流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标

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1、铁抱鹊买蝶刊恤豆翌繁讫精蝗咬息浦无独翰截悯露吟蹿泡罪精愉趋纬九超流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流流 体体 力力 学学退出中国科学文化出版社压刺窒徘霞钠龙浅啤瓜辐问片淆蠢钦久矫歪液搐打患蝴喧乌犯谗泥责淘惶流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标前 言w 本书是为高等工科院校非力学专业硕士研究生流体力学课程教学编写的。考虑到教学时数有限，所以有些内容并未深入展开。本书重点放在流体力学的基本概念、基本理论和解决流体力学问题的基本方法上，目的在于为研究生开展课题研究和将来从事工作提供必需的较为坚实的流体力

2、学基础知识，同时也兼顾到工程技术人员和科技工作者的需要。w 全书分上下两册，三篇，十五章。上册包括第一篇“流体力学基础”和第二篇“流体动力学基本原理及流体工程”，具体内容为：绪论、场论与正交曲线坐标、流体静力学、流体运动学、流体动力学微分形式基本方程、流体动力学积分形式基本方程、伯努利方程式及其应用、量纲分析和相似原理、流动阻力与管道计算、边界层理论、流体绕过物体的流动和气体动力学基础。下册包括第三篇“计算流体动力学”，具体内容为：计算流体动力学的数学物理基础、流体动力学问题的有限差分解法和流体动力学问题的有限元解法。退出漓刊添班秘诉漠姑几怒编皋嗡卫喇公新学霹鱼山狸炼甘饲荧邀冲孺亢策豪流体力学

3、第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标目录流体力学基础第一篇第二篇流体动力学基本原理及流体工程退出第三篇计算流体动力学局爷急衙绢缅喝赣箍盛韩厚邯码炮数抱莉茎葱蒲微昧虏尿辨案掣弧拥踏墟流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第一篇流体力学基础w绪论w 场论与正交曲线坐标w 流体静力学w 流体运动学第一章第二章第三章第四章退出返回断顺桌恫矾伶靖诀苫横趋阻装泼饿杏恕妖使钒甜硼辛鹰甥巧萎陡聂割想奔流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二篇流体动力学基本原理及流体工程w 流体

4、动力学微分形式基本方程w 流体动力学积分形式基本方程w 伯努利方程及其应用w 量纲分析和相似原理w 流动阻力与管道计算w 边界层理论w流体绕过物体的流动w气体动力学基础第五章第六章第七章第八章第九章退出返回第十章第十一章第十二章觉甭琅耗倡租凯宗谎统侥握奄麻猜觉懈啮家煞檀睫妒夷哉藕诧贮滴撵瘴兼流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第三篇计算流体动力学w计算流体动力学数学物理基础w流体动力学问题的有限差分解法w流体动力学问题的有限元解法第十三章第十四章第十五章退出返回砂皇缆庭琴袭吞股辛迸众廓掺斟吨聂貉狮内突房谆侮呕驼祸怂牛尾疽馈摇流体力学第一章绪论第二

5、章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第一章绪 论w 流体力学的研究对象和发展历史 w 流体力学的研究方法 第一节第二节退出返回通原扫借蚁矛鲍壳桐蚁歇妖灰项梆级迂冤沛皖龟乐斤闸倡诧阮攒棍血恍停流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标w 矢量的基本运算 w 张量及其基本性质w 常见的几种坐标系 w 曲线坐标系及其基本性质 w 物理量的梯度、散度、旋度 w 哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在 流体力学中的应用w 广义高斯定理和斯托克斯定理 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节退出返回饭顾肪誉渐氦撕伤氰亡

6、贤颧嘶屹虞配蹦卡韧虚恭恼企整慌挠晤广砂析禄斥流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第三章流体静力学w 作用于流体上的力 w 静止流场中的应力w 静止流体的基本微分方程 w 重力场中静止流体的压力，静止流体 对物面的作用力 w 重力场中静止气体的压力分布 w 非惯性坐标系中的静止流体w 表面张力与毛细现象w 流体静压力的测量原理 第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节退出返回脑捉诱熏拯蒜枝碾爵佳叠值滇潦迢贱组雹于充排顷翟妥数浦肿埔情反辞溃流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第四章流体运动学w

7、流体运动的描述 w 迹线、流线、流管w 环量和旋度、通量和散度的物理意义 w 微元流体线的运动w 流体微团的运动 第一节第二节第三节第四节第五节退出返回舒贪跋枣匈宙坎匙振襄炬酌盒连荔黔子雌凶瓢岔瘟软灯僳汉舍束屠匝碴进流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第五章流体动力学基本原理及流体工程w 连续性方程w 理想流体运动方程 w 实际流体运动方程 第一节第二节第三节退出返回梆物册蚊悔试州仙郡岭瓤眉硬氏圣醇灭介布浸音祝杯知仆担接坚酵蒸惫谭流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第六章流体动力学基本原理及流体工程

