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1、第第6章章 向量代数与空间解析几何向量代数与空间解析几何 一、内容提要一、内容提要 （一）主要定义（一）主要定义（一）主要定义（一）主要定义1.1. =ax i+ ay j+ az k 的模为的模为2.2.a=ax i+ ay j+ az k , b= bx i+ by j+ bz k 数量积数量积( (点积点积) )为：为：a b=a b cos(a b)向量积向量积( (叉积叉积) )为：为：a b, 其模为其模为a b =a b sin(a b)其方向服从右手法则其方向服从右手法则3.混合积：混合积：abc= (a b) c方向余弦为方向余弦为（二）主要结论（二）主要结论（二）主要结论（
2、二）主要结论 1.设设 a = (ax,ay,az), b = (bx,by,bz), c = (cx,cy,cz), 则则a b= axbx+ayby+azbz2.平面方程平面方程(1) 一般式一般式Ax + By + Cz + D = 0.(2) 点法式点法式A(x - x0) +B (y - y0) +C (z - z0) = 0.(3) 截距式截距式(4) 三点式三点式过过M1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), (5) 法式方程法式方程cos x+ cos y+ cos z + p = 0式中式中cos , cos , cos 为平面上点为平面上点 (x, y,
3、 z) 处法向量处法向量的方向余弦的方向余弦, p 为原点到平面的距离为原点到平面的距离. M3(x3, y3, z3), 的平面方程为的平面方程为3.直线方程直线方程(1)(1)一般式一般式 (2) 对称式对称式(3) 参数式参数式(4) 向量式向量式r=r0+st . 式中式中 (5) 两点式两点式4.点到平面的距离点到平面的距离5.重要的二次曲面重要的二次曲面(1) 球面球面(x x0)2+ (y y0)2+ (z z0)2 =R2(2) 椭球面椭球面(3) 锥面锥面(4) 椭圆抛物面椭圆抛物面(5) 双曲抛物面双曲抛物面( p, q异号异号).(6) 柱面柱面F ( x, y )=0(
4、7) 单叶双曲面单叶双曲面(8) 双叶双曲面双叶双曲面6.夹角夹角(1) 两平面的夹角两平面的夹角 设设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0, 2 : A2x +B2y +C2z+D2=0,(2) 两直线的夹角两直线的夹角 (3) 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 设设 1: A1x+B1y+C1z+D1=0,（三）结论补充（三）结论补充（三）结论补充（三）结论补充1.1.非零向量非零向量a, b互相垂直的充要条件是互相垂直的充要条件是a b=0, 互相互相平行的充要条件是平行的充要条件是a b=0.2.2.非零向量非零向量a, b, c共面的充要条件是共面的充要条件是(a b) c=0.
5、3.3.过两平面过两平面A1x+B1y+C1z+D1=0与与A2x+B2y+C2z+D2=0交线的平面束方程为交线的平面束方程为:5. 5.Prj( a+ b)= Prja+ Prjb, (A1x+B1y+C1z+D1)+ (A2x+B2y+C2z+D2) = 0. 4.设设M0是直线是直线L外一点外一点, M是直线是直线L上任一点上任一点, 且直线且直线的方向向量为的方向向量为s, 则则M0到直线到直线L的距离的距离8.8.空间异面直线空间异面直线L1, L2的方向向量为的方向向量为s1, s2, A, B分别分别为为L1, L2上的两点上的两点, 则则L1与与L2之间的距离为之间的距离为:
