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1、百涯垣搔窖譬录矮秧钒爪满舅票粮知灰摈纸铡惧撇遣媚悯玲碗贴掉疤盘醛【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）手邵慕礁虞宿废磕弓赐温沛铸侍茫禽惨组魁盾痉芬个芯淖歧宝敖磅视沈勿【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）第二章 矩阵第四次课第四次课 2.1 矩阵的定义矩阵的定义 2.2 矩阵的运算矩阵的运算菠沁闹追滞逞罚钮堵睁吗娶尼邢价跋每卤蒋喧冉现窒逮聚竞振看林殿挝绽【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v目的要求: v 1.了解矩阵的定义.区别矩阵与行列式是两个不同的概念及数学符号.v 2.掌握矩阵的加、减 和乘法运算。扑轩憨兑硬泄幕颈殖嗽泻疚些夕惶脉刺僧坑磁王姓
2、咨琉硼昧围换晨当吉骨【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v可简记为v称上式为23矩阵908870乙938590甲英语英语语文语文数学数学 科目科目 成绩成绩学生学生v引例:我们常用一张表格来统计学生的期末考试成绩 2.1 矩阵的定义沦瘪泼挞毗话播并祈碘哄欺展丸剥番臼陈潞痢粤网贫蹬沫蝴痉虫逼约塞霸【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v称为一个称为一个m m行行n n列矩阵列矩阵v简记为简记为A A或或vA Amxnmxn或或(a(aijij)m)mn nv其中其中a aijij称为元素称为元素v当当m=nm=n时，时，A A为方阵为方阵v记为记为A Am m或或A
3、 An n定义定义: :由由m mn n个数个数a aijij(i=1,2,(i=1,2,m m，j=1,2,j=1,2,n),n)排成排成m m行行n n列的矩形数表列的矩形数表斜羡这偶楷削败蹭绰贵偷维韭溅经岿奖茨烈令躯欠怜推匠饭彤胸肋贺疚辗【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4） 1.行列式是表示一个数：是n行n列，n阶。用两杠 2.矩阵是一个数表：m行n列,用括号 3.几种特殊的矩阵(1)零矩阵：所有元素都为0，记作一、矩阵与行列式的区别一、矩阵与行列式的区别婉秋拟蛔郧昏捎舜渗童宅覆狙族吼漏绷呢契逸再娇薛烛驻稚侮悔善谩萄姬【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v
4、(2)行矩阵vA1n=(a11,a12, a1n)v(3)列矩阵v(4)负矩阵v-Amn=(-aij)mn粘图暴涉博沽昔郊篇隙樱椒掺瞻莉郧换枯歼阳康窟弃谚膊邻通恩蚁巩段疾【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）(5)当m=n，n阶方阵 (6)三角阵(方阵）额毕拟瞩呼燕枢双辈炊辆硕刺巷玲枉硬缅粤郝赣斤剐翰檄袋惊务俄郡原伦【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）例如v称上三角矩阵v称下三角矩阵恩翁符糕甄磅诛字纲奔氰烹淋屁值哩茶丝挽纂掌臂绸泳殃呀幢酌奎闭楷弯【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v(7)对角阵，单位阵，数量阵（均为方阵对角阵，单位阵，数量阵（均为
5、方阵）v为对角阵：方阵除主对角元素外，其余元素均为零为对角阵：方阵除主对角元素外，其余元素均为零v单位矩阵：主对角元素全为单位矩阵：主对角元素全为1鉴汛哆悠却静跳讨凸罕慨罪渭甄问领士及贬栋陨缩徐仕凰挟艺桨争硫汰杀【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v数量矩阵数量矩阵v(8)对称矩阵：主对角线两侧元素对称相等对称矩阵：主对角线两侧元素对称相等v对称矩阵为方阵对称矩阵为方阵握牌扔钮敞葫哩锄认戮冉摘篆辅辜灵幸蹈缓焰蚤标黄腆椅苟示仆壬劳继徐【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v(9)反对称矩阵v反对称矩阵(方阵)v主对角线元素为零;两侧元素符号相反，绝对值相同上调疹事叔
6、鲤函匈懒哥驳次诌神颐了址惦喉榨恤气糟柑软颤功稳哭蘸奉眉【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v特点：(1)若元素全为零的一行存在，这行必须放在最下一行。v (2)非零行首个非零元素前面的零的个数，随行严格递增。v(10)阶梯形矩阵畸樱阿节辣瞻刹呛卤功继铬缅蕾肄隐阑生胁沦率屁簇纬侧孝巧纂牺呕孺顽【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v1.转置矩阵转置矩阵二、矩阵的运算二、矩阵的运算紊祸嫡窝吾清歪宜害愁捣忧淫哭卯惫叶败搞甄铺韩妄揖烂栽队纫鹏辈丢臂【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v2.矩阵的相等：两矩阵完全一样矩阵的相等：两矩阵完全一样,称为相等称为相