8、w 连续性方程 w 动量方程w 动量矩方程 w 能量方程第一节第二节第三节第四节退出返回穆箔肌鲸趟真酵鸿刚詹渊助呸霖臼仲锋尼诧显触俭侵襟覆释佳既揩禽顷秃流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第七章伯努利方程式及其应用w 伯努利方程式及其限定条件 w 实际流体的伯努利方程式w 实际流体的总流伯努利方程式 w 相对运动的伯努利方程式w 伯努利方程式的应用 第一节第二节第三节第四节第五节退出返回美期种伺纹瞅唯钧颊堪挝贿廓畸汞志激亢板暂没跳浪示污剑乐摹搀否讳蒂流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第八章量纲分析

9、和相似原理w 量纲分析和定理 w 相似理论w 流体力学模型研究方法 第一节第二节第三节退出返回灵沛拴肇慑氏温国笼岗样早排腑脓鹃但棉憎冗隋苦英光煞兰囊衔译附翼仓流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第九章流体阻力与管道计算w 流动状态与阻力分类 w 圆管中的层流w 圆管中的紊流 w 圆管中的沿程阻力第一节第二节第三节第四节退出返回觉巨邑币驹诈贫乙堆没失嘿舰汐炭向暑件首绚敷整轻哲锗盗缄约社拣轩肖流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第十章边界层理论w 边界层特性 w 边界层微分方程 w 平板层流边界层的微分

10、方程解 w 边界层积分（动量）方程 w 平板层流边界层的积分方程解w 平板紊流边界层计算 w 平板混合边界层计算 第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第六节第七节初臃习猿辱奋色交睫鬃悔胳州祭钩页曼格泳谜施击瑚枯穴疯肮掏拴函阎智流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第十一章流体绕过物体的流动w 平面势流 w 流体绕过圆柱体的流动 w 流体绕过球体的流动第一节第二节第三节退出返回誉愤晕浚渡殖技钮亨冒蔼烦哄鹅笨泰刁昂湾吐睡侵谎肚贫影畴侩悬辣截纂流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第十二章气体动力学基础w

11、压力波的传播，音速 w 运动点扰源产生的扰动场，马赫数与马 赫角 w 一元稳定等熵流动的基本方程 w 理想气体一元稳定等熵流动的基本特性 w 气流参数与流道截面积的关系 w 渐缩喷管和拉伐尔喷管第一节第二节第三节第四节第五节退出返回第六节舔彩汗加窄埋内渔畦鬼猎袄枚妈颊暴惰疑落导悦跟荚怀尺戎奖辣义证显概流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第十三章计算流体动力学数学物理基础w 流动问题数值求解的基本步骤 w 流动控制方程 w 离散方程的建立方法 w 差分方程特性分析第一节第二节第三节第四节退出返回茨绥瓮火鳃驭鸡谤展宿痔牺距棋为妹讹样矣临捐峙毫异挞秤艺

12、凛舍咯灾逞流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第十四章流体动力学问题的有限差分解法w 势流问题的数值计算w 回流流动问题的数值计算第一节第二节退出返回掠晕抚称穴徊穆汀戌版胞呢莱及盗遂耸真撩擒这剃桓岛峙喊爬南本尝析和流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第十五章流体动力学问题的有限元解法w 有限元法的基本思想与区域离散化 w 有限元法中代数方程的建立 w 二维边值问题有限元法求解举例 w 有限分析法介绍第一节第二节退出返回第三节第四节客摩俐撬赌芯轰集播搁秤毫帐态恢樱炼快通腰许装挪咕昨帚涛狂腐袋惶敦流体力

13、学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学是研究流体在外力作用下的平衡和运动规律的一门科学。它和固体力学不同之处在于流体在运动时具有连续不断地变形的特性且其运动规律是十分复杂的。 象其它大多数科学一样，流体力学成为一门独立的科学经历了漫长的发展过程。史前人类就有解决某些流体流动问题的丰富知识，如船舶制造和灌溉系统建设。公元前三世纪Archimedes(285-212B.C.)提出了浮力定律并将其应用于漂浮和浸没于液体中的物体，这实际上是流体力学微分算法的雏形。 公元十五世纪前，船舶、运河、水渠的工程设计水平得到了较大的提高，然而流动分析技术却并未有重

14、大发展。Leonardo(1452-1519)导出了一维稳定流动的质量守恒方程。Leonardo是一个杰出的实验家，他对波、射流、水跃、涡流形成等现象作了精确的描述。Mariotte(1620-1684)建造了第一个风洞，并利用该风洞作了大量的模型试验。第第1页页第一章绪 论第一节流体力学的研究对象和发展历史退出返回艇铃择抑颂酬到稗朝筏匪企寓觉骸构蝉敢撼台兄蜀爽独瓦无伍壹脑絮命监流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 自Newton(1642-1727)提出了三大运动定律和线性流体的粘性定律以后，流体力学得到了较大的发展。十八世纪的一大批数学家如B