6、6. 向量积的运算向量积的运算 (1) a (b c) = (a c) b - (a b) c(2) (a b) c = (a c) b - (c b) a(3) a (b c) + b (c a) +c (a b) = 0 7. 不共线的空间三点不共线的空间三点A, B, C所决定的平面面积为所决定的平面面积为:二、归类解析二、归类解析 （一）向量代数（一）向量代数（一）向量代数（一）向量代数例例6-1 设设2a+5b与与a-b垂直垂直, 2a+3b与与a-5b垂直垂直, 求求(a b).例例6-2 设设A=2a+b, B=ka+b, 其中其中a =1, b =2, 且a b,例例6-3 从
7、点从点A(2, -1, 7)沿向量沿向量 =8i+9j-12k的方向取线段的方向取线段长长AB =34, 求点求点B的坐标的坐标.试问试问: (1) k为何值时为何值时, A B;(2) k为何值时为何值时, 以以A, B为邻边的平行四边形为邻边的平行四边形的面积为的面积为6.例例6-4 已知已知 p, q 和和 r 两两垂直两两垂直, 且且p=1, q =2, r =3, 求求 s=p+q+r的长度的长度.例例6-5 已知已知p=2, q =3, (pq)= /3, 求以求以A=3p-4q和和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长为两邻边的平行四边形的周长.例例6-6 证明恒等式证明恒等式(
8、a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b) c. 例例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于用向量代数的方法证明三角形的三条高交于一点一点.（二）空间平面与直线（二）空间平面与直线（二）空间平面与直线（二）空间平面与直线 1.1.空间平面空间平面例例6-8 求通过直线求通过直线的平面方程的平面方程., 且平行于直线且平行于直线例例6-9 经过两平面经过两平面4x-y+3z-1=0和和x+5y-z+2=0的交的交线线作一平面作一平面, 使之与平面使之与平面2x-y+5z=0垂直垂直.例例6-10 在由平面在由平面2x+y-3z+2=0和平面和平面5x+5y-4z+3=0所决定的平面
9、束内所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面求两个相互垂直的平面, 其中的一其中的一个经过点个经过点(4, -3, 1).例例6-12 在过直线在过直线L: 的所有平面中的所有平面中, 求一平面求一平面 , 使原点到使原点到 的距离最长的距离最长. 例例6-11 一平面通过两直线一平面通过两直线L1:s=(1, 0, 1),求此平面方程求此平面方程.的公垂线的公垂线L, 且平行于向量且平行于向量2. 空间直线空间直线例例6-13 推导两异面直线间的距离公式推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求并用此公式求两直线之间的距离两直线之间的距离.例例6-14 设有直线设有直线求平行于求平行于L1而
10、分别与而分别与L2, L3都相交的直线方程都相交的直线方程.例例6-15 在平面在平面x+y+z+1=0内内, 作直线通过已知直线作直线通过已知直线, 与平面的交点且垂直于已知直线与平面的交点且垂直于已知直线.例例6-16 坐标面在平面坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个上截得一个 ABC, 从从z轴上的一个顶点轴上的一个顶点C作对边作对边AB的垂线的垂线, 求它的方程求它的方程.例例6-17 已知入射光线路径为已知入射光线路径为,求该光线经平面求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程反射后的反射线方程.3. 点、线、面的其他问题点、线、面的其他问题例例6-18 求点
