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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2 连续函数的性质 在本节中,我们将介绍连续函数的局一、连续函数的局部性质四、一致连续性三、反函数的连续性二、闭区间上连续函数的性质这些性质是具有分析修养的重要标志.部性质与整体性质.熟练地掌握和运用返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、连续函数的局部性质所谓连续函数局部性质就是指所谓连续函数局部性质就是指: :连续连续( (左连续或右连续左连续或右连续),),则可推知则可推知 f 在点在点 x0 的某的某 号性、四则运算的保连续性等性质号性、四则运算的保连续性等性质. 个局部邻域个局部邻域(左邻域或右邻域左邻域或右
2、邻域)内具有有界性、保内具有有界性、保返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页故故| f (x) | 的一个明确的上界的一个明确的上界. .证证注意注意: :我们在证明有界性时我们在证明有界性时, ,而不是用术语而不是用术语定理定理4.2（局部有界性）（局部有界性）则则返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页定理定理4.3（局部保号性）局部保号性）则对任意一个满足则对任意一个满足证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注注 在具体应用保号性时在具体应用保号性时, ,我们经常取我们经常取 于是证得于是证得定理定理4.4（连续函数的四则运算）（连续函数的四则运算） 返回
3、返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得此定理的证明可以直接从函数极限的四则运算得也是连续函数也是连续函数. .我们知道我们知道, ,常函数常函数 与线性函数与线性函数 都是都是 R 上上 到到, 具体过程请读者自行给出具体过程请读者自行给出.的连续函数的连续函数, 故由四则运算性质故由四则运算性质, 易知多项式函数易知多项式函数 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页同理同理, ,有理函数有理函数( (分母不为零分母不为零) )同样是连续函数同样是连续函数. .下面这个定理刻划了连续这个性质在复合运算下下面这个定理刻划了连续这个性质在复
4、合运算下定理定理4.5是不变的是不变的.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 于是于是返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 对这个定理我们再作一些讨论对这个定理我们再作一些讨论, ,以加深大家对该定以加深大家对该定请大家仔细观察定理请大家仔细观察定理4.5 的证明的证明, 看看此时究竟哪看看此时究竟哪理的认识理的认识. .里通不过里通不过.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页应用定理应用定理4.5, ,就得到所就得到所(*)(*)式相应的结论仍旧是成立的式相应的结论仍旧是成立的. .则有则有改为改为 需要的结论需要的结论. .事实上事实上, ,只要补充定
5、义只要补充定义（或者重新定义）或者重新定义）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上述上述(1)和和(2)究竟有什么本质的区别呢究竟有什么本质的区别呢? ? 请读者请读者作作例例1解解合，所以合，所以出进一步的讨论出进一步的讨论. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例2解解例例3解解所以所以返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 均有均有使得对一切使得对一切存在存在,0DxDx 在本节中将研究在本节中将研究 f 在在二、闭区间上连续函数的性质定义定义1若若点点, ,返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页的最大值不存在的最大值不存在, ,最小值为零
6、最小值为零. .注意注意: :既无最大值既无最大值, ,又无最小值又无最小值. .定理定理4.6（最大、最小值定理）（最大、最小值定理） 例如例如, ,符号函数符号函数的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;的最大值为的最大值为1,1,最小值为最小值为-1;-1;函数函数(其上确界为其上确界为1, 下确界为下确界为- -1 )这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的这个定理刻画了闭区间上连续函数的一个深刻的返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页推论推论这是因为由定理这是因为由定理4.6 可知可知, ,值值, , 从而有上界与下界从而有上界与下界, ,于是于是 f (
7、x) 在在a, b 上上是是有有虽然也是连续函数虽然也是连续函数, ,但是但是内涵内涵, ,在今后的学习中有很广泛的应用在今后的学习中有很广泛的应用. .界的界的. .返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性这说明定义在开区间和闭区间上的连续函数的性定理定理4.7（介值性定理）（介值性定理）上连续上连续, ,则则( (至少至少) )存在一点存在一点质有着根本的区别质有着根本的区别.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页从从几何上看几何上看, ,当连续曲线当连续曲线 从水平直线从水平直线的一侧穿到另一侧时的一侧穿到另一侧时, 两者至少有
8、一个交点两者至少有一个交点.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 推论推论（根的存在性定理）根的存在性定理）应当注意应当注意, 此推论与定理此推论与定理4.7是等价的是等价的. 于是于是, 只要只要则至少存在一点则至少存在一点使使下面用确界定理来证明上述推论下面用确界定理来证明上述推论, 大家要注意学习大家要注意学习证明了推论证明了推论, 也就完成了定理也就完成了定理4.7 证明证明.确界定理的使用方法确界定理的使用方法.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页(E为图中为图中x 轴上的红轴上的红 证证 不妨设不妨设 并设并设零点零点. 证明如下：证明如下：的最大值就是函数
9、的的最大值就是函数的线部分线部分)从几何上看从几何上看, E返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页因为因为所以所以又又 E 是有界的是有界的, 故由确故由确我们来否定下面两种情形我们来否定下面两种情形:1.由由 f (x)在点在点 是是连续的连续的, 根据保号性根据保号性, 存在存在界定理界定理, 存在，显然存在，显然返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2. 同样根据保号性同样根据保号性, , 同时由同时由 x0 = = sup E , 对上述对上述d d , , 存在存在 排除了上面两种情形后排除了上面两种情形后, 就推得就推得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前