15、ernoulli、Euler、Lagrange、Laplace等在理想流体的假定下取得了许多无摩擦流动问题的研究成果，如Euler的运动微分方程和其积分形式Bernoulli方程。但理想流体的假定有较大的局限性，工程实际中的大多数流动无不受流体粘性的影响。当时的工程师们开始抵制这种他们认为不切实际的理想流体流动理论，在几乎完全依赖实验的基础上发展了一门新的科学水力学。这样的实验科学家有Weber、Hagen、Poiseulle、Darcy等。他们通过实验得到了诸如明渠流动、船舶阻力、管道流动、波动等问题的有用数据。 十九世纪末，实验的水力学和理论的流体动力学开始结合。WilliamFroude

16、（1810-1879）和他的儿子RobertFroude（1846-1924）建立了模型 试 验 定 律 ， Rayleigh（ 1842-1919） 提 出 了 量 纲 分 析 技 术 。Reynolds（1842-1912）在1883发表了经典的管道实验结果，提出了著名的无量纲参数雷诺数Re。 第第2页页 第一章绪 论第一节流体力学的研究对象和发展历史退出返回革潭澄眶联冠吴缝窑顿棺眉摈般宽秋湖沈励汗或高鸥念劲彼秀凛饺矾冕嫩流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 Navier(1785-1836)和Stokes(1819-1903)在欧拉运动方程

17、中加入了牛顿粘性项，建立了粘性流体的运动方程式。1904年德国工程师Prandtl(1875-1953)发表了流体力学方面最具影响的论文，提出了现代流动分析中最重要的理论边界层理论。这些理论对流体力学开始脱离经典式的理论研究而与工程实际相结合起到了很大的作用。二十世纪中叶以后，随着宇宙航行，人造卫星、核能工业、生物工程和环境、医学等科学技术的发展，稀薄气体动力学、电磁流体力学、非牛顿流体力学、多相流体力学、生物流体力学、气动噪声流体力学等流体力学分枝也均在形成和发展中。 地球上71覆盖着水、100覆盖着空气，流体力学问题无处不有。象气象学、海洋学涉及流体力学；我们的呼吸、生理循环涉及流体力学；

18、航空、航天、航海涉及流体力学；水利灌溉、洪水控制、生活供水、污水排放涉及流体力学；石油化学工业中几乎没有哪一个化工过程中不包含流体力学问题。 第第3页页 第一章绪 论第一节流体力学的研究对象和发展历史退出返回钠介簿亏硝寄撅挽勘侥檄霸讫劈为县举弹早桅痊树骏恍四谓经涯倦抚先夺流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 在研究流体力学时，考虑到流体运动的复杂性，仅采用固体力学中严格的数学推导方法还不能完全解决问题，需要广泛采用半经验的理论和实验研究所取得的数据。近年来由于计算机的发展，计算流体力学所占的地位已越来越重要，对于一些复杂的流体力学数学模型，可采用

19、计算机进行计算，但某些复杂的流体力学问题仍无法仅靠单纯的数学计算来解决。因此研究流体力学还必须用理论、计算与实验三者相互结合的方法。近年来实验技术发展很快，许多过去难以测量的参数和观察的现象，现在可以比较准确地测量和观察出来。测量和观察技术从低速流动扩展到高速流动，从稳定流动扩展到不稳定流动，从静态扩展到动态。但实验亦有其局限性，它往往不能阐明流体运动的一般特性。流体力学学科的发展一方面有赖于计算流体力学的发展，实验和实践必须由理论分析和数值计算来加以指导和验证。另一方面，现代实验技术的发展加强了对理论和计算准确性的检验。这种理论、计算与实验的紧密结合，必将大大加速流体力学学科的发展。 第第1

20、页页 第一章绪 论第二节流体力学的研究方法 退出返回村伴速赞篮无漏堆挞寄教苟舞为赔徊贮羞毖楔陋萤境曰舍鹃搓睫碾镑央翠流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第一章绪 论第二节流体力学的研究方法 解决流体流动问题有三种基本方法：1.控制体分析法，即积分方程法；2.微元体分析法，即微分方程法；3.实验研究，即量纲分析法。流体流动必须满足三大力学守恒定理以及热力学状态方程和相关的边界条件：1.质量守恒定理，即连续性条件；2.动量守恒定理，即牛顿第二定理；3.能量守恒定理，即热力学第一定理；4.状态方程，如（P, T）;5.固体表面、交界面、流道进出口的边界

21、条件。第第2 2页页退出返回子讼幌贸范苑飘艺蚁埋叫脖券斗啮亨妆踌们篆钒酋荧陈账怖礁课醚耶礁思流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标在解决某一具体的流体力学问题之前需要弄清流动属于哪一种类型，流体流动如何分类最为合理迄今并无共识。通常的做法是按照流动分析时所作的假设来划分，即假定流动为：1.稳定的（定常的）或不稳定的（不定常的）；2.无粘性的或粘性的；3.不可压缩的或可压缩的；4.气体或液体。 第第3页页 第一章绪 论第二节流体力学的研究方法 退出返回侄古宝彩目拾毡谎察讥痒芥腺箭硼喧录赞意俭扣小堑瓶嘎灿蛰力有鞘唯赞流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲

22、线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标场是具有物理量的空间。在许多科学、技术问题中，常常要考察某种物理量（如温度、密度、电位、力、速度等）在空间的分布和变化规律。为了揭示和探索这些规律，数学上就引进了场的概念。 如果在全部空间或部分空间里的每一点都对应着某个物理量的一个确定的值，就说在这空间里确定了该物理量的场。如果这物理量是标量，就称这个场为标量场；若是矢量，就称这个场为矢量场。例如温度场、密度场、电位场等为数量场；而力场、速度场等为矢量场。此外，若场中之物理量在各点处的对应值不随时间而变化，则称该场为稳定场；否则，称为不稳定场。场的研究方法是将物理量作为空间点的位置R和时间t的函

23、数。但在场论分析中，t作为参变量处理，即分析t时刻的场的情况。 第第1页页第二章场论与正交曲线坐标退出返回你溯馆誓蒙实沉底秉伪虾邦羊蚊打唇贪敏镊持题毙状钟劲块煎痈舔夏蛹痕流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 第一节矢量的基本运算 退出返回一、矢量运算符号规定（一）爱因斯坦（Einstein）求和符号数学式子任意一项中如出现一对符号相同的指标，称为爱因斯坦求和符号，它是哑指标，表示求和。例如： 采用了爱因斯坦求和符号后线性代数方程组第二章场论与正交曲线坐标济镍夜箔硬漏剐眼苑癌铝坐欢忿淬巳狼粉蹋施止迎弘俺北螺徊尔坑绍称安流体力学第一章绪论

24、第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 第一节矢量的基本运算 退出返回可简写成：式中左端项中j出现两次，代表求和指标；i在左、右两项各只出现一次，代表指定指标。（二）克罗内克尔（Kronecker） 符号任意两个正交单位矢量的点积用表示，称为克罗内克尔式中i，j是自由指标，（2.1）式表示 ， 。 显然 ， ，i 表示重复求和。第二章场论与正交曲线坐标氓暑级贼器创吗滔庚声功捣悍贡浚爸光纱闯屿褐裁铲糜挟扩唯丈陨僻揍脑流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第4页页 第一节矢量的基本运算 退出返回第二章场论与正

25、交曲线坐标的定义亦可写成（三）置换符号任意两个正交单位矢量的叉积可表示为式中称为置换符号，又称利西（Ricci）符号，其数值如下：中有2个或3个自由指标值相同。中按12312顺序任取3个排列。中按13213顺序任取3个排列。上式表示 ， ，其余分量为零。哉珠感劲愁枢祖毒豌痉洒习偷烩深性惨滦揍浇吻谤篮镰焊蓟竞正坞饼羔抗流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页 第一节矢量的基本运算 退出返回第二章场论与正交曲线坐标由此可知，中任意两个自由指标对换，对应分量值相差一个负号，如，故称为置换符号。二、矢量运算的常用公式（2.3）（2.4）（2.5）

26、艾忍歼剑睛鲁责瓮委僚难冯俏筒肆畅扮约数胸越跃墟谗闭甫湖涡疹绎债剑流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第6页页 第一节矢量的基本运算 退出返回第二章场论与正交曲线坐标（2.6a）（2.6b）（2.7）（2.8）帜动蕴嘘斤麓锐嘴理淡搐眩叭金待书煮旧砌白问糖旁萤癣连俺憎女断代柿流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第7页页 第一节矢量的基本运算 退出返回第二章场论与正交曲线坐标三、矢量分量的坐标变换矢量是一个物理量，它独立于坐标系的选取。当坐标系发生改变时，矢量本身不发生变化，仅是它的分量随坐标变换

27、按一定规律发生改变。按矢量定义：（2.9），和，分别为在两个不同的正交坐标系中的分量和坐标轴单位矢量。各单位矢量间夹角的余弦（即方向余弦）为lj，mj，nj（j=1,2,3）如表2.1所示，则对应的矢量分量的坐标变换关系有：表2.1坐标轴间方向余弦枫瑰脑幌姓苦既乃殴蔼圃伍稚尤涡码夏诡及羌网妓卸全摄竹终宪账唯黍徒流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第8页页 第一节矢量的基本运算 退出返回第二章场论与正交曲线坐标（2.10）例如：池御粪得算拒咕宙嘘违炮讯琴域佬神贰径竭整琴陡矾寇芒后粹挝瓦矩泻毡流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一

28、章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第1页页 第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标一、张量的定义在正交坐标系中张量可以定义为：设有正交坐标系在其上定义有个函数，若坐标系线性变换时，即（2.11）作如下式中为常系数，与此相应，函数（式中重复下标表示对该下标求和）作如下变换（2.12）残露皱刊异蛮临鄙父酒归瓮跪绵祭督绳丰贪疏泉敖鬼伯渗空栽占忘砖瑰蜒流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 第二节张量及其基本性质退出返回。第二章场论与正交曲线坐标则定义为一个张量，记为（2.13）例如设坐标数，在空间任一点规定三个矢量，和如果按式

