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1、第二十三章第二十三章 解直角三角形解直角三角形23.1 23.1 锐角的三角函数锐角的三角函数第第1 1课时课时 锐角的三角函锐角的三角函 数数正切正切1课堂讲解正切函数的定义、正切函数的定义、正切函数的应用、正切函数的应用、坡度和坡角坡度和坡角2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标汽车免不了爬坡，爬坡能力是衡量汽车性能的重要指标之一之一. .汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能爬汽车的爬坡能力是指汽车在通常情况下满载时所能爬越的最大坡度越的最大坡度. .怎样描述坡面的坡度（倾斜程度）呢？怎样描述坡面的坡度（倾斜
2、程度）呢？（来自教材）（来自教材）1知识点正切函数的定义正切函数的定义知知1 1导导在下图中，有两个直角三角形，直角边在下图中，有两个直角三角形，直角边AC与与A1C1表示水平面，表示水平面，斜边斜边AB与与A1B1分别表示两个不同的坡面，坡面分别表示两个不同的坡面，坡面AB和和A1B1哪哪个更陡？你是怎样判断的？个更陡？你是怎样判断的？知知1 1导导类似地，在下图中，坡面类似地，在下图中，坡面AB和和A1B1哪个更陡？你又是哪个更陡？你又是怎样判断的？怎样判断的？知知1 1导导如图，在锐角如图，在锐角A的一边任取一点的一边任取一点B,过点过点B作另一边的垂线作另一边的垂线BC，垂足为，垂足为
3、C，得到，得到RtABC；再任取一点；再任取一点B1，过点过点B1作另一边的垂线作另一边的垂线B1C1，垂足，垂足为为C1，得到另一个，得到另一个RtAB1C1这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形这样，我们可以得到无数个直角三角形，这些直角三角形都相似都相似. .在这些直角三角形中，锐角在这些直角三角形中，锐角A的对边与邻边之比的对边与邻边之比 究竟有怎样的关系？究竟有怎样的关系？（来自教材）（来自教材）1.正切的定义：正切的定义：如图，在如图，在Rt ABC中，如果锐角中，如果锐角A确定，那么确定，那么 A的对边与邻边的比便随之确定，的对边与邻边的比便随之确定， 这个比叫做这个
4、比叫做 A的正切，的正切， 记作记作tan A， 即即tan A 要点精析：要点精析：(1)tan A表示锐角表示锐角A的正切，一般省略的正切，一般省略“ ”， 但当但当用三个字母表示角时，不能省略用三个字母表示角时，不能省略“ ”如如 tan ABC. (2)A的的范围与范围与tan A的范围：的范围： 0 A90；tan A0. (3)tan A随着随着 A的增大而增大，的增大而增大， A越接近越接近90，tan A 的值的值就增加得越快，就增加得越快，tan A可以等于任何一个正数可以等于任何一个正数 (4)正切值的大小由锐角的度数决定，与其在哪个直角三角形中正切值的大小由锐角的度数决定
5、，与其在哪个直角三角形中无关无关知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）知知1 1讲讲2. 拓展：拓展：根据正切的定义可得互余的两角的正切值的关系为：根据正切的定义可得互余的两角的正切值的关系为： 若若 A B90，则，则tan Atan B1. 如图，在如图，在Rt ABC中，中， C90，a，b，c分别为分别为 A， B， C的对边，则的对边，则tan A ，tan B ， tan Atan B 1.3. 易错警示：易错警示：正切是一个比值，不是一个角度，正切是一个比值，不是一个角度， 所以它没有单位所以它没有单位（来自（来自点拨点拨）【例【例1 1 】 如图，在如图，在Rt ABC中，中，C
6、90, 知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨），则则tan A_导引导引：由正切定义可知由正切定义可知tan A ，在本题已知两边之比，在本题已知两边之比 的情况下，可运用参数法，由的情况下，可运用参数法，由 ，可设，可设BC 15a，AB17a，从而可用勾股定理表示出第三边，从而可用勾股定理表示出第三边AC ，再用正切的定义求解得，再用正切的定义求解得tan A总结知知1 1讲讲（来自（来自点拨点拨）直角三角形中求锐角正切值的方法：直角三角形中求锐角正切值的方法：(1)(1)若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；若已知两直角边，直接利用正切的定义求解；(2)(2)若已知一直角边及斜边，另一直
7、角边未知，可先利用若已知一直角边及斜边，另一直角边未知，可先利用 勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解勾股定理求出未知的直角边，再利用正切的定义求解1 1 (2015(2015包头包头) )在在Rt ABC中，中， C90，若斜边，若斜边AB是直角边是直角边 BC的的3倍，则倍，则tan B的值是的值是()知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）在在ABC中，中，AC5，BC4，AB3，那么下列各式正确，那么下列各式正确的是的是()Atan A Btan ACtan B Dtan B2 2 知知1 1练练（来自（来自典中点典中点）3 3如图，在如图，在ABC中，中，C90，BC AC
