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1、三角形内角和定理的证明教学设计三角形内角和定理的证明教学设计教学目标教学目标1、掌握”三角形内角和定理“的证明及其简单应用.2、通过一题多解，一题多变等，初步体会思维的多向性.教学重点：教学重点：三角形内角和定理的证明.教学难教学难点：点：三角形内角和定理的证明方法.教学过程教学过程一、动画情境，一、动画情境，引入新课引入新课上学期，我们学习了三角形内角和定理，请问内容是什么？生：三角形的三个内角的和等于180.问：180你联想到了什么？生：平角 180；平行线形成的同旁内角的和是180.请同学们认真观察这个动画：Flash 动画截图：二、讲授新课二、讲授新课1 1、创设情境、创设情境把动画进
2、行二次再现：问：从这个动画当中，你发现了什么？你受到了什么启示？生：观察动画，我们有如下启示：1、可以利用平行线实现角的“移动”.2、借助三角形的顶点 “移动”角,可以少“移动”一个角.2 2、合作探究、合作探究问：动画中是如何利用平行线实现角的移动的？生：借助顶点 C，利用平行线实现角的“移动”： 两直线平行，内错角相等.同位角相等.问：从动画的启示得知：要证明定理，我们必须做辅助线，这里我们如何做辅助线呢？生：作 BC 延长线 CD ，过点 C 作射线 CEBA. （学生演示）注意：1、这里的 CD，CE 称为辅助线，通常辅助线画成虚线.2、所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时
3、首先叙述出来.请同学们把根据动画启示得到的方法的证明过程写下来。（一生板演）已知：如图，ABC.求证：A +B +C=180证明：作 B C 延长线 CD。过点 C 作射线 CEB A则 ACE=A两直线平行，内错角相等DCE =B 两直线平行，同位角相等 BCA +ACE +ECD =180平角定义 BCA +A +B = 180等量代换问：添加辅助线有什么目的？生：1、利用平行线实现角的“移动”.2、构造平角或同旁内角.问：还有其他证明方法吗？请把你们预习成果在小组内交流.（3 分钟后）各个小组组长互相交流每个小组汇总的方法，每人证明一种，尽量不重复，板演在后面黑板上.已知：如图，A B
4、C.求证：A +B +C=180多种添加辅助线的证明方法：（学生尽可能的寻找多种方法）方法二：把三个角“凑”到A 处,他过点 A 作直线 PQBC.证明:过点 A 作 PQBC,则1=B(两直线平行,内错角相等),2=C(两直线平行,内错角相等),又1+2+3=1800 (平角的定义), BAC+B+C=1800 (等量代换).注意：所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.方法三：证明：过 A 作 AEBC，B=BAE(两直线平行,内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线平行,同旁内角互补)B+C+BAC=180(等量代换)方法四：证明：过点 P 作 PQ AC 交
5、 AB 于 Q 点，作 PR AB 交 AC 于 R 点。 PQ AC PRC= A （两直线平行，同位角相等） PR AB QPR= A （两直线平行，内错角相等） RPC= B（两直线平行，同位角相等） QPB= C（两直线平行，同位角相等） QPB+ QPR + RPC=180 （1 平角=180 ） A+ B+ C=180 （等量代换）方法五：过 A 点作射线 AD，过点作 BE AD，过 C 点作 CFAD则 BE CF（平行与同一条直线的两直线平行） 1= 2， 3= 4EBC+ FCB=180 （两直线平行，同旁内角互补）即1+ ABC+ ACB+4= 180 又 BAC= 2+