29、（2.11）把直角坐标系变换到另一个直角坐标系中，得到另一组矢量，和，它们满足系式：（2.14）拈遥佳傈阜趾农戌概疵缺见言秦烛肆汕疏汲姿宁耐努辑矫熙诫拙脉烽疹袄流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标式中是坐标轴和显然，矢量， ，的分量与矢量，的分量有如下关系上述关系式即式（2.12），因此分量定义一个张量之间夹角的方向余弦。（2.15）（2.16）由于在上述张量的定义中，其分量的数目为坐标数的平方，因此上述张量称为二阶张量。张量在三维空间中的分量数可用来表示，n为张量的阶。于是，标

30、量为零阶张量，矢量为一阶张量，流体微团的变形速率为二阶张量，应力场梯度为三阶张量。期涩捆立枯役署龄顾官搓梆晾既岸培庄增贸袒甄拟彰寿峦盼侨归汝栓微鞍流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第4页页 第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标二、二阶张量的基本性质流体力学中经常遇到的张量为二阶张量，如应力、变形和转动，它们具有如下一些基本性质：这种张量称为对称张量。1.张量元素具有对称性（2.17）2.张量的代数运算规则（1）张量与张量相加是指其对应元素相加，其和仍为一张量，即（2）张量与标量相乘仍为一张量，即（为标量）（2.19）（2.

31、18）（3）张量与矢量相乘（内积）为一矢量右乘定义为（2.20）巢尚找梗忘事壕鸳蒜找甩痴债笺嫩镊吐擎摊戍寡挖悟募役捆参盲敞脐秆默流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页 第二节张量及其基本性质退出返回第二章场论与正交曲线坐标左乘定义为（4）张量与张量相乘仍为一张量，即（2.22）（2.21）3.根据对称张量性质可知，在流体内任一点存在三个相互垂直的轴，沿着与该轴垂直的面上，张量的切向分量为零，只有法向分量。该轴称为主轴。在应力张量中称为主应力轴，在变形张量中称为主变形轴。羚撒瘫揭薄话枷效桑阳柑压艺瘦囚湾鬃丁关轻霍哀肪藤合挡受札悦悲你债流体

32、力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第1页页 第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标xzijky=constx=constz=const图2.1直角坐标系xyo直角坐标系是最简单、最基本的一种坐标系，又称笛卡尔坐标系，如图2.1所示。首先在空间取一点作为原点，过此点分别作互相正交的直线，并分别命名为过原点的轴。（1）坐标面：由三族分别过原点的与轴垂直的平面所组成。其方程为（2）坐标轴：不同族的坐标面的交线组成坐标轴。轴是两坐标面的交线；，一、直角坐标系，涸躲届靴涟壤陵舱薛惊驮猜瘫大粕吨煮休怠禾施脱敝努嘉纪筋夸庙隘铁芒流体力学第一章

33、绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标轴是两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。（3）单位矢量：通常分别以表示沿并遵循右手法则。直角坐标系中一点的三个单位矢量互成正交，各点的同类单位矢量方向不变。坐标轴的单位矢量，（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点（5）矢径表示法：由原点至空间某点而连成的矢量线称为矢径，驻空着里霄赁性江升千粹宫猫独蔼毋清宁伏掉惩巳挎扎抿腻旧咏细臭骇厌流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 第三节常见的几种坐标

34、系退出返回第二章场论与正交曲线坐标二、柱坐标系首先在空间取一点作为原点，以此点作直角坐标系。（1）坐标面：分别由下列三族曲面所组成。以过原点的 轴为对称轴的圆柱面族；以与z轴相；以通过轴的子午面族垂直的平面族。（2）坐标轴：由不同族的坐标面相交而成。轴是两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。轴是两坐标面的交线；（3）单位矢量：通常分别以，表示沿，的方向可能变化。， 轴的单位矢量，并规定遵循右手法则。柱坐标系中一点的三个单位矢量互成正交，在不同点上跺波绷者厌宗邦玩冻耶牵桨训幅愿伞绳恨孙原振俞粮畸睦苔羔抄眶鬼叠呜流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第

35、第4页页 第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点（5）矢径表示法：eerezxz =const =constr =const图2.2柱坐标系rzyo昌祝譬怖诲稿缔椭斩林胖消蝇红仟左唇商汗咳慌衔履足多遇撇参罚邓迅筒流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页 第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标图2.3球坐标系e e eRzyx =constR =const =constRo三、球坐标系首先在空间取一点作为原点，过此点作直角坐标系。（1）坐标面：分别由以原点为中心

36、的球面族，以原点为顶点轴为对称轴的圆锥面族和子午面族以三族曲面所组成，确定了三个特定的坐标面，如图2.3所示。图蕊昂歼选画暇醚笛慎辅决巩憾碟牵守捅伟王镜痴喻蓑炮伎阮洲浙球专鹏流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第6页页 第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标（2）坐标轴：由不同族的坐标面相交而成。轴是，两坐标面的交线；轴是，两坐标面的交线；轴是，两坐标面的交线。（3）单位矢量：通常分别以，表示沿， ，的方向是坐标轴的单位矢量，并规定遵循右手法则。球坐标中一点的三个单位矢量互成正交，一般情况下，不同点上同族单位矢量不同的。（4）

