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1、土壤植物土壤植物营养研究养研究法法王淑平王淑平 2007年年10月月24日日第七章方差分析第七章方差分析(analysis of variance)u在对多个样本平均数进行比较时，如果仍用在对多个样本平均数进行比较时，如果仍用t检验不仅检验过程繁琐，而且还会产生较大检验不仅检验过程繁琐，而且还会产生较大的误差，提高犯的误差，提高犯 错误的概率。错误的概率。u1923年英国统计学家年英国统计学家R.A.Fisher提出了方差提出了方差分析的统计方法。方差分析方法是对多个样分析的统计方法。方差分析方法是对多个样本平均数一次进行显著性检验的方法。本平均数一次进行显著性检验的方法。7.1 方差分析的基
2、本原理方差分析的基本原理一、变异因素的划分：n方差分析是在划分变异因素的基础上，再计算各个变异因素的方差，从而进行方差比的一种统计检验方法。n变异因素的划分必须根据试验目的、设计方法和资料性质而定。处 理 观 察 值总和Ti.平均 1 2 j nA1A2AiAk x11 x12 x1j x1n x21 x22 x2j x2n xi1 xi2 xij xin xk1 xk2 xkj xkn T1.T2.Ti.Tk.总和T.j T.1 T.2 T.j T.nT平均、单向分组资料：、单向分组资料：总变异包括：组间变异和总变异包括：组间变异和 组内变异组内变异因素A因素 B总和Ti.平均 B1 B2
3、B j BbA1A2AiAa x11 x12 x1j x1b x21 x22 x2j x2b xi1 xi2 xij xib xa1 xa2 xaj xabT1.T2.Ti.Ta.总和T.j T.1 T.2 T.j T.bT平均、双向、双向分组资料：分组资料：总变异包括：总变异包括：A因素、因素、B因素、试验误差因素、试验误差二、平方和与自由度的分解二、平方和与自由度的分解u以单向分组资料为例：设有以单向分组资料为例：设有k个独立样本，每个独立样本，每个样本有个样本有n个观察值。个观察值。总变异包括：组间变异和组内变异。总变异包括：组间变异和组内变异。总变异平方和用总变异平方和用SST表示表示
4、组间变异平方和用组间变异平方和用SSt表示表示组内变异平方和用组内变异平方和用SSe表示表示平方和计算：平方和计算：nSST =nSSt=nSSe=n SST = SSt+ SSe自由度计算：自由度计算：u总自由度用总自由度用dfT表示：表示： dfT=nk-1u组间自由度用组间自由度用dft表示：表示： dft=k-1u组内自由度用组内自由度用dfe表示：表示： dfe=k(n-1)u 总自由度总自由度=组间自由度组间自由度+组内自由度组内自由度方差的计算：方差的计算：nS2t=nS2e= 三、三、F分布与分布与F检验：检验：n方差分析是对方差分析是对多个样本平均数多个样本平均数一次进行一次
5、进行显著性检验的方法。检验的指标是显著性检验的方法。检验的指标是F值值，方差分析简称方差分析简称F测定。测定。 F值又叫方差比或值又叫方差比或变量比例，方差分析也叫变量分析。变量比例，方差分析也叫变量分析。F检验步骤：检验步骤：、提出假设、提出假设HO： 1=2=-k=、计算统计量、计算统计量F: F= S21 / S22 、据、据v1 、v2查查F表得到表得到F值，用值，用F与与F 比较，比较， 如果：如果：F F则接受则接受HO F F则否定则否定HO单向分组资料方差分析表单向分组资料方差分析表SSTnk-1总变异s2eSSek(n-1)组内变异s2t/s2es2tSStk-1组间变异FF
6、值方差平方和自由度变异来源例：某地进行玉米氮肥品种比较试验，氮肥品种分别为尿素、硫铵、碳铵、硝铵。重复5次，完全随机排列。玉米产量见下表，试进行方差分析。处 理 观 察 值总和Ti.平均 1 2 3 4 5A1A2A3A4 319 279 318 284 359 248 257 268 279 262 221 236 273 249 258 270 308 290 245 286 1159131412371399311.8262.8247.4279.8 总和T.j 5509平均275.45解：解：1、提出假设、提出假设H0： 1= 2= 4= 2、平方和与自由度的计算：、平方和与自由度的计算：
7、3、F检验：检验：变异来源dfSSS2FF0.05F0.01肥料品种311435.353811.7837.1323.245.29误差168551.6534.475总变异1919986.95四、多重比较：四、多重比较：（multiple comparisons)、最小显著差数（、最小显著差数（LSD）法）法:n最小显著差数法最小显著差数法(Least significant difference)简称称LSD法。它是在一定概率法。它是在一定概率(1-)保证下，确保证下，确定一个达到显著的最小差数尺度定一个达到显著的最小差数尺度LSD，用以，用以检验平均数平均数间差数的差数的显著性。著性。凡平均数
8、凡平均数间差数大差数大于于LSD，即，即为水平上水平上显显著；反之，在著；反之，在水平水平上不上不显显著。著。最小显著差数（最小显著差数（LSD）法）法,就是就是t检验法。检验法。ee上例题资料中平均数差数的标准误为：上例题资料中平均数差数的标准误为：四种肥料玉米产量差异显著性（梯形法）四种肥料玉米产量差异显著性（梯形法）肥料平均数（xi）差异显著性xi-247.4xi-262.8xi-279.8A1A4A2A3311.8279.8262.8247.464.432.415.449.017.032.0四种肥料玉米产量差异显著性（字母标记法）四种肥料玉米产量差异显著性（字母标记法） 肥料平均数差