11、求点(1, 2, 3)到直线到直线的距离的距离.例例6-19 试证曲线试证曲线是两条相交直线是两条相交直线, 并求其对称式方程并求其对称式方程.例例6-20 一直线过点一直线过点(2, -1, 3)且与直线且与直线相交相交, 又平行于平面又平行于平面3x-2y+z+5=0, 求此直线求此直线., 且垂直于平面且垂直于平面例例6-21 求过直线求过直线x+4y-3z+7=0的平面的平面.例例6-22 已知直线已知直线求其在平面求其在平面2x+z+4=0上的投影直线方程上的投影直线方程.（三）二次曲面与其他问题（三）二次曲面与其他问题（三）二次曲面与其他问题（三）二次曲面与其他问题 例例6-23
12、一条直线通过坐标原点一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与点且和连接原点与点(1, 1, 1)的直线成的直线成45 角角. 求此直线上点的坐标满足的关求此直线上点的坐标满足的关系式系式. 例例6-24 求曲线求曲线平行于平行于z轴的投影柱面轴的投影柱面. 例例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴轴是它的轴,且点且点A(-1, -2, 2)和和B(1, 1, 1)在该曲面上在该曲面上, 求此曲面方程求此曲面方程.例例6-26 求通过直线求通过直线且切于球面且切于球面x2+y2+z2=4的平面方程的平面方程.例例6-27 求以求以A(0,0,1)为顶点为顶点,
13、 以椭圆以椭圆为准线的锥面方程为准线的锥面方程.例例6-28 试证在单叶双曲面试证在单叶双曲面上可以配置无数条直线上可以配置无数条直线.( (一一) )、填空题（、填空题（3 3分分 4=124=12分）分）1. 已知已知a=(2, 1, -1), a/b, a b=3, 则则b=2. 已知已知A(1, 0, 1), B(2, 3, -1), C(-1, 2, 0), 则则 ABC的的面积面积S=3. 通过曲面通过曲面, 作一柱面作一柱面 , 使其母线垂直使其母线垂直于于xoy平面平面, 则则 的方程为的方程为 4. 点点A(-1, 2, 0)在平面在平面x+2y-z+3=0的投影为的投影为三
14、、同步测试三、同步测试测试测试测试测试6-16-1( (二二) )、选择题（、选择题（4 4分分 3=123=12分）分）1. 非零向量非零向量a, b 的数量积的数量积a b为为 .(A) a Prjba;(D) b Prjab;(B) a Prjba;(C) a Prjab;答案：答案：( (C)2. 设有直线设有直线则则L1与与L2的夹角为的夹角为 .(A) /3; (B) /2; (C) /6; (D) /4.答案：答案：( (A)答案：答案：( (B)3. 旋转曲面旋转曲面x2-y2-z2=1是是 旋转所得旋转所得.(A) xOy平面上双曲线平面上双曲线x2-y2=1绕绕y轴轴;(B
15、) xOy平面上双曲线平面上双曲线x2-y2=1绕绕x轴轴;(C) xOz平面上双曲线平面上双曲线x2-z2=1绕绕z轴轴;(D) xOz平面上双曲线平面上双曲线x2-z2=1绕绕x轴轴.( (三三) )、计算题（、计算题（7分分 6=42分）分）1. 求与向量求与向量a=2i-j+2k共线且满足方程共线且满足方程a x=-18的向量的向量x.2. 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, l1, l2, l3分别为坐标面分别为坐标面xOy, yOz, zOx上各坐标轴之间夹角的平分线上各坐标轴之间夹角的平分线, 求他们之间的夹角求他们之间的夹角. 3. 一平面经过点一平面经过点M0(2,-1,
16、1), 且垂直两平面且垂直两平面3x-y-z+1=0与与x-y+2z+1=0的交线的交线, 求此平面方程求此平面方程. 4. 求直线求直线在在xOy面的投影直线方程面的投影直线方程.5. 求通过直线求通过直线且平行于直线且平行于直线L2:x=y=z的平面方程的平面方程. 6. 求与直线求与直线都垂直相交的直线方程都垂直相交的直线方程.1: x= 2 i+2j-4k2: = /33: 3x+7y+2z=15: 3x-y-2z-4=0( (四四) )、综合题（、综合题（9分分 2=18分）分）1. a, b为非零向量为非零向量, 且且a =1, , (a,b)= /4求极限求极限2. 求求z轴绕直