6、 3 BAC + ABC + ACB= 180 （等量代换）方法六：在ABC 内任找一点 O，连接 AO、BO 、CO，即把ABC 分成三个三 角形，即AOB、 AOC、 BOC， 由于每个三角形的内角和相等， 故可得等量关系AOB、 AOC 、BOC 三个的内角和减去360 就是ABC 的内角和。解：设ABC 的内角和 为 X， 于是有方程3X 360 =X解得 X=180 即三角形的内角和为 180 3、用运动变化的观点看数学前面大家用这么多方法证明了定理，接下来我们要用运动变化的观点来认识和理解定理：请同学们观察：用橡皮筋构成ABC,其中顶点 B、C 为定点，A 为动点，放松橡皮筋后，点
7、A 自动收缩于 BC 上，请同学们考察点A 变化时所形成的一系列的三角形其内角会产生怎样的变化呢？（教师演示，讲解，接下来学生动手体验验证）结论：当点 A 远离 BC 时，A 越来越趋近于 0，而 AB 与 AC 逐渐趋向平行，这时，B、C 逐渐接近为互补的同旁内角，即B+C接近于 180。用运动变化的观点理解和认识数学:在ABC 中,如果 BC 不动,把点 A“压”向 BC,那么当点 A 越来越接近 BC 时, A 就越来越大(越来越接近 180),而B 和 C,越来越小(越来越接近 0).由此你能想到什么?如果 BC 不动,把点 A“拉离”BC,那么当 A 越来越远离 BC 时,A 就越来
8、越小(越来越接近 0),而B 和C 则越来越大,它们的和越来越接近180, 当把点 A 拉到无穷远时,便有 ABAC,B 和C 成为同旁内角,它们的和等于 180.由此你能想到什么?4、利用几何画板验证定理橡皮筋的验证，每个角度不够准确，老师要借助几何画板软件来科学的、准确的验证定理，请同学们观察：（教师拖动定点，让学生观察角的变化和三角形三个角和的变化）问：角的度数怎么变化的？三个角的和变化了吗？请同学们得出结论：三角形的三个内角的和是180.5、典例分析学生展示交流预习成果（例1、例 2、例 3），质疑、纠正错误，典型错误通过投影仪全班交流.例 1如图，在ABC 中，已知ABC 38，AC
9、B 62 ，AD 平分BAC，求ADB的度数。证明：在ABC 中, B+C+BAC=180 ABC 38 ，ACB 62BAC= 80 AD 平分BACBAD=CAD= BAC=40在ADB 中， B+BAD+ADB=180 B 38 ，BAD 40ADB=102例 2、证明：直角三角形的两锐角互余。已知：在ABC 中，C 90求证：AB90 证明：在ABC 中A+B+C=180(三角形内角和定理）C= 90（已知）A+B+90=180（等量代换）A+B=18090= 90（等式性质）即A+B=90结论: 直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.例 3、已知:如图在ABC 中，DEBC,A
10、=60, C=70.求证： ADE=50证明： DE BC （已知） AED= C（两直线平行，同位角相等） C=700（已知） AED= 70 （等量代换） A+ AED+ ADE=180（三角形的内角和定理） A=60（已知） ADE=1806070=50（等量代换）即 ADE= 504、糖果竞赛1如果三角形的三个内角都相等，那么每一个角的度数等于_2在ABC 中，若A=40,B=C，则B=_3在ABC 中，若C=90,A=25，则B=_4在ABC 中，若ABC=123，则C=_5ABC 中，若A=30，B=2C，则C=_6ABC 中，B=40，C=60，AD 是A 的平分线，则DAC 的
11、度数为_7在ABC 中，已知A+C=2B，则B 的度数是_8ABC 中，若BAC，则ABC 是_三角形9ABC 中，C=90，CDAB，B=63，则DCA=_10如图，在ABC 中，DEAB 于 E，B=50，CFD=60，则ACB=_ E AF B C D11已知：如图，ABCD，ADBC，1=50，2=80求C 的度数 D2 C A1 B12如图，已知ABC 中，B65，C45，AD 是 BC 边上的高，AE 是BAC 的平分线，求DAE 的度数5、课堂小结这堂课，我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起， 拼成一个平