9、异 显 著 性 =0.05 =0.01A1A4A2A3311.8279.8262.8247.4 a A b AB bc B c B、最小显著极差（、最小显著极差（ LSR ）法：）法：nSSR（Shortest significant ranges）法是1955年D.B.Duncan提出的，它是依平均数秩次距秩次距(M或p)的不同而采用不同的显著临界值。这些显著临界值称最小显著极差，记做LSRnLSRn式中式中SSR是根据是根据dfe和和M（或（或p）查）查SSR表得到的。表得到的。M（或（或p）是两个相比较的平均数的极差所包含的平均数的个数是两个相比较的平均数的极差所包含的平均数的个数(1)
10、、新复极差法新复极差法(SSR)法：法：nn对上例题的各组平均值作新复极差检验：对上例题的各组平均值作新复极差检验：，四种肥料玉米产量LSR值（SSR检验）P234SSR0.05SSR0.01LSR0.05LSR0.013.004.1331.0242.703.144.3132. 4744.573.244.4233.5045.70四种肥料玉米产量差异显著性（四种肥料玉米产量差异显著性（SSR法）法） 肥料平均数差 异 显 著 性 =0.05 =0.01A1A4A2A3311.8279.8262.8247.4 a A b AB b B b B（）、（）、q检验法：检验法：u q检验法也称为检验法也
11、称为Student-Newman-Keuls(SNK)检验，是检验，是 以统计量以统计量q的概率分布为基础的。的概率分布为基础的。nn对前面例题进行对前面例题进行q检验：检验：四种肥料玉米产量LSR值（q检验）P234q0.05q0.01LSR0.05LSR0.013.004.1331.0242.703.654.7837.7449.434.055.1941.8853.66四种肥料玉米产量差异显著性（四种肥料玉米产量差异显著性（q法）法）肥料平均数差 异 显 著 性 =0.05 =0.01A1A4A2A3311.8279.8262.8247.4 a A b AB b AB b B、Tukey固定
12、极差固定极差（Fixed range）法法:n该法是该法是J.W.Tukey在在1952年提出的一种多重比较方年提出的一种多重比较方法。简称法。简称T法，又叫固定极差的法，又叫固定极差的q检验法。它是在检验法。它是在k个平均数的所有可能比较中，都以一个固定极差个平均数的所有可能比较中，都以一个固定极差（FR）为检验尺度。尺度。n式中式中q是根据是根据dfe和和k查查q表得到的。表得到的。dfe对前面例题进行固定极差检验：对前面例题进行固定极差检验：n根据dfe和k查q表得到 q0.05（4 ，16 ）=4.05, q0.01（4 ，16 ）=5.19 。n计算出相应的固定极差FR=q 即： F
13、R0.05=4.0510.34=41.88 FR0.01=5.0910.34=53.66n用平均数差数与FR进行比较，结果见下表。四种肥料玉米产量差异显著性（四种肥料玉米产量差异显著性（T法）法） 肥料平均数差 异 显 著 性 =0.05 =0.01A1A4A2A3311.8279.8262.8247.4 a A ab AB b AB b B多重比较方法的选择：多重比较方法的选择：u不同方法检验的尺度不同：当 k=2 时，LSD法、SSR法和q法的显著尺度是相同的。当k3时， LSD法、SSR法和q法的显著尺度是不相同的， LSD法最低， SSR法次之，q检验法最高。u实际工作中，对于精度要求
14、高的试验应用q检验法，一般试验用SSR法，试验中各个处理平均数皆与对照相比的试验结果可用LSD法。多重比较结果的表示方法：多重比较结果的表示方法：u梯形表法：梯形表法：u具体方法：具体方法：1、先将处理按平均数从大到小排列。2、再依次计算各较大平均数与最小的、次小的直至与 其相邻的平均数的差数。3、最后，根据各差数是否大于LSD进行检验，如差数 LSD0.05，说明差异不显著；如差数 LSD0.05， 说明有显著差异，则在该差数上打 “”；如差数 LSD0.01，说明有极显著差异，则在该差数上打两个 “”。字母标记法：字母标记法：u就是对没有显著差异的平均数标以相同字母，对有显著差异的标以不同
15、字母。u具体方法：首先是将欲比较的平均数按大小次序排列。然后在最大的平均数上标上字母a(=0.05)或A(=0.01)；将该平均数与以下平均数逐个相比，凡差异不显著者都标以字母a或A，直至相差显著的平均数则标以字母b或B；再以标有b或B的平均数为标准，与其上方比它大的平均数逐个相比，凡相差不显著者一律标以字母b或B；再以标有b或B的最大平均数为标准，与其下方未标记字母的平均数相比，凡相差不显著者继续标以字母b或B，直至与之相差显著的平均数则标以字母c或C，再与上面的平均数比较。如此重复进行，直至最小的平均数有了标记字母并与上面的平均数比较后为止。划线法：划线法：练习：字母标记法，练习：字母标记法，LSD0.05=3.77处理平均数差异显著性（=0.05）NPKPKPNPNKKNO68.362.861.460.658.656.854.853.1综上所述，方差分析的基本步骤：综上所述，方差分析的基本步骤：、提出假设、提出假设Ho 2、平方和与自由度的计算、平方和与自由度的计算、进行、进行F检验检验、多重比较、多重比较、结论、结论