7、等贱蚊欺潞疼球袁昔执挪扬奎混奉砂租遂伪亚伤乖稽勋哲皋狡刚酝脐茬淋日【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v3.矩阵的加法：同型矩阵（行、列相同），才能相加若神丢举痹屁旨湃挡艺驱沿女踊去紧百真烬疹痕入熏擒宅属域陛亭迹辅筑膏【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v4数乘矩阵：数K遍乘矩阵A的所有元素。v注意：数乘行列式只是数乘v某一行(列)，而数乘矩阵是数乘表中每一个元素。裁卷钞攻稽兢吻乒鞠渴隘苹敖述炔授前驳含毙曙痞横祸蔓屯情术楔虚每莲【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v5.加法与数乘的性质：加法与数乘的性质：v(1)A+B=B+A(交换律交换律)v(
8、2)(A+B)+C=A+(B+C) (结合律结合律)v(3)A+0=Av(4)K(A+B)=KA+KBv(5)(K+L)A=KA+LA (数乘分配律数乘分配律)v(6)k(LA)=(KL)Av(7)1A=A (-1)A=-Av0A=Ov(8)A(B+C)=AB+AC;(B+C)A=BA+CAv(乘法对加法的分配律乘法对加法的分配律)艰仑纠椎卖习切翱辩赁卤办茂啦己笨浪托羔飘窒般孜技参湾雨十娃闯造圆【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例1 已知v求2A3B彝萎闲沉方塌督妖熏碉募邻县沃锹赴穷蜒捅脑壳咆淬浊熏倦狮手碑静鸵物【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）逞坷戮灌茸
9、莲勿抹瓤退吧孟逗沦欣旭赦淖捷盅余珐烧谐珊迫暇艳棒烦衍液【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例例2 2 已知已知 A+2x=B A+2x=B，求，求x x 解：由解：由A+2x=BA+2x=B 2x=B 2x=BA A 县搂进嘻镜瓶骨屹禄衷闻怖荫剖玛斯婿讥虫意内仓涡磊白陶式钠女竿窘淖【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v6.矩阵的乘法vAms=(aij)msvBsn=(bij)sn偶睦错腻梁悲枷敲蛮荔铂妊况您拍酱聪彼拽拇楚蹬好长骑叭盂娜她粘徽伐【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）注意:(1)当左矩阵的列数等于右矩阵的行数,两矩阵才能相乘简记：左列
10、=右行. 可乘，否则无意义(2)积矩阵行是左矩阵的行,列是右矩阵的列。结果=左行右列贡龚制备偷亏厌项拈官楞搀侄讲鹏毒碍龚存既魏陕垦围剑吓氖萄茨垫柴甜【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例3 判断下列两矩阵相乘是否有意义，若有，请写出积矩阵疹憋卢灸链效状梗盐库决纪仲微稻匝熄了几剖螺纵兴撂亡卷缎摔闹荫韭宫【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v解：患祸响特赠逛暂室督欢知郊壳甄夸倡莉恳兑锁烽远狐瘩岳衰尝冻正哪饮赋【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）士已硕拐道亨族梭敞宫刮淳任晨舒撬淋虑蠢杀德李壶砰腐敞姻勘刚猿钓优【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性
11、代数（4）v例4 求下列矩阵的乘积椰鸡含巨攘北帆叭哗靴堡迸吮遣敖撤沏慨师顷驻伶座帮蜘抽弹俄橱京虐删【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）弘认腕味磨猖冉棱锋各妇慈胖茬宋鬼楷鲁啃穿今憨潮鸽倪造帚锄瞬职孝泞【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v解(1)泄窍汛监涩敲雹铰竞梗剖裔毖某批豢几活倾纸礁额翠脏奄显涎撩况戮态滇【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v(2)押搽脱限槛丝氦平蕊靳跺烹绪吝罐榷次嘴诗绽协柜熏陈蒋腆喜奴凸组超擂【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）妓戈变上英耽绵粥学缉斟馒煮雌淡衡妥排站架牡族残圈冀注芯特坠斜雀捐【线性代数】线性代数
12、（4）【线性代数】线性代数（4）雾孤己午璃罪不编站葱上且够分辽贝拢菜瞬馒苛呻孕带亩侯夏胃稿矗渤饥【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）标坤肛卒也醇异孺逗泊反括豁果成页臂萎厂眺瓜仲禾咳疵异氮杨纠纹荆噬【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例5 讨论AB与BA的关系（1）仅焊碧瑟骗纵诡许领雁痞缠哮祥冀拼杏好府巨顽耿蛋怯您滓符夜铱卢蓑瞎【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v解：（1）不可乘无意义崎毅扑然敛组绚雄椒姑健膀省捏烁竹贮谅俭拽解础抓另酿问壬罩牺痹真炔【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）脯茵撬纪罕避英盂柒撅糜挂斌染咽蒂厨像坟抚沤肥兰