17、线轴绕直线旋转所得的锥面方程旋转所得的锥面方程.( (五五) )、证明题（、证明题（8分分 2=12=16分）分）1. 试证试证: 三平面三平面x=cy+bz, y=az+cx, z=bx+ay经过同一条经过同一条直线的充要条件是直线的充要条件是: a2+b2+c2+2abc=1.2. 利用向量代数的方法证明余弦定理利用向量代数的方法证明余弦定理. 答案答案: 1测试测试测试测试6-26-2( (一一) )、填空题（、填空题（3 3分分 4=124=12分）分）1. 已知已知a =3, b =1, 则则a b=2. 已知已知a=(0, 2, -1), b=(1, 0, 0), 那么那么a在在b
18、上的投影为上的投影为Prjba=3. 经过两点经过两点A(1, 3, 4), B(0, 1, 2)的直线方程是的直线方程是4. 已知平面已知平面x+ky-2z=9经过点经过点M(5, -4, -6), 则则k=答案：答案： 2答案：答案： 2答案：答案： 2( (二二) )、选择题（、选择题（4 4分分 3=123=12分）分）1. 设设a/b, 且且a与与b方向相反方向相反, a b 0, 则必有则必有 .(A) a+b = a - b ; (B) a+b = a b ;(C) a+b = a - b ; (D) a - b = a - b .2. 设空间中有三直线设空间中有三直线则必有则必
19、有 .(A) L1/ L2; (B) L1 L2; (C) L2 L3; (D) L2/ L3.3. 以曲线以曲线为母线为母线, 以以z轴为旋转轴的旋转轴为旋转轴的旋转曲面的方程是曲面的方程是 .(A) 2y2+(x2+z2)=a2;(B) x2+2(y2+z2)=a2;(C) 2(x2+y2)+z2=a2;(D) 2(x2+z2)+y2=a2.答案：答案：( (A)答案：答案：( (B)答案：答案：( (C)( (三三) )、计算题（、计算题（7分分 6=42分）分）1. 向量向量a的方向向量平行于向量的方向向量平行于向量c=(7, -4, -4)与向量与向量b=(-2, -1, 2)之间的
20、角平分线之间的角平分线, 且且, 求向量求向量a.2. 设设a =1, b =1, (a,b)= /6, 求以向量求以向量a+2b和和3a+b为邻边的平行四边形的面积为邻边的平行四边形的面积.3. 求过点求过点M(3, -1, 2),且平行于两直线且平行于两直线的平面方程的平面方程.4. 求过直线求过直线和平面和平面x-4y-8z+12=0相交相交成成 /4角的平面方程角的平面方程.5.求点求点M0(1,2,3)到直线到直线的距离的距离. 6. 在平面在平面 : x+y+z+1=0内作直线通过已知直线内作直线通过已知直线与已知平面与已知平面 的交点的交点, 且垂直于直线且垂直于直线L0, 求该
21、直线的方程求该直线的方程.( (四四) )、综合题（、综合题（9分分 2=18分）分）1. 求直线求直线在平面在平面 : x-y+2z-1=0上的上的投影直线投影直线L0的方程的方程, 并求并求L0饶饶y轴旋转一周所生成的轴旋转一周所生成的曲面方程曲面方程.2. 试在平面试在平面 x+y+z=1与三坐标面所围成的四面体内与三坐标面所围成的四面体内求一点求一点, 使它与四面体个侧面的距离相等使它与四面体个侧面的距离相等, 并写出内切并写出内切于四面体的球面方程于四面体的球面方程. 4( 4(x x2 2+ +z z2 2)=17)=17y y2 2-2-2y y+1+1( (五五) )、证明题（
