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1、6.2L.Hospital法则法则 在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小在第三章中我们已经知道，当分子分母都是无穷小或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可或都是无穷大时，两个函数之比的极限可能存在也可能不存在，即使极限存在也不能用能不存在，即使极限存在也不能用“商的极限等于极商的极限等于极限的商限的商”这一运算法则。这种极限称为未定式这一运算法则。这种极限称为未定式 本节我们就利用本节我们就利用Cauchy中值定理来建立求未定式中值定理来建立求未定式极限的极限的L.Hospital法则，利用这一法则，可以直接求法则，利用这一法则，可以直接求这两种基本未定式的极限，也可间接求出这
2、两种基本未定式的极限，也可间接求出等其它类型的未定式的极限等其它类型的未定式的极限定义定义例如例如,定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有注注定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母定理的条件：分子分母都是无穷小；分子分母 都可导，且分母的导数不等于都可导，且分母的导数不等于0；导数之比的；导数之比的 极限存在或为极限存在或为定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的定理的结论：函数之比的极限等于导数之比的 极限极限
3、仍有类似的结论仍有类似的结论如：如：定理定理关于关于型的极限型的极限，有下述定理，有下述定理定理定理结论仍成立结论仍成立例例1 1解解例例2注注在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为在反复使用法则时，要时刻注意检查是否为未定式，若不是未定式，不可使用法则。未定式，若不是未定式，不可使用法则。例例3 3解解例例4 4解解例例5证明证明证证分两种情况分两种情况则连续使用则连续使用次法则，得次法则，得则连续使用则连续使用次法则，得次法则，得本例说明：本例说明：但它们趋于但它们趋于+的速度有快有慢的速度有快有慢由慢到快依次是：由慢到快依次是：对数函数、幂函数、对数函数、幂函数、指数函数指数函数这一点从
4、图上即可看出这一点从图上即可看出oxy例例6 6解解直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则直接应用法则比较麻烦，先变形，再用法则例例7分母分母1，分子振荡而没有极限，分子振荡而没有极限L.Hospital法则法则“失效失效”注注分子分母中出现分子分母中出现不可使用不可使用L.Hospital法则法则例例8 8解解注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，注意：洛必达法则是求未定式的一种有效方法，但与其它求极限方法但与其它求极限方法尤其是等价无穷小的代尤其是等价无穷小的代换换结合使用，可以简化运算过程，效果会更结合使用，可以简化运算过程，效果会更好，使用起来也更有效。好，使用起来也更有效。关键关
5、键: :通过适当的恒等变形通过适当的恒等变形将其它类型未定式化将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型为洛必达法则可解决的类型 .仍可使用仍可使用L.Hospital法则来求极限法则来求极限步骤步骤:即将其中之一个因子下放至分母就可转化为即将其中之一个因子下放至分母就可转化为例例9注意注意：对数因子不下放，要放在分子上：对数因子不下放，要放在分子上步骤步骤:例例1010解解步骤步骤:例例1111解解例例1212解解例例1313解解例例1414解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意：注意：洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件几点说明几点说明 L.Hospital法则只
6、是求未定式极限的一种有效方法则只是求未定式极限的一种有效方法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的法，是充分条件，当定理的条件满足时，所求的极限存在或为极限存在或为，当定理的条件不满足时，主要是，当定理的条件不满足时，主要是指（指（3）不成立，即导数之比的极限不易求出，或）不成立，即导数之比的极限不易求出，或不存在但不不存在但不，函数之比的极限未必不存在，此时，函数之比的极限未必不存在，此时L.Hospital法则：法则：“失效失效”不宜使用不宜使用L.Hospital法则法则L.Hospital法则只能对法则只能对这两种基本未定式这两种基本未定式才可直接应用，其它类型的未定式必须先转化才可
7、直接应用，其它类型的未定式必须先转化L.Hospital法则与等价无穷小的代换结合使用法则与等价无穷小的代换结合使用 效果会更好效果会更好使用使用L.Hospital法则前宜先行约去可约因子，特别法则前宜先行约去可约因子，特别 是极限不为是极限不为0的因子，宜将确定后的极限值提到极的因子，宜将确定后的极限值提到极 限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次限号外，以简化计算（这相当于提前使用了一次 乘积极限的运算法则）乘积极限的运算法则）可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以可考虑进行恒等变形或引入适当的变量代换，以 简化计算简化计算三、小结三、小结洛必达法则洛必达法则思考题思考题思考题解答思考题解答不一定不一定例例显然显然极限不存在极限不存在但但极限存在极限存在