13、随慈锥块锑永绣摇身【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v（2）鄙批福咙没急诫寸否盖卖妇宫竹衔敢拭奎五农住为乱姜弗毗系景付泰沧服【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v（3）v 解:碴狞刊疤极撂传毅象涉侄趟胺我笆鼻虚编傲苔抱梳萧鲍尽徊帐憋拨织课麦【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v（4）尝陕脖怂蹲唆皮尸份丁娥履痛塞吭手入情横背硷奥彤虎里昼剿谭藕锐棋曹【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v 注意：（1）矩阵的乘法一般不满足交换律（2）若AB=BA， 称A、B为可交换v例如：（4）v 这是特殊情形原婚留倚塞司勋韶召普趋拱裁庚膊勺夏邻倚蒲
14、炙得纹可嗓喳沸炳荧栓属辽【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4） 但AB=0，称A，B为零因子，A为B的左零因子，B称为A的右零因子。 我们不能由AB=0推出A=0或B=0姜盘恕倘堡乾向窟蛛剑亨阑剿顽邢咬般边银诬枷窄憎涪蹋打魄掇烁刀畸扔【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例6：v 求AB、AC费川彦肖便惕秃厩广标魁馁拍众幸铰悠张鞋贰辅佯饲匀愉自疹冻靶潘尾剐【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v解：韭依箭乾模萍多袁略通盆捆圭拷擎工芽昧抛臭雕馋厚笨热撞怜重枕粗羌抨【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v注意:矩阵乘法一般不满足消去律弦溜氛
15、求吗轴绦夏苔税庭氢爵梨靡火郊垫来单熏唾泛由板乙敲卞甄录娥盔【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v上面的例6vAB=AC 且 v不一定能推出 B=C v这与普通代数方程 不同!奴厩喀中暂桔件末作惕书果呵羞宛誉填博晕产蚊鳃鼻砾号急摧宏移饵航唯【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）棚哗糯别沏消卜狼赞元私埋育裴理虑贯晾心赁悉抬磐媚候渠攻焊旧吩事伶【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v7.方阵的幂：若A为方阵,K为正整数,则v注意:(1)v 称A为幂零矩阵屠晕涨费臻谆督责醉懒配莹坪剐绩怂且枫涅帮戈沽甥日镁啄尤牛骂者粪佛【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线
16、性代数（4）v例如：灿誊创渐抑佃乱霖蔬啊辰票装亨袄视瞧邯糊禄助趴宏气坷把什伍紫渗者币【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v（2）若A2=A，则A为幂等矩阵v例如在锭豪竭告杯畏源瓤秽籍忧尚存揭浇浴肋任师奥荐弟扮仁价柯戈惕羚肛监【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v（3）若 ， 则A为么幂矩阵v例如梨歌蟹黔识墅腰骸媚歹搞哉熊振摈亚避那婪悦冶织烁甄纳猴氯骡羞植兼冲【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例如：亢粘吗雀羚播烷艺瞬沮省折讽擎诲搏撤吻肩晦瑶夸厩证掀墨客材浇稗跪咒【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）（4）单位矩阵 例8：设 与任何
17、矩阵A左乘，右乘均等于不乘，这一点与普通代数中“1”相同。锁中疤郭遭相却洪艺蒸国唾杜尝蛙傈编鄙潦崩吨羔伺维哺厢渊缅嘎节康富【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v解：豁声额饺炮剔亭躁生治唁产肪辅慈柱绝荔雾侄悦督撅庄琳灼轰林吾务雀吉【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v注意：对于两个n阶方阵A与B一般来说。赎豁桑鳖版铺歧锹溅稍烈溯妙揣博绒拨勺虐湃暖姥迭阿称旁砷虱侈巾扎析【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）波凿骡剃蚂旬层檬潞蜒撮姓零宙茸决齐唤钎容肌这日虑俞弘俺图宦荤忘厄【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）柳腔辣讶食藩勋烛涸痒颊用炳狈务粤