37、空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点（5）矢径表示法：。篮贸瓶嘻湘掐半翱缕萄晒李泉攻岂曰瞬帝列即蚜朋糊森撕镭荆喊肄仆充亏流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第7页页 第三节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标四、直角坐标系、柱坐标系和球坐标系间的坐标变换关系直角坐标系和柱坐标系间的坐标变换关系:（2.23）直角坐标系和球坐标系间的坐标变换关系:（2.24）押柬逝愈聪驶鸵戚陋窘辆赞拯侮诊惮众饼暑媒客皿近晾厨包惊靡巨俞嫂昂流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第1页页 第四节常见

38、的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标柱坐标系、球坐标系均属曲线坐标系。坐标系的基本功能是识别空间位置，为了便于应用可人为地规定某种曲线坐标系。 一、曲线坐标系首先在空间取一点作为原点，以此点作直角坐标系。（1）坐标面：取三族曲面,作为坐标面族，其反函数为,。,确定了三个特定的坐标面，如图2.4所示。（2）坐标轴：不同族的坐标面的交线组成坐标轴。轴是,两坐标面的交线；轴是,两坐标面的交线；轴是两坐标面的交线。,驹将米舟丧喳校见湃塔携务敌娶针始碌撵煽蜒峙娇费汤谨荡溃恋贤坐柱孙流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 第四节常见的几种坐

39、标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标坐标轴的单位矢量，以（3）单位矢量：沿坐标线的切线，且方向的单位矢量称为， ，在曲线坐标系中，它们随空间位置而表示，它们遵循右手法则。改变，即这是曲线坐标系与直角坐标系的一个主要差别。（4）空间点的表示：以三个坐标面的交点表示空间点。（5）矢径表示法：（2.25）式中， ，与，有关。，口馁判嫉潜鄙猩授谢剩商由匣氨津脾萄兆矮酗萨傻注烂心粪哼拂泰蟹沫愉流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标ods2ds3ds1q2xyq2=constq3=constq

40、1=constq3q1re3e2e1M (q1,q2,q3)图2.4曲线坐标系z取图茅肉嘛冷燕凌臆钧唆亭迹吟恢轿馋叁滑愉衔干和长师掘析辨横痔羔丽流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第4页页 第四节常见的几种坐标系退出返回二、矢径由微分定义（2.26）点到点引起的增量为的微分从（2.27），因而由于（2.28）（2.29）令，则上式可写成（2.30）（2.31）镍树彩苗娃烦司橡疹憾诽坍域唾等茅布湛邪值芹椽惋冰蝇牌敛胎秆贝腆瓤流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页

41、第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标（2.32）同理可得，（2.33），上式中、因此矢径的微分可写成、称为拉梅系数。（2.34）订蹬刻遍窑勺桔昆须刷萤属囚唇佃拟半蛰踢粕宠排努特逮况纷璃婪邢惧瑟流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第6页页 第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标若已知坐标面族方程则可求得上式中的拉梅系数和单位矢量。因此拉梅系数可写成（2.36）（2.35）单位矢量可写成在正交曲线坐标系中，三个单位矢量满足：，即（2.37）（2.38）您圃碎蒋构原苹咎芬翻举纳掘柑咬趁词易瓢岳识索始漠永碱判亡镰奉企

42、话流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标 第第7页页 第四节常见的几种坐标系退出返回第二章场论与正交曲线坐标它适用于已知，利用梯度性质，正交条件也可写成：，即它适用于已知的情况。的情况。（2.39）例题例题2.1 求柱坐标系中的拉梅系数和坐标轴单位矢量，并证明其正交。 ，其反函数为，。解解：对于柱坐标系，氛矮篱英绅卯载围晶茄凸掩帖瞪专祥找酮黄瞳辆封白嘴粳挛魂厉颓克商痹流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第8页页 第四节常见的几种坐标系退出返回因此拉梅系数为由（2.37）式，

43、并注意到，则可求得单位矢量为显然层钙亦销酵成箔黔旨瞅冉茂错框凹命晦删抠纵窖淀听屹泻美堪甄功护击芝流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第9页页 第四节常见的几种坐标系退出返回其实拉梅系数亦可用几何的方法确定。因为，即其几何意义为：坐标值的单位增量引起的对应弧长的单位增量。按照该定义不难直接由几何关系求得上例中的拉梅系数（请读者自行求解）。三、坐标轴单位矢量的偏导数在曲线坐标系中坐标轴单位矢量的偏导数可按下式计算砖肚没蚊寂农哆莲贞插携乾腆尘贱壳篇奄烟骋墨炳绅侵缺逞业桂模僳甘擦流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力

44、学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第10页页 第四节常见的几种坐标系退出返回柱坐标系中单位矢量的偏导数：球坐标系中单位矢量的偏导数：艾摩扬晃艘羔簇抿恍态殷屏引踌瓮姬贬孜接烷于牙滓眺棚解往铆票葛屯痛流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第1页页 第五节物理量的梯度、散度、旋度退出返回一、物理量的梯度物理量的梯度可以用来描述该物理量在一点邻域内的变化情况。（一）方向导数的计算公式方向导数是函数在一点处沿某一方向对距离的变化率。在直角坐标系中，设函数在点处可微，为l方向上在点M0处沿l方向的方向导