12、角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁，今后我们还要学习它.三角形内角和定理： 三角形三个内角的和等于180.表达式： ABC 中,A+B+C=180.A+B+C=180的几种变形:A=180 (B+C).B=180 (A+C).C=180 (A+B).A+B=180-C.B+C=180-A.A+C=180-B.6、课后思考请同学们课后思考，注意有两种方法.如图，已知AMN+MNF+NFC=360，求证：ABCD（用两种方法证明）7、结束寄语由“因”导“果”,执“果”索“因”.是探索证明思路的基本方法.8、作业布置： 课本习题第 1、2 题（必做）第 3 题（选做）4 题（延伸）.教学反思 ：
13、在教学中采用小组讨论、小组竞赛、板演等形式，充分调动学生的主动性、积极性。特别是由动画得出“三角形内角和是180”的结论的过程中， 教师鼓励学生尝试用多种方法来证明这个结论，开展“糖果竞赛”，让学生积极思考，大胆发言，营造生动有趣、活泼和谐的课堂气氛。课堂教学充分发挥课件辅助教学的作用，将知识形象化、生动化、具体化。重视数学思想方法的引导，并及时指导归纳总结。尊重学生的个体差异，鼓励学生合作交流，激发学生学习数学的兴趣。重视培养学生观察问题、发现问题、思考问题、归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使不同程度的学生都有不同的收获和发展。为了突出重点、突破难点，我对教材做了少量的补充和扩
14、展，利用多媒体直观形象、节省时间的特点，动画演示再现学生拼图过程、解题过程，引导学生从动态角度直观地思考问题，帮助学生理解运动变化的观点。学情分析学情分析（1）学生的年龄特点和认知特点：七年级学生，思维活跃，求知欲强，有了一定的数学学习能力，用教师引导下的自主探索的教学方式，给他们充分的时间、空间，不仅使他们学会动脑思考，动手实践，体会思维的多向性， 而且还使他们感受学习过程中与他人合作的必要性，体会成功的喜悦。（2）学生对即将学习的内容的知识关联区：上学期学生用撕纸和简单说理证明了三角形的内角和是 180，而本节课是让学生初步感受当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已
15、知与未知间的桥梁， 把问题转化为自己已经会解决的情况，体会转化思想是数学学习的重要思想。 辅助线的作法是学生在几何证明过程中常用的方法， 而辅助线的添法没有统一的规律，所以添加辅助线找到多种证明方法是本节课的难点。（3）初二（ 1）班学生思维活跃，学习基础较好，大部分学生能够在教师的引导下完成学习任务。学生表现欲不强，课堂气氛略显沉闷。 在本节课教学中，要充分调动学生的积极性，充分激发学生思维冲突，使学生能够充分投入地进行合作探究。效果分析效果分析在教学中采用小组讨论、糖果竞赛、板演等形式，充分调动学生的主动性、积极性。特别是由动画得出“三角形内角和是 180”的结论的过程中， 鼓励学生尝试用
16、多种方法来证明这个结论， 开展小组竞赛， 让学生积极思考， 大胆发言， 营造生动有趣、 活泼和谐的课堂气氛。课堂教学充分发挥课件辅助教学的作用， 将知识形象化、生动化、具体化。重视数学思想方法的引导，并及时指导归纳总结。尊重学生的个体差异， 鼓励学生合作交流，激发学生学习数学的兴趣。重视培养学生观察问题、发现问题、思考问题、 归纳问题的能力和一题多解，一题多法的创新能力，使不同程度的学生都有不同的收获和发展。为了突出重点、突破难点，我对教材做了少量的补充和扩展， 利用多媒体直观形象、节省时间的特点，动画演示再现学生拼图过程， 引导学生从动态角度直观地思考问题， 帮助学生理解运动变化的观点。教材