10、页前页由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下由介值性定理与最大、最小值定理立刻得到如下下面再举一些应用介值性定理的例题下面再举一些应用介值性定理的例题.设设 在在 上连续上连续, 那么它的最大值那么它的最大值 M 与最与最结论结论:小值小值 m 存在存在, 并且并且返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 先证存在性：先证存在性：由由极限的保号极限的保号使使使得使得(读作读作 r 的的 n 次算术根次算术根).例例3则存在唯一的正数则存在唯一的正数连续，连续，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页我们只需证明我们只需证明严格递增严格递增即可即可. 事实上，事实上， 即
11、即例例4 求证求证: :再证再证唯一性唯一性:返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证即即返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页任意的实数任意的实数 r, f (x)= r 至多有有限个解至多有有限个解. 证明：证明：证证与与的解的解至多为有限个至多为有限个. 例例5 设设 在区间在区间内满足介值性内满足介值性,并且对于并且对于 在在 内连续内连续.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页1.由由介值性条件不难证明：介值性条件不难证明：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页即即2. 如果解为空集如果解为空集, 任意取任意取返回返回返回返回后页后页后页后页
12、前页前页前页前页证证 不妨设不妨设 f (x) 严格增严格增, 那么那么 就是反就是反上连续上连续, 且与且与 f (x) 有相同的单调性有相同的单调性.定理定理4.8 若函数若函数 f (x) 在在上严格单调且连续上严格单调且连续,则反函数则反函数三、反函数的连续性函数的定义域函数的定义域.1. (证明见定证明见定理理1.2 ).返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页2. (如图所示如图所示)每一每一对应对应任给任给取取对应对应返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页请请读者类似地证明该函数在端点的连续性读者类似地证明该函数在端点的连续性.这就说明了这就说明了上连续上连续.
13、对于任意的正数对于任意的正数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页且严格增且严格增. 关于其它的反三角函数关于其它的反三角函数均可得到在定义域内连续的结论均可得到在定义域内连续的结论.例例6 因此它的反函数因此它的反函数上也是连续上也是连续严格增严格增.例例7连续且严连续且严在上亦为连续且在上亦为连续且格增格增, 那么其反函数那么其反函数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要在本节中，我们将介绍一致连续性这个及其重要只要就有只要就有 四、一致连续性任意的正数任意的正数, 使得对任意使得对任意,存在存在定义定义2. 设设 为定义在区间
14、为定义在区间I上的函数上的函数, 如果对于如果对于则称则称 在区间在区间I上一致连续上一致连续.的概念的概念.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页首先来看两个例题首先来看两个例题.例例8 8 证证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 首先我们根据一致连续的定义来叙述首先我们根据一致连续的定义来叙述 f (x) 在在区区例例9 9 但仍有但仍有确实不是一致确实不是一致连续的连续的.总有总有间间I上不一致连续的定义：上不一致连续的定义：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页试问试问, 函数函数 在区间在区间I上一致连续与上一致连续与 在区在区间间I上连续的区别
15、究竟在哪里？上连续的区别究竟在哪里？返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页仅与仅与有关有关. 对于任意正数对于任意正数 , 所得所得答答:(1) 首先首先, 对于对于如果如果 在区间在区间 I上连续，上连续，那么那么, 不仅与不仅与 有关有关, 而且还与所讨论的点而且还与所讨论的点而而 在区间在区间I上一致上一致连续连续. 那么那么在例在例8中中显然显然关关.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 过程中有一个正下界过程中有一个正下界(当然当然(2) 函数函数 f (x) 在每一点在每一点 连续连续,下述定理是连续函数在闭区间上的又一整体性质下述定理是连续函数在闭区间上的又
16、一整体性质.区间区间I上就一致连续了上就一致连续了.这个下界只与这个下界只与 有关有关, 而与而与x0无关无关), 则此时则此时 f (x)在在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页上上连续连续, 则则上上一致连续一致连续. 这个定理告诉我们这个定理告诉我们: 定义在闭区间上的函数定义在闭区间上的函数, 连连例例10 设区间设区间的右端点为的右端点为, 区间区间的左端的左端定理定理4.9（一致连续性定理）（一致连续性定理）若函数若函数 f 在闭区间在闭区间上上一致连续一致连续,在在区间区间上也上也一致连续一致连续. 证明：若证明：若分别在分别在点也点也为为续和一致连续是等价的续和一致
17、连续是等价的. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页连续，所以分别存在连续，所以分别存在 使得使得 当当当当则则对于任意的对于任意的证证 对任意的对任意的因为因为在在上上一致一致此时自然有此时自然有有以下两种情形：有以下两种情形：返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页注意到注意到可得可得综上，证得综上，证得在在区间区间上一致连续上一致连续. 注注 例例10的条件的条件 是是重要的重要的. 比如比如返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页在在区间区间与与区间区间 上分别一致连续上分别一致连续, 但在但在区间区间 1, 3 上上不不连续连续, 当然也不一致连续当然也不一致连续. 返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例11 设设上上连续连续, 并且并且证明证明上上一致连续一致连续.证证 因为因为, 所以对任意的正数所以对任意的正数存在存在又又上上连续连续, 故由定理故由定理4.9可知可知 f (x) 上上一致连续一致连续. 因此对上述因此对上述 ，存在正数存在正数使对使对任意任意返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页只要只要, 必必有有现对现对任何任何讨论如下讨论如下.情形情形2. 注意到注意到所以若情形所以若情形1 不成立不成立, 必然有必然有返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页于是于是