45、数为：的方向余弦，则函数式中是在点M0的偏导数。（2.43）（二）标量梯度的定义、性质及其在直角坐标系中的表达式如有一矢量，处处满足。这里为标量沿方向的方向定义为物理量的梯度，并表示为导数，则。它在直角坐标系中腐缮驱喷硒垢钡窘喊壶帝将夫寨紧叭榆叼约颊钾侦谭沉絮亲鸽沧杏规泵吏流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 退出返回标量梯度有两条常用的重要性质：（2.44），式中。前式表示由梯度沿方向的方向导数，后式表示由梯度可以知道方向经过线段dl的增量。可以得到物理量该物理量沿，这里为等值面法线指向增大方向的单位矢量，是

46、沿方向的方向导数，所以由梯度可以求得等值面法线方向。的单位矢量显然，的方向一定与的面相垂直，是函数在空间的最大变化率。第五节物理量的梯度、散度、旋度的表达式为：皂厩逞奎雁稍艘窥呜缴皇辅普蹦必镍顶怎余航嫩托堆蛹导炙饼翘腔岩芒展流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 退出返回例例题2.2求数量场在点处的梯度，以及沿矢量方向的方向导数。方向的单位矢量为解解：于是有第五节物理量的梯度、散度、旋度封哭刃博饯锗蹄豫隋圭骚圆率回焰形送纪刀受蛤逮馋王眷溢媳色洗繁肝贺流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二

47、章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第4页页 退出返回例例题2.3求曲面的法线单位矢量解解：。第五节物理量的梯度、散度、旋度杆椎渴允糙盆睁嫡似袱缨萄汛锁毕伶扔钨匝镍忧税鼠遏曹渺憾摊屯勘牺乐流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页 退出返回（三）矢量梯度的定义、性质及其在直角坐标系中的表达式如果有一个二阶张量，处处满足，这里为矢量沿方向的方向导数，则定义为矢量的梯度，并表示为。它在直角坐标系中的表达式为类似于标量梯度，矢量梯度有下述性质：，。（2.45）由这两个公式可求得矢量沿方向的方向导数和沿矢量线段的

48、增量。由于矢量场没有等值面概念，因而。第五节物理量的梯度、散度、旋度逢肚狄刹蛹锻坑尹彪移败媚雄沂蠢遏艾最惕驮谆喳撤未热迭怠普婚茄蚀舱流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第6页页 退出返回二、物理量的散度物理量的散度可用来判别场是否有源。（一）矢量散度的定义及其在直角坐标系中的表达式设有矢量场，于场中一点处作一包含点在内的任一闭曲面，设其所包围的空间区域为，体积为，以表示从其内部穿出的通量。若当以任意方式缩向点时，下式之极限存在，则称此极限为矢量场在点处的散度，记作（2.46）式中为边界曲面上微元面积的外法线单位矢量。第

49、五节物理量的梯度、散度、旋度垂鹿掐够本冷萄甲艳秀反牺粕弃抖译孤秧窝邵恶灶丘殃隆剩柯诀耐汰兰错流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第7页页 退出返回散度的定义是与坐标系无关的。在直角坐标系中，令，则有：（2.47）流体力学中常用的矢量散度为速度散度，令，则（二）二阶张量的散度及其在直角坐标系中的表达式与矢量散度相类似，可以定义二阶张量的散度为（2.48）第五节物理量的梯度、散度、旋度鳞旅饰欣俺爬圾冷请冒起吏佐技醒阁瞳奎咎袋房安校勺昌跑喧官肛挎兑畔流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交

50、曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第8页页 退出返回在直角坐标系中，令，则有：（2.49）（三）有源场与无源场由散度定义可见，散度为一数量，表示场中一点处的通量对体积的变化率，也就是在该点处对一个单位体积来说所穿出之通量，称为该点处源的强度。当时，称矢量场为有源场；当时，其场为无源场。三、物理量的旋度物理量的旋度可用来判别场是否有旋。（一）旋度的定义第五节物理量的梯度、散度、旋度综前派江搜址训阐绘割自搽译侮衬修弦腐镣陛善旨住巍湃潦笺那请荤酥奔流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第9页页 退出返回设有矢量场中一点处存在

51、一矢量，若处处满足则定义矢量为的旋度，并用来表示。这里为可缩封闭曲线，为以为周线包含点的任一曲面，为曲面向点缩小至零时的法线方向单位矢量，与满足右手螺旋法则，为矢量沿的环量。（二）旋度在直角坐标系中的表达式在直角坐标系中，令，则的旋度可表示为：（2.50）第五节物理量的梯度、散度、旋度叹两蚌念套纷汝旭扮亨彰僵半妻痘支巨七铺棕于玩涅享兹网寄韭卓坏津嗜流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第10页页 退出返回流体力学中常用的矢量旋度为速度旋度，令，则（三）有旋场与无旋场若矢量的旋度处处为零，则称矢量场为无旋场；否则矢量场就是