8、1 3，则，则tan B的的值为值为()2知识点正切函数的应用正切函数的应用知知2 2讲讲【例【例2 2】 如图，在如图，在Rt ABC中，中， C90，BC9， tan A ， 求求AB的长的长 导引导引： 先根据先根据 A的正切值求出的正切值求出AC的长，再的长，再 利用勾股定理求利用勾股定理求AB的长的长 解：解： 在在Rt ABC中，中，tan A ，BC9， AC12. 根据勾股定理，得根据勾股定理，得AC2BC2AB2，即，即12292AB2， AB15.（来自（来自点拨点拨）总结知知2 2讲讲（来自（来自点拨点拨）由由定义法定义法，即根据正切的定义，列出锐角的正切与对边、邻边，即
9、根据正切的定义，列出锐角的正切与对边、邻边的关系式，将已知数据代入，可求得未知数据已知正切与对的关系式，将已知数据代入，可求得未知数据已知正切与对边可得到邻边；已知正切与邻边也可求得对边边可得到邻边；已知正切与邻边也可求得对边1(1)在在RtABC中，中，C90，BC3，tan A0.6，求求AC和和AB；(2)在在RtABC中，中，C90，a，b，c分别是分别是A，B，C的对边，的对边，c2，tan B ，求，求a，b的值的值及及ABC的面积和周长的面积和周长.知知2 2练练（来自（来自点拨点拨）2 2 (2015(2015山西山西) )如图，在网格中，小正方形的边长均为如图，在网格中，小正
10、方形的边长均为1 1，点，点A， B，C都在格点上，则都在格点上，则ABC的正切值是的正切值是( () ) 知知2 2练练（来自典中点）（来自典中点）知知2 2练练（来自典中点）（来自典中点）3 3如图，如图，P是边是边OA上一点，且点上一点，且点P的坐标为的坐标为(3，4)，则，则tan 的的值为值为()知知3 3讲讲3知识点坡度和坡角坡度和坡角 1 1定义：定义：如图，坡面的铅直高度如图，坡面的铅直高度h与水平与水平 长度长度l的比叫做坡面的坡度的比叫做坡面的坡度(或坡比或坡比)， 记作记作i，即，即i2 2坡面与水平面的夹角叫做坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角(或称倾斜角或称倾斜角)，记，
11、记 作作，于是有，于是有itan （来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲3. 拓展：拓展：(1)(1)坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大，坡度等于坡角的正切值，所以坡角越大， 坡度越大，坡面越陡坡度越大，坡面越陡 (2) (2)坡度一般写成坡度一般写成1 m的形式，比的前项是的形式，比的前项是1，后项可，后项可 以是小数或带根号的数以是小数或带根号的数4. 易错警示：易错警示：坡角和坡度是两个不同的概念：坡角是坡角和坡度是两个不同的概念：坡角是 斜坡与水平面的夹角，是个角度；坡度是坡角的正斜坡与水平面的夹角，是个角度；坡度是坡角的正 切值，是个比值，没有单位切值，是个比值，没有单位（来自（来自点
12、拨点拨） 【例【例3 3】 如图是一座水库大坝横截面的一部分，若已知坝高如图是一座水库大坝横截面的一部分，若已知坝高h6 m， 迎水坡迎水坡AB10 m，斜坡的坡角为，斜坡的坡角为，则，则tan _（来自（来自点拨点拨）知知3 3讲讲导引：导引：如图，构造一个直角三角形，先借助如图，构造一个直角三角形，先借助 勾股定理求出迎水坡的水平距离，再勾股定理求出迎水坡的水平距离，再 求坡度过点求坡度过点A作作AC垂直于水平面，垂直于水平面， 交水平线于点交水平线于点C，在，在 RtABC中，中，AC6 m，AB10 m，由，由 勾股定理，得勾股定理，得BC ，所以，所以tan 总结知知3 3讲讲（来自
13、（来自点拨点拨）求解与坡度有关问题的方法：求解与坡度有关问题的方法：首先应作辅助线构造直角三角形首先应作辅助线构造直角三角形( (一般是过斜面的上一般是过斜面的上顶点作水平线的垂线顶点作水平线的垂线) )，如果铅直高度和水平宽度有，如果铅直高度和水平宽度有一边未知，通常用勾股定理先求出未知边，再利用坡一边未知，通常用勾股定理先求出未知边，再利用坡度公式度公式itan 来求解来求解1 1 计算图（一）、图（二）中坡面计算图（一）、图（二）中坡面AB和和A1 1B1 1的坡度的坡度. .知知3 3练练（来自教材）（来自教材）图（一）图（一）图（二）图（二）2 2 ( (中考中考怀化怀化) )如图，
14、小明爬一土坡，他从如图，小明爬一土坡，他从A处爬到处爬到B处所处所 走的直线距离走的直线距离AB4 m，此时，他离地面的高度为，此时，他离地面的高度为h2 m， 则这个土坡的坡角则这个土坡的坡角 A_知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）知知3 3练练（来自（来自典中点典中点）3 3如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中如图，铁路路基横断面为一个四边形，其中ADBC.若两斜坡的坡度均为若两斜坡的坡度均为i2 3，顶宽是，顶宽是3米，路基高是米，路基高是4米，则路基的下底宽是米，则路基的下底宽是()A7米米 B9米米 C12米米 D15米米正切函数的本质是：正切函数的本质是：在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，是在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，是角度的函数，当角度确定时，比值也唯一确定；角度的函数，当角度确定时，比值也唯一确定；正切值的大小与锐角的大小有关，与其所在的直角三正切值的大小与锐角的大小有关，与其所在的直角三角形角形边的大小无关边的大小无关必做：1.完成教材完成教材P114练习练习T2，T32.补充：补充：典中点典中点P92-P93T4，T7-T9，T12- T15必做：1.完成教材完成教材P114练习练习T2，T32.补充：补充：点拨点拨P165-P167举一反三举一反三T2-T5， 点拨点拨P173-P174T5，T6，T14