22、、证明题（8分分 2=12=16分）分）1. 非零向量非零向量a, b, c不共线不共线, 试证试证: a+b+c=0的充要条件的充要条件是是a b= b c = c a.2. 设点设点M为线段为线段AB外一点外一点, 试证试证: 点点C在在AB所在直线所在直线的充要条件是存在的充要条件是存在 , , 使使 + =1, 且且 MC=MA+MB例例6-1 设设2a+5b与与a-b垂直垂直, 2a+3b与与a-5b垂直垂直, 求求(ab).解解 依题意有依题意有(2a+5b) (a-b)=0, (2a+3b) (a-5b)=0.即即2a 2+3a b-5 b 2=0, 2a 2+7a b-15 b
23、 2=0.解出解出a b= - b2 , a = 2b .则则例例6-2 设设A=2a+b, B=ka+b, 其中其中a =1, b =2, 且a b,试问试问: (1) k为何值时为何值时, A B;(2) k为何值时为何值时, 以以A, B为邻边的平行四边形为邻边的平行四边形的面积为的面积为6.解解 (1) AB=(2a+b)(ka+b)= 2k a2+(2+k)ab+ b2=2k+4可知当可知当k=-2时时, AB=0, 亦即亦即A B.(2) A B = (2a+b) (ka+b)= 2-k a b =2-k 2sin( /2)= 2k (a a)+2(a b)+k(b a)+b b=
24、 4 -2k 令令4 -2k =6, 得得k= - -1和和k=5.例例6-3 从点从点A(2, -1, 7)沿向量沿向量 =8i+9j-12k的方向取的方向取线段长线段长AB =34, 求点求点B的坐标的坐标.解解 设设B=B(x, y, z), 则则AB=(x-2, y+1, z-7), 依题意有依题意有令令, 求得求得 =2. 从而从而x=18, y=17, z=-17.故故B点的坐标为点的坐标为(18, 17,-17).例例6-4 已知已知p, q和和r两两垂直两两垂直, 且且p=1, q =2, r =3, 求求 s=p+ q+ r的长度的长度.解法一解法一 s2= ss=(p+ q
25、+ r)(p+ q+ r)= pp + qp + rp + pq + qq + rq + qr + rr= pp+ pq + rr = p2+ q 2+ r2.解法二解法二记记 p0, q0, r0分别表示与分别表示与p, q, r方向一致的方向一致的单位向量单位向量, 则则 s=p0+ 2q0+3 r0 . 故故例例6-5 已知已知p=2, q =3, (p q)= /3, 求以求以A=3p-4q和和B=p+2q为两邻边的平行四边形的周长为两邻边的平行四边形的周长.解解 A 2=AA=(3p-4q)(3p-4q)=9 p2-24pq +16 q 2 B 2=BB=(p+2q)(p+2q)故故
26、设周长为设周长为L, 则则=922 -2423cos( /3)+1632 =108.= p2+4pq +4q 2 =22 + 432 +423cos ( /3) = 52.例例6-6 证明恒等式证明恒等式(a+b) (b+c) (c+a)=2 (a b)c. 证证 (a+b) (b+c) (c+a) = (a b + a c + b b + b c) (c+a)= (a b) c + (a b) a + (a c) c + (a c) a + (b c) c + (b c) a= 2(a b) c例例6-7 用向量代数的方法证明三角形的三条高交于用向量代数的方法证明三角形的三条高交于一点一点.
27、AEFBCHD证证 作作 ABC, 如图所示如图所示. AD BC, BE AC, AD与与BE交交于点于点H, 连接连接CH并延长交并延长交AB于于F. 只要证明只要证明CF AB即可即可.由于由于AD BC, 从而从而AH BC, 有有AHBC=0同理同理, BHAC=0, 于是于是CH AB=(CA+AH) (AH+HB)故故CH AB, 从而从而CF AB. = CA AH+CA HB+AH AH+AH HB = AH (CA+AH+HB) =AH CB=0例例6-8 求通过直线求通过直线的平面方程的平面方程., 且平行于直线且平行于直线解解 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n