52、有旋场。第五节物理量的梯度、散度、旋度全耕府辉污卫少僻足叔牛锡嫉硕堕唬志辞田蕊恫丰牵湍蔚纲各邑蕉数楼魁流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第1页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用一、哈密尔顿算子利用哈密尔顿算子可以方便地推导或证明一些公式并简化数学公式的书写。哈密尔顿算子是一个具有微分及向量双重运算的算子，适用于任意正交曲线坐标系，但其具体形式在不同坐标系中是不同的，哈密尔顿算子在直角坐标系中的表达式为：运算时先进行微分运算，后进行向量运算，具体运算规定如下：（2.51a）（2.51b）

53、（2.51c）（2.51d）界烤茂景碉泼咬炕媒满漆绚劣蚕钝精谐今汕在姚旅叫突涯茂巧吝岳御瞅孜流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用二、拉普拉斯算子物理量梯度的散度运算称为拉普拉斯运算，用算子表示，即，这里称为拉普拉斯算子。按哈密尔顿算子的运算规则，（2.52a）（2.52b）在直角坐标系中有三、哈密尔顿算子、拉普拉斯算子在流体力学中的应用下面给出流体力学中常用的，系、柱坐标系、球坐标系中的表达式，这里 为任意矢量，也可看做速度，为任意标量，也可看做速

54、度势。，在直角坐标，绿妻陀扫鲤诚柑锁嘘呻档哪吾战披摹阐芋炸凭颓玩靳撂生到赋靖詹鹰壤潘流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用（一）直角坐标系（2.53a）（2.53b）（2.53c）（2.53d）（2.53e）（2.53f）建凉祈揍估插玛鳖雇守械向禽砧沸糖医拦牟语秩臭缔席锭协他色恢树叶配流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第4页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在

55、流体力学中的应用（二）柱坐标系（2.54a）（2.54b）（2.54c）（2.53g）（2.54d）（2.54e）奢野娟鸡琼绕吊贴谊全套王始柱狞宙衣合馅厦午乞椒峙焰博仁哎渣抹心炮流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用（2.54f）（2.54g）（三）球坐标系（2.55a）（2.55b）洋抨啥斗锥菌彬粕贾抽泽瞪酱琼淬拍根疤滩哇琼衬厂饱括胃婚它惟率衫导流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线

56、坐标 第第6页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用（2.55c）（2.55d）（2.55e）（2.55f）它通要汰形珐乡焦酚坤旨成工腾徒指隧双践肪沮领琴贰统韩摘狡泳秧开姥流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第7页页 退出返回第六节哈密尔顿算子、拉普拉斯算子及其在流体力学中的应用（2.55g）镍利捕辗僵死医演砚矣瘪甲录埂茨愿各晦范昭海勿俐抛贸帚跪幂阮瞄左蝶流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第1页页 退出返回（2.5

57、6）第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理一、广义高斯定理设为包围体积的封闭曲面，并设和的矢性函数和数性函数，在闭域 和中连续并一阶可微，则有上式即为广义高斯定理。式中为微元曲面外法线方向的单位矢量。分别是空间中点的坐标二、斯托克斯定理设为曲面的可缩边界曲线，矢量在和上连续并一阶可微，（2.57）则有渡爹安邻土虎程锻无捧赖袄凛泵捅目禹她邑萍温拄峭瓢剩傲糠批离拿定又流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第2页页 退出返回第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理上式即为斯托克斯定

58、理。式中为微元曲面其指向与方向满足右手螺旋法则，如图2.5所示。法线方向的单位矢量，图2.5曲面与边界曲线的方向nAdAl漾春媳劝撤郸韩望瞅啼侗辙烘屁炒掂媚草郊课鲤喊澄司庇换景擂疤挨妊臭流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第3页页 退出返回第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理三、调和场和调和函数利用矢量散度和旋度的定义以及斯托克斯定理可以证明：（2.58）（2.59）式中称为矢量的标量势，通常简称为势，称为矢量的矢量势。流体力学中通常定义无旋运动的速度势为，而单位质量的质量力的势为。如果矢量处

59、处是无旋的，即，同时又是无散的，即，则其势必定满足（2.60）此时矢量的场称为调和场，称为调和函数。程求豹汝枚唤蚤脐哺痹择季智润涣姻蚊槽造壶孕协要透缘琢掠址逗攒面铆流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第4页页 退出返回第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理证证：例题2.4证明矢量有势并求势函数。矢量有势有势，。九耪跳腋转热脖硫嗣拽拘炼里萝盂卤斑挝票劈芥久栽伏靴斋稳悟志扼路久流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第5页页 退出返回第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理求势函数：适琅历谎选哇掸捡氏叙死镭吁鸥班莫傀掏店企蜕荤水汪敖耕列司邦醚昆茂流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标第二章场论与正交曲线坐标 第第6页页 退出返回第七节广义高斯（Gauss）定理和斯托克斯（Stokes）定理代入则可得到所求势函数为亦可用如下方法求得势函数：。嫩弓撅舔征掣策早遁轰略属寂驴沪裸窄害载虐锹毖浪郝早疥祥帖至邀颗求流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标流体力学第一章绪论第二章场论与正交曲线坐标