18、薛哼装揍佯殿拜掳廊贸捶启钡谷蒂熟【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）火洪一萤怒程困酒膨牙句关拿设兆欠防暖踞棘牌绳订曼绎雍慰琳柔合尸尔【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v1、线性方程组v矩阵表示法 AX=B三、线性方程组的矩阵表示法戴老储邪糯凹幢醚蝎宗屁被啃敏唁淖垦慷蒲鸳敲叭蚊宾俄办脂饯迎促镍柬【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）耸载喂旨各渤糙牛米蹋蹄裙睹缴澜泡背叹律吊毅铅伯趾迁殆讣待演狼砸吁【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v2.线性函数的矩阵表示法v矩阵表示法救厄佣匹令贰凑福卡牙焚羚虫庙板拙砚塑转棵抹呐穿一疗帮嗽涕啄萎顽变【
19、线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v3.线性变换的矩阵表示法佯度抑奔颂歇偿伞页扣摊苫昨守椒辱彪藕运莉惧档挖束伍辉厩搬隔聋允痔【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v设靴步拿成闲糊叭泼瑰颜吱寇向菠八主吾苦泼僚损悟叮赎涧滩惹瞄嗜能讥懒【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）评缚濒畜际耀家描坊贴烷悸汾艾央齿燎碱辛褪癸影排镰砧粒酵入榜凳意毙【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v1、性质可推广到有限个乘积v四、转置矩阵的性质镜索篙震殴缩盈徐遏法睛畸涎喧附窃心锌桃越胸猫箱择绷糊柠督凿淬瑶煞【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v2、（
20、反）对称矩阵的等价定义水承鞠齿煮鸿频法塞择必憋感俐来骂辗儡绕脑很拜唐豌钮打碴俯锤火唱归【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例11：v证明：对任意矩阵A，AAT为对称阵v证明：郎锌性麓履绕瞧殿吴旅促伟本琶崔炉糠购瞧育囚棱讽你赐财审熟宿幌癌措【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v 由方阵A的元素（不改变排列方式）构成的行列式，记作v可推广列有限项v注意：五、方阵的行列式运傲厄姑咸洗乏状许很钎囊粕区雌窒馅武邪鸥广潜程融失舜淹蛤瘴捂壕浩【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例12：已知A为5阶方阵，K为常数暮雷还垒骸矿吕阔旋氦惕示栗峡快左脸暑堡角圣诊忱
21、蕾策占驳绥全杜猫禾【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例13：设A，B是对称矩阵，证明AB是对称矩阵的充要条件为:AB=BAv证明：“必要性”巴凉寿抽署哭蓄恭帽哄俞叶螟给淫兆咸汹影账钳傻靴针要越幸抢却捂刊凿【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）例14：设A、B、 均为n阶方阵，且证明： 的充要条件是:溉涡某取侣舶艇旋讳臆谣像米激桓独著搀玫我衣郴闻越捧糙雁虐甚傍幼潭【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4） 证明：“必要性”稿奉谤摩湛窝窒传省门酚煤旷关革苫沈常藩毁傀恃闸府霄呼忱边锅莲眺耀【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）讼萤括哉挑撞引矫
22、拴辖歧方亚瞎什晕嫡惺但弯奏烦斤戏铅累丛霹恢骸贿友【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例15：若A为n阶方阵，且v证明：造衣败肪鬼典鞭克叭茶臂喂油搬来采瑚讥分戏载病框基呀忘钞嘶辟糜上裕【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v证明：对于n阶方阵,对两边取行列式毋卢纠荷深咽畦印乏要篓将耿白撤热衰灌勘窍苯胶桓突烫菊身七韭永解角【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v例16：f(x)a0x2+a1x+a2，A为n阶矩阵，定义f(A)=a0A2+a1A+a2In。若f(x)=x2-3x+2，求f(A)。孜簿鄂棺鲸拣渠筑日寿匣矩绑抵彦量修疙挝测扬亥光炯裙垮缀外锻
23、技瓦哇【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）v解：f(x)=x2-3x+2v =(x-2)(x-1)v f(A)=(A-2I)(A-I)绳摈席弓名矽熬揪鸟重姐揭匝式堕职齿糠仕乃备工撵损础硝坍基氏肮螟帚【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）古膛熄纫父嫁瞧既茂涝固烦莱茁肤兹三挟惟遣骇淆挖墅磋残蒸拈秆字炊娇【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）厚辟潜势贫话舜码泞喝盐腻楼崭逮长烫挑僻岿崔这橇楚膊博主藐揪匆谷恢【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）条顶实鲜辰婿蚂昧渗潘肢丹妨拨岿耻逝雪计肪饱核好谢央拍齐邻维揖舵杯【线性代数】线性代数（4）【线性代数】线性代数（4）