28、, 则则而而M0(1,-2,-3)是平面上的一点是平面上的一点, 故所求平面方程为故所求平面方程为2(x-1)+0(y+2)-(z-3)=0故故2x-z-5=0.例例6-9 经过两平面经过两平面4x-y+3z-1=0和和x+5y-z+2=0的交线的交线作一平面作一平面, 使之与平面使之与平面2x-y+5z=0垂直垂直.解解为交线方程为交线方程, 分别令分别令z=0和和x=0, 得到交线上的两点得到交线上的两点两交点连线的方向向量为两交点连线的方向向量为平面平面2x-y+5z=0的法向量为的法向量为 n1=2i-j+5k.设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n, 则则所求平面为所求平面为,
29、即即7x+14y+5=0.例例6-10 在由平面在由平面2x+y-3z+2=0和平面和平面5x+5y-4z+3=0所决定的平面束内所决定的平面束内, 求两个相互垂直的平面求两个相互垂直的平面, 其中的一其中的一个经过点个经过点(4, -3, 1).解解 由已知两平面决定的平面束方程为由已知两平面决定的平面束方程为2x + y - 3z + 2 + (5x + 5y - 4z + 3)=0经过点经过点(4, -3, 1)的平面应满足条件的平面应满足条件24+1(-3) - 31+2+ 54+5(-3)- 41+3=0, 即即 =1. 故故过点过点(4, -3, 1)的所求平面方程为的所求平面方程
30、为3x+4y-z+1=0.另一平面也在平面束内另一平面也在平面束内, 故故(2+5 )x+(1+5 )y-(3+4 )z+(2+3 )=0 应满足条件应满足条件 (2+5 )3+(1+5 )4+(-3-4 )(-1)=0, . 所求的另一平面方程为所求的另一平面方程为x-2y-5z+3=0. 例例6-11 一平面通过两直线一平面通过两直线L1:求此平面方程求此平面方程.的公垂线的公垂线L, 且平行于向量且平行于向量s=(1, 0, 1),解解 已知两直线的方向向量为已知两直线的方向向量为s1=(1, 2, 1), s2=(1, 3, 2),令令s3=s1 s2, 则则s3=(1, -1, 1)
31、. 设所求平面的法向量为设所求平面的法向量为n, 则应有则应有n=s3 s, 计算可得计算可得n=(1, 2, 1). 下面求公垂线下面求公垂线L上的一点上的一点. 设此公垂线与设此公垂线与L1, L2分别分别交于交于A(t+1, 2t-2, t+5)和和B( , 3 -3, 2 -1), 则则AB/s3, 从从而而, 解出解出t=6, =5. 故点故点A为为(7, 10, 11). 所求平面方程为所求平面方程为(x-7)+2(y-10)+(z-11)=0, 整理得整理得 x+2y+z+8=0.例例6-12 在过直线在过直线, 的所有平面中的所有平面中, 求一平面求一平面 , 使原点到使原点到
32、 的距离最长的距离最长. 解解 平面平面2x+y+z=0过原点过原点, 也过直线也过直线L, 它不是所求的它不是所求的平面平面. 故可设过故可设过L的平面束方程为的平面束方程为(x+y+z+1)+ (2x+y+z)=0.即即(1+2 )x+(1+ )y-(1+ )z+1=0.原点与它的距离的平方原点与它的距离的平方距离最长距离最长. 所求平面为所求平面为x-y-z-3=0. 例例6-13 推导两异面直线间的距离公式推导两异面直线间的距离公式, 并用此公式求并用此公式求两直线之间的距离两直线之间的距离.解解 设直线设直线L1的方向向量为的方向向量为s1, 直线直线L2的方向向量为的方向向量为s2
33、M1是直线是直线L1上的点上的点, M2是直线是直线L2上的点上的点, 两直线两直线L1, L2间的距离就是间的距离就是M1M2在在s1 s2上投影的大小上投影的大小, 即即s1=(-4, 1, 1), s2=(2, 2, -3), M1M2 =(-5, -1, 6), 例例6-14 设有直线设有直线求平行于求平行于L1而分别与而分别与L2, L3都相交的直线方程都相交的直线方程.解解 设过设过L2的平面方程为的平面方程为5x-z-6+ (4y-z+3)=0.由所由所求平面平行于求平面平行于L1, 则必有则必有54+4 1+2+ (-1- )1=0, 此平面即为此平面即为15x-76y+16z
