abc1，求证：13分解因式.11abcabbc1ac，求的值.abacbcab3bc4ac5abc1.aba1bcb1acc1x2 xy 2y2 x 5y 2初中数学竞赛教程初中数学竞赛教程.