17、分析教材分析本节课是鲁教版数学七年级下册第八章第六节的内容。 三角形的内角和定理是从 “数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的， 这个定理是任意三角形的一个重要性质， 它是学习以后知识的基础， 并且是计算角的度数的方法之一。 在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。 其中辅助线的作法、把新知识转化为旧知识、 用代数方法解决几何问题， 为以后的学习打下良好的基础， 三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。（1）课标要求：使学生理解三角形的边角位置关系，运用三角形的内角和定理计算有关角度的问题。（2）地位与作用：本课时主要探究、证明和运用三角形内角和定理。为探究多边形内角
18、和提供了基础，同时，通过对内角和定理得证明，训练学生的推理证明能力。为四边形、圆的学习作铺垫。（3）新旧知识联系与对比：小学阶段学生已经对三角形内角和180 度有了感性的识记认识。中学阶段七年级上册再一次认识并证明了三角形内角和定理。 在此基础上，使学生能够通过亲身探究，多方法推理证明，得出三角形内角和定理并实现对定理的灵活运用。评测练习评测练习课标要求：探索并证明三角形的内角和定理知识点：1、会证明三角形内角和定理。2、会利用辅助线证明几何题3、会应用三角形内角和定理进行变形练习A A 层（夯实基础）层（夯实基础）1.如图所示,BCAD,垂足是 C,B=D,则AED 与BED 的关系是( )
19、A.AEDBEDBEB.AEDBED；C.AED=BEDAD.无法确定CD2.关于三角形内角的叙述错误的是( )A.三角形三个内角的和是180；B.三角形两个内角的和一定大于60C.三角形中至少有一个角不小于60；D.一个三角形中最大的角所对的边最长3.下列叙述正确的是( )A.钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和；B.三角形两个内角的和一定大于第三个内角；C.三角形中至少有两个锐角；D.三角形中至少有一个锐角.4.ABC 中,A+B=120,C=A,则ABC 是( )A.钝角三角形 B.等腰直角三角形； C.直角三角形 D.等边三角形AB B 层（强化训练）层（强化训练）BDC1.在AB
20、C 中,A:B:C=1:2:3,则ABC 是_三角形.2.在ABC 中,A=B= 1 10 C,则C=_.3.在ABC 中,A+B=120,A-B+C=120,则A=_,B=_.4.如图,在ABC 中,BAC=90,ADBC 于 D,则B=_,C=_.C C 层（创新应用）层（创新应用）1. 如图,一块梯形玻璃的下底及两腰的一部分被摔碎 ,量得A=120,D=105,你能否求出两腰的夹角P 的度数._.PBCAD2. 小明在证明“三角形内角和等于 180”时用了如图所示的辅助线的方法,即延长 BC 到D,延长 AC 到 E,过点 C 作 CFAB,你能接着他的辅助线的做法证明出来吗?DBCEA
21、F3.请你利用“三角形内角和定理”证明“四边形的内角和等于360”.四边形 ABCD 如图所示.课后反思课后反思AD本套教材对几何内容的择取更加以人为本，更贴近学生生活现实，处理手法上更新颖，给老师和学生更大的活动空间，增进了学生对数学的理解，激发了他们的创造力。在教学过程中，我营造了宽松的学习氛围， 通过多媒体课件演示， 信息技术与数学学科BC整合，让学生参与到学习过程中去，自主探索，大胆发表自己的观点， 让学生在自主探索中获得了不断地发展。在本节课中，学生虽然积极思考，认真探讨， 互相帮助，但是学生的展示能力还有待进一步提高。在今后的教学中，要 培养学生形成流畅的思维方式、变通的思维模式和独创的思维特性，必须在情感领域对学生多加以启迪和引 导，充分调动、运用和激励学生的好奇心、冒险心、挑战心和想象力。课标分析课标分析（1）新课标倡导“让学生体验知识的产生与发展过程，在自主建构知识的过程中形成解决问题的方法。”用橡皮筋体验、几何画板验证，都充分体现了让学生动起来，着意培养学生的动手能力和观察能力。（2）培养学生的推理能力，要注意层次性和差异性。以三角形内角和定理为例，小学时学生通过观察、 实验得到了结论。 六年级时学生又通过“拼”“折”“画”等感知了三角形内角和为 180 的结论，完成了第一、二学段的学习。而到了第三学段，七年级学生需要运用演绎推理的方式加以证明。0