34、-75=0. 同理可求过同理可求过L3而平行于而平行于L1的平面方程为的平面方程为4x-23y+7z-43=0. 所求直线即为所求直线即为例例6-15 在平面在平面x+y+z+1=0内内, 作直线通过已知直线作直线通过已知直线, 与平面的交点且垂直于已知直线与平面的交点且垂直于已知直线.解解 化已知直线为对称式化已知直线为对称式, 有有在直线上取一点在直线上取一点(0, -1, 0), 则对称式方程为则对称式方程为参数式为参数式为带入平面带入平面x+y+z+1=0, 得得t=0. 故直线与平面的交点为故直线与平面的交点为(0, -1, 0). 以以s=2i+j-k为法向量过点为法向量过点(0,
35、 -1, 0)的平面为的平面为2x+y-z+1=0.所求直线方程即为所求直线方程即为注注 直线与平面的交点还可利用求解线性方程组得到直线与平面的交点还可利用求解线性方程组得到.例例6-16 坐标面在平面坐标面在平面3x-y+4z-12=0上截得一个上截得一个 ABC, 从从z轴上的一个顶点轴上的一个顶点C作对边作对边AB的垂线的垂线, 求它的方程求它的方程.解解 把已知平面写成截距式把已知平面写成截距式, 有有从而可知从而可知 ABC三顶点的坐标为三顶点的坐标为A(4, 0, 0), B(0, -12, 0), C(0, 0, 3).设垂线为设垂线为CD, 则可令则可令CD=CA+ AB, 于
36、于是是4(1- )(-4) -12 (-12)+(-3)z0=0.从而从而垂线垂线CD的方程为的方程为例例6-17 已知入射光线路径为已知入射光线路径为,求该光线经平面求该光线经平面x+2y+5z+17=0反射后的反射线方程反射后的反射线方程.解解 将将L写成参数式写成参数式, 有有x=1+t, y=1+3t, z=2+t, 带入带入平面方程平面方程 , 得得t=-2, 从而求得从而求得L与与 的交点的交点Q(-7,-5,0).点点P(-7,-5,0)是是L上的一点上的一点, 过过P作垂直于平面作垂直于平面 的直线的直线化化l为参数式为参数式, 有有x=1+t, y=1+3t, z=2+5t,
37、 带入带入 中中, 得得t=-1,从而求得从而求得l与与 的交点的交点R(0,-1,-3).由由P(-7,-5,0), R(0,-1,-3), 得得P的对称点为的对称点为P(-1,-3,-8).过过P, Q的直线为的直线为为所求的反射线方程为所求的反射线方程.例例6-18 求点求点(1, 2, 3)到直线到直线的距离的距离.解法一解法一 先求点先求点(1, 2, 3)在该直线上的投影在该直线上的投影. 为此先以为此先以n=i-3j-2k为法向量为法向量, 过点过点(1, 2, 3)做平面做平面, 有有(x-1)-3(y-2)-2(z-3)=0, 即即x-3y-2z+11=0.已知直线写成参数式
38、已知直线写成参数式, 有有x=t, y=4-3t, z=3-2t, 代入平面代入平面方程得方程得所求距离就是点所求距离就是点(1, 2, 3)与点与点间的距离间的距离. 解法二解法二 记记M0(1, 2, 3), M(0, 4, 3), s=(1, -3, -2), 则所求距离为则所求距离为例例6-19 试证曲线试证曲线并求其对称式方程并求其对称式方程.是两条相交直线是两条相交直线,证证 在原曲线方程中消去在原曲线方程中消去z得得(x-5)(y+4)=0.于是得两直线方程分别为于是得两直线方程分别为容易求其方向向量分别为容易求其方向向量分别为s1=(0, 2, -1), s2=(5, 0, 2
39、).说明说明L1与与L2共面不平行共面不平行. 因此因此, 他们是两条相交直线他们是两条相交直线, 进一步可写出其对称式方程进一步可写出其对称式方程, 为为, 且垂直于平面且垂直于平面例例6-20 求过直线求过直线x+4y-3z+7=0的平面的平面.解解 过点过点(2, -1, 3)做平行于已知平面的平面做平行于已知平面的平面, 有有3(x-2)-2(y+1)+(z-3)=0, 即即3x-2y+z+11=0.把已知直线的参数式把已知直线的参数式x=2t+1, y=-3t, z=t-2代入此平面得代入此平面得从而得交点从而得交点所求直线为所求直线为化简得化简得, 且垂直于平面且垂直于平面例例6-
40、21 求过直线求过直线x+4y-3z+7=0的平面的平面. 解解 现将已知直线化成一般式现将已知直线化成一般式, 有有再写出过再写出过L的平面束方程为的平面束方程为2x-5y+9+ (2y-z+7)=0.此平面与已知平面垂直此平面与已知平面垂直, 故故2+4(2 -5)+3 =0.解出解出故所求平面为故所求平面为即即22x-19y-18z-27=0.例例6-22 已知直线已知直线求其在平面求其在平面2x+z+4=0上的投影直线方程上的投影直线方程. 解解 过已知直线过已知直线L的平面束方程为的平面束方程为x-2y+z-1+ (x+2y-z+3)=0.即即(1+ )x+(-2+2 )y+(1-
41、)z+(-1+3 )=0. (1)若若(1)(1)为投影平面为投影平面, 此平面应与已知平面垂直此平面应与已知平面垂直. 有有2(1+ )+(1- )=0, 得得 = -3. 代入代入(1)(1)得得x+4y-2z+5=0.投影直线方程为投影直线方程为例例6-23 一条直线通过坐标原点一条直线通过坐标原点, 且和连接原点与且和连接原点与点点(1, 1, 1)的直线成的直线成45 角角. 求此直线上点的坐标满足求此直线上点的坐标满足的关系式的关系式.解解 设此直线上的点为设此直线上的点为A(x, y, z), 由于由于 AOM= 45 , 故故OA=xi+yj+zk, OM=i+j+k.两边平方
42、两边平方, 整理得整理得x2+y2+z2 - 4yz - 4zx - 4xy = 0.注注这实际上是半顶角为这实际上是半顶角为45 , 以以OM为对称轴的正圆锥面为对称轴的正圆锥面.例例6-24 求曲线求曲线平行于平行于z轴的投影柱面轴的投影柱面. 解解 将式将式(2)代入式代入式(1), 有有整理得整理得4x2-9y2=36, 即为所求即为所求.例例6-25 若椭圆抛物面的顶点在原点若椭圆抛物面的顶点在原点, z轴是它的轴轴是它的轴, 且点且点A(-1, -2, 2)和和B(1, 1, 1)在该曲面上在该曲面上, 求此曲面方程求此曲面方程.解解 设所求的曲面方程为设所求的曲面方程为待定参数待
43、定参数.其中其中a, b为为将点将点A, B坐标代入曲面方程得坐标代入曲面方程得所求曲面方程为所求曲面方程为例例6-26 求通过直线求通过直线且切于球面且切于球面x2+y2+z2=4的平面方程的平面方程.解解 过已知直线的平面束方程为过已知直线的平面束方程为(4+2 )x+(2+ )y+3z-6=0. 此平面切于已知球面此平面切于已知球面. 故球心至此平面的距离为故球心至此平面的距离为解得解得 =2. 所求平面为所求平面为4+2(-2)x+(2-2)y+3z-6=0, 即即z=2.例例6-27 求以求以A(0,0,1)为顶点为顶点, 以椭圆以椭圆为准线的锥面方程为准线的锥面方程.解解 设设M0
44、(x0, y0, z0)为椭圆上的一点为椭圆上的一点, 则连接则连接A, M0两点的直线方程为两点的直线方程为M(x, y, z)为直线为直线上任一点上任一点, 如图所示如图所示.由于由于M0(x0, y0, z0)在椭圆上在椭圆上, 故适合其方程故适合其方程, M(x,y,z)x3A(0,0,1)M0(x0,y0,z0)zy将将代入上面的方程代入上面的方程, 得得故所求锥面方程为故所求锥面方程为例例6-28 试证在单叶双曲面试证在单叶双曲面上可以配置无数条直线上可以配置无数条直线.证证 把原曲面方程改写成把原曲面方程改写成它可以看作两直线它可以看作两直线两边相乘得到的两边相乘得到的. 而后者是直线方程而后者是直线方程, 随着随着k的变化的变化,而成为不同的直线而成为不同的直线, 这些直线在原曲面上这些直线在原曲面上